深圳市七年级下册期末数学试卷及
答案(总21页)
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深圳市七年级下册期末数学试卷
一、选择题
1．（3分）计算32的结果是（ ） A．6
B．9
C．8
D．5
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）2015年4月，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ） A．×106米
B．×10
﹣5
米
C．×10
﹣6
米 D．43×107米
4．（3分）下列关系式中，正确的是（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2﹣2ab+b2
5．（3分）如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为（ ）
A．140°
B．60°
C．50°
D．40°
6．（3分）以下事件中，必然事件是（ ） A．打开电视机，正在播放体育节目 B．三角形内角和为180° C．同位角相等
D．掷一次骰子，向上一面是5点
7．（3分）如图，为估计罗湖公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，思雅学校小组在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝28m，OB＝20m，则A，B间的距离可能是（ ）
2
A．8m B．25m C．50m D．60m
8．（3分）下列说法中正确的是（ ） ①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的中线也是它的高；
④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形 A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
9．（3分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，已知AD＝CB，再添加一个条件使△ABC≌△CDA，则添加的条件不是（ ）
A．AB＝CD
B．∠B＝∠D
C．∠BCA＝∠DAC D．AD∥BC
11．（3分）一列火车匀速通过隧道（隧道长大于火车的长），火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中，正确的个数是（ ），
3
①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，且DA∥BC，则BC⊥CE．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（共4小题）
13．（3分）n为正整数，若a9÷an＝a5，则n＝ ． 14．（3分）已知a2+b2＝5，a+b＝3，则ab＝ ．
15．（3分）若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为 ．
16．（3分）如图，D、E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，AD＝BE，∠BCE＝15°，则∠BDC＝ ．
三.解答题（共7小题） 17．计算：
（1）（﹣1）2018+（
）2﹣（﹣π）0
﹣
（2）20192﹣2018×2020
18．先化简，再求值：（x﹣y）2﹣3x（x﹣3y）+2（x+2y）（x﹣2y），其中x＝2．
19．口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是黄色球的概率是． 求：（1）口袋里黄球的个数； （2）任意摸出一个球是红色的概率．
20．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
，y＝
4
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）的结果下，连接BB1，AB1，则△A1BB1面积是 ；
（3）在对称轴上有一点P，当△PBC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
21．如图表示甲骑摩托车和乙驾驶汽车沿相同的路线行驶90千米，由A地到B地时，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（小时）之间的关系．请根据图象填空： （1）摩托车的速度为 千米/小时；汽车的速度为 千米/小时； （2）汽车比摩托车早 小时到达B地．
（3）在汽车出发后几小时，汽车和摩托车相遇？说明理由．
22．如图，完成下列推理过程
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB， 求证：AC＝AE．
证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∠AFE＝∠DFC（ ），
5
∴∠E＝∠C（ ）， 又∵∠1＝∠2，
∴ +∠DAC＝ +∠DAC（ ）， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ∠E＝∠C（已证） ∵AB＝AD（已知） ∠BAE＝∠DAE（已证） ∴△ABC≌△ADE（ ） ∴AC＝AE（ ）
23．四边形ABCD是正方形（四条边相等，四个角都是直角）．
（1）如图1，将一个直角顶点与A点重合，角的两边分别交BC于E，交CD的延长线于F，试说明BE＝DF；
（2）如图2，若将（1）中的直角改为45°角，即∠EAF＝45°，E、F分别在边BC、CD上，试说明EF＝BE+DF；
（3）如图3，改变（2）中的∠EAF的位置（大小不变），使E、F分别在BC、CD的延长线上，若BE＝15，DF＝2，试求线段EF的长．
6
深圳市七年级下册期末数学试卷答案
一、选择题
1．（3分）计算32的结果是（ ） A．6
B．9
C．8
D．5
【分析】根据有理数的乘方意义计算即可得出正确选项． 【解答】解：32＝3×3＝9． 故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，an表示有n个a相乘． 2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、C、D中的图形都不是轴对称图形， B中图形是轴对称图形， 故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（3分）2015年4月，生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（ ） A．×106米
B．×10
﹣5
米
C．×10
﹣6
米
D．43×107米
﹣
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：＝×106，
﹣
故选：C．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜
﹣
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（3分）下列关系式中，正确的是（ ）
7
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
【解答】解：A、应为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，本选项错误； B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，本选项正确； C、应为（a+b）2＝a2+2ab+b2，本选项错误； D、应为（a+b）2＝a2+2ab+b2，本选项错误． 故选：B．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为（ ）
A．140°
B．60°
C．50°
D．40°
【分析】先求出∠CDE的邻补角，再根据两直线平行，内错角相等解答． 【解答】解：∵∠CDE＝140°， ∴∠ADC＝180°﹣140°＝40°， ∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC＝40°． 故选：D．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 6．（3分）以下事件中，必然事件是（ ） A．打开电视机，正在播放体育节目 B．三角形内角和为180° C．同位角相等
D．掷一次骰子，向上一面是5点
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
8
【解答】解：A、打开电视机，正在播放体育节目是随机事件； B、三角形内角和为180°是必然事件； C、同位角相等是随机事件；
D、掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件； 故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（3分）如图，为估计罗湖公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，思雅学校小组在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝28m，OB＝20m，则A，B间的距离可能是（ ）
A．8m
B．25m
C．50m
D．60m
【分析】根据三角形的三边关系定理得到8＜AB＜48，根据AB的范围判断即可． 【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得： 28﹣20＜AB＜28+20， 即：8＜AB＜48， 则AB的值在8和48之间． 故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．
8．（3分）下列说法中正确的是（ ） ①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的中线也是它的高；
④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形 A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
9
【分析】根据角平分线的定义和性质判断①；根据三角形面积公式即可判断②：根据等腰三角形的性质判断③：根据线段垂直平分线的性质判断④． 【解答】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等是正确的． ②根据三角形面积公式即可得到等腰三角形两腰上的高相等，说法是正确； ③等腰三角形的中线不一定是它的高，说法是错误；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，说法正确． 故选：C．
【点评】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，是基础知识，需熟练掌握．
9．（3分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，共有6种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：在序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，有6种等可能结果，其中与图中的阴影部分构成轴对称图形的有②③④这3种结果， 所以与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率为＝， 故选：A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．
10．（3分）如图，已知AD＝CB，再添加一个条件使△ABC≌△CDA，则添加的条件不是（ ）
A．AB＝CD
B．∠B＝∠D
C．∠BCA＝∠DAC D．AD∥BC
10
【分析】根据需要满足的判定定理来添加条件即可． 【解答】解：在△ABC与△CDA中，AD＝CB，AC＝CA，
A、添加AB＝CD，由全等三角形的判定定理SSS可以使△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意．
B、添加∠B＝∠D，由全等三角形的判定定理SSA不可以使△ABC≌△CDA，故本选项符合题意．
C、添加∠BCA＝∠DAC，由全等三角形的判定定理SAS可以使△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意．
D、添加AD∥BC，则∠BCA＝∠DAC，由全等三角形的判定定理SAS可以使△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意． 故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．（3分）一列火车匀速通过隧道（隧道长大于火车的长），火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可以写出火车行驶的各个阶段中y与x的函数关系，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
火车头刚进入隧道到火车尾刚进入隧道的这一过程中，y随x的增大而增大， 火车尾刚进入隧道到火车头刚要驶离隧道的这一过车中，y随x的增加不发生变化， 火车头刚出隧道到火车尾刚驶离隧道这一过程中，y随x的增大而减小， 故选：A．
11
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，写出各段过程中与x的函数关系．
12．（3分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中，正确的个数是（ ），
①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，且DA∥BC，则BC⊥CE．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由等边三角形的性质得出AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，则∠DAC＝∠BAE，由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，则∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝60°，即①正确；②正确；∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，则∠BDO＝∠CEO错误，即③错误；由平行线的性质得出∠DAB＝∠ABC＝60°，推出∠ACB＝30°，则BC⊥CE，④正确．
【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中，∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°， ∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确； ∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
，
12
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB， ∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误； ∵DA∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝30°， ∵∠ACE＝60°， ∴∠ECB＝90°， ∴BC⊥CE，④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（共4小题）
13．（3分）n为正整数，若a9÷an＝a5，则n＝ 4 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得9﹣n＝5，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵a9÷an＝a5， ∴9﹣n＝5， n＝4． 故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法，关键是把握同底数幂的除法法则． 14．（3分）已知a2+b2＝5，a+b＝3，则ab＝ 2 ． 【分析】把a+b＝3两边平方，再与a2+b2＝5相减即可． 【解答】解：∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∵a2+b2＝5， ∴5+2ab＝9， 解得ab＝2．
【点评】本题是对完全平方公式的考查，学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错．
13
15．（3分）若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为 15 ．
【分析】因为3和6不知道那个是底那个是腰，所以要分不同的情况讨论，当3是腰时，当6是腰时等．
【解答】解：当3是腰时，边长为3，3，6，但3+3＝6，故不能构成三角形，这种情况不可以．
当6是腰时，边长为6，6，3，且3+6＞6，能构成三角形故周长为6+6+3＝15． 故答案为：15．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两边相等，以及三角形的三边关系，两个小边的和必须大于大边才能组成三角形．
16．（3分）如图，D、E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，AD＝BE，∠BCE＝15°，则∠BDC＝ 75° ．
【分析】由等边三角形的性质得出∠A＝∠EBC＝60°，AB＝BC，由SAS证得△ABD≌△BCE得出∠BCE＝∠ABD＝15°，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝75°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠EBC＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BCE＝∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°+15°＝75°， 故答案为：75°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 三.解答题（共7小题） 17．计算：
，
14
（1）（﹣1）2018+（）2﹣（﹣π）0
﹣
（2）20192﹣2018×2020
【分析】（1）根据乘方的运算法则，零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据平方差公式即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝1+4﹣1 ＝4；
（2）原式＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝1．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题额关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
18．先化简，再求值：（x﹣y）2﹣3x（x﹣3y）+2（x+2y）（x﹣2y），其中x＝2．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣2xy+y2﹣3x2+9xy+2x2﹣8y2＝7xy﹣7y2， 当x＝﹣，y＝2时，原式＝﹣2﹣28＝﹣30．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是黄色球的概率是． 求：（1）口袋里黄球的个数； （2）任意摸出一个球是红色的概率．
【分析】（1）设口袋里有x个黄球，根据概率公式列出算式，再进行求解即可； （2）用红球的个数除以总球的个数，即可得出摸出一个球是红色的概率． 【解答】解：（1）设口袋里有x个黄球，根据题意得：
＝， 解得：x＝3，
经检验，x＝3是分式方程的解；
，y＝
15
答：口袋里黄球的个数有3个；
（2））∵红球有4个，一共有4+5+3＝12个， ∴P（红球）＝
＝．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
20．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）的结果下，连接BB1，AB1，则△A1BB1面积是 4 ；
（3）在对称轴上有一点P，当△PBC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）依据三角形面积公式即可得出结论； （3）连接B1C，与l的交点即为所求的点P． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
16
（2）如图，△A1BB1面积是×2×4＝4， 故答案为：4；
（3）如图所示，点P即为所求．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求短路线以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21．如图表示甲骑摩托车和乙驾驶汽车沿相同的路线行驶90千米，由A地到B地时，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（小时）之间的关系．请根据图象填空： （1）摩托车的速度为 18 千米/小时；汽车的速度为 45 千米/小时； （2）汽车比摩托车早 1 小时到达B地．
（3）在汽车出发后几小时，汽车和摩托车相遇？说明理由．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得汽车比摩托车早多长时间到达B地； （3）根据题意和（1）中的答案可以解答本题．
【解答】解：（1）摩托车的速度为：90÷5＝18千米/小时，
17
汽车的速度为：90÷（4﹣2）＝45千米/小时， 故答案为：18、45； （2）5﹣4＝1，
即汽车比摩托车早1小时到达B地， 故答案为：1；
（3）解：在汽车出发后小时，汽车和摩托车相遇， 理由：设在汽车出发后x小时，汽车和摩托车相遇， 45x＝18（x+2） 解得x＝
∴在汽车出发后小时，汽车和摩托车相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 22．如图，完成下列推理过程
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB， 求证：AC＝AE．
证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∠AFE＝∠DFC（ 对顶角相等 ）， ∴∠E＝∠C（ 三角形内角和定理 ）， 又∵∠1＝∠2，
∴ ∠1 +∠DAC＝ ∠2 +∠DAC（ 等量代换 ）， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ∠E＝∠C（已证） ∵AB＝AD（已知） ∠BAE＝∠DAE（已证） ∴△ABC≌△ADE（ AAS ）
∴AC＝AE（ 全等三角形对应边相等 ）
18
【分析】由内错角相等得出∠AFE＝∠DFC，由三角形内角和定理得出∠E＝∠C，由等量代换得出∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，由AAS证得△ABC≌△ADE，由全等三角形对应边相等得出AC＝AE．
【解答】证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∠AFE＝∠DFC（ 对顶角相等）， ∴∠E＝∠C（ 三角形内角和定理）， 又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC（ 等量代换）， 即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ AAS）
∴AC＝AE（ 全等三角形对应边相等）
故答案为：对顶角相等，三角形内角和定理，∠1，∠2，等量代换，AAS，全等三角形对应边相等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等量代换等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
23．四边形ABCD是正方形（四条边相等，四个角都是直角）．
（1）如图1，将一个直角顶点与A点重合，角的两边分别交BC于E，交CD的延长线于F，试说明BE＝DF；
（2）如图2，若将（1）中的直角改为45°角，即∠EAF＝45°，E、F分别在边BC、CD上，试说明EF＝BE+DF；
（3）如图3，改变（2）中的∠EAF的位置（大小不变），使E、F分别在BC、CD的延长线上，若BE＝15，DF＝2，试求线段EF的长．
19
【分析】（1）根据题中所给条件证明△ABE≌△ADF即可．
（2）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，此时AB与AD重合，证明△EAF≌△E'AF（SAS），得EF＝E'F，可得结论；
（3）将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，通过角的计算可得出∠EAF′＝∠EAF，结合AF＝AF′、AE＝AE即可证出△EAF≌△EAF′（SAS），进而得出EF＝EF′，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∵∠EAF＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAF＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF， 在△BAE和△DAF中， ∵
，
∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝DF；
（2）如图2，∵AD＝AB，
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，此时AB与AD重合．由旋转可得∠BAE＝∠DAE'，BE＝DE'，∠B＝∠ADE'＝90°．
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∴∠ADF+∠ADE'＝90°+90°＝180°， ∴点F、D、E'在同一条直线上， ∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠DAE'＝45°＝∠EAF， 在△EAF和△E'AF中， ∵
，
∴△EAF≌△E'AF（SAS）， ∴EF＝E'F，
∵E'F＝DF+DE'＝DF+BE， ∴EF＝BE+DF；
（3）将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图3所示，
由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上， ∵∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝45°， ∴∠EAF′+∠EAD+∠DAF＝90°， ∴∠EAF′＝∠EAF＝45°． 在△EAF和△EAF′中，
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，
∴△EAF≌△EAF′（SAS）， ∴EF＝EF′，
∴EF＝EF'＝BE﹣BF'＝BE﹣DF＝15﹣2＝13．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，在正方形中可利用旋转作辅助线构建三角形全等．
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