一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A．x2﹣2＝0
B．x＝1
C．x+y＝2
D．＝2
2．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
3．（4分）如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3）
B．（1，3）
C．（﹣1，3）
D．（3，2）
5．（4分）图2是由图1的窗户抽象出来的平面图形，半圆的直径与长方形的宽相等，此平面图形的对称轴与半圆的直径将图形分成四个部分，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ） A． B． C．
D．因为长方形的长未知，所以概率不确定
6．（4分）已知点（﹣1，a）、（2，b）、（3，c）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上（ ） A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜b＜a
7．（4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，…，依次规律，第99个图形有（ ）
第1页（共20页）
A．9888
B．9904
C．10098
D．10100
8．（4分）某市某楼盘准备以6000元/m2的均价对外销售，由于有关房地产的新出台后，购房者持币观望，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以4860元/m2的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ） A．11%
B．10%
C．9%
D．8%
9．（4分）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示（ ）
A．爷爷比小强先出发20分钟
B．小强爬山的速度是爷爷的2倍
C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况 D．山的高度是480米
10．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝﹣1（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，并经过点（﹣2.3，y1）与点（1.5，y2），则下列结论：①abc＞0；②3a+c＞01＜y2；④对于任意实数m，都有am2﹣bm＜a﹣b（m≠1）．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
11．（4分）若关于x的二次函数y＝﹣x2+（2a﹣12）x+1，当x＞﹣1时，且关于y的分式方程
第2页（共20页）
的解是正整数（ ） A．5
B．8
C．12
D．15
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，反比例函数y＝的图象分别交BC，点E，且
，若S△AOE＝3，则k的值为（ ）
A．﹣4
B．﹣
C．﹣8
D．﹣2
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）将抛物线y＝x2先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，则新的抛物线函数解析式为 ．
14．（4分）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，可列出方程为 ．
15．（4分）在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，则摸到两个都是白球的概率是 ．
16．（4分）如图，半圆O中，直径AB＝30，
长为6π，则由
，AD围成的阴影部分面积为 ．
17．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，BC边上的点，且∠EDF＝45°，则MF的长为 ．
第3页（共20页）
18．（4分）为迎接一年一度的“春节”的到来，綦江区某水果店推出了A、B、C三类礼包，已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成；每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓．已知每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为30%，利润是每袋A利润的；每袋C礼包利润率为25%．若该店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为2：1：5 ． 三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19．（10分）解方程： （1）（x﹣2）2＝4． （2）x（x﹣3）+x＝3． 20．（10分）计算：
（1）（3+m）（3﹣m）+m（m﹣6）﹣7； （2）（
﹣1）÷
．
21．（10分）为迎接中国党建党100周年，綦江区某中学组织开展了丰富多彩的系列庆祝活动．学习了解党的历史是其中一项重要的活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有500名学生）的学习效果（百分制）进行分析，过程如下： （一）收集数据：
七年级：79，，78，80，81，75，80，80，84，81，80，91， 65，88，82．
八年级：97，85，92，77，86，88，76，85，82，86，77，87， 85，75，46． （二）整理数据：
七年级 八年级
40≤x＜50
0 1
50≤x＜60
0 0
60≤x＜70
1 0
70≤x＜80
3 a
80≤x＜90 13 b
90≤x＜100
3 3
（三）分析数据：
七年级 八年级
应用数据：
第4页（共20页）
平均数 83 83
众数 c 85
中位数 81.5 85
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在80分以上的共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生对党的知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
22．（10分）某数学兴趣小组在探究函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）：a＝ ，b＝ ； x y
… …
﹣1 6
0 3
1 2
1.5 a
2 3
2.5 2.25
3 b
4 3
5 6
… …
（2）描点并在图中画出函数的大致图象；
（3）根据函数图象，写出函数的一条性质： ；
（4）当不等式（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3＞6时，x的取值范围是 ．
23．（10分）2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元
（1）若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
（2）该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%a%． ①用含有a的代数式填表（不需化简）：
“天问一号”模型 “嫦娥五号”模型
9月份的售价（元）
90
9月份销量
第5页（共20页）
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%
24．（10分）对于一个四位正整数n，如果n满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那称这个数为“幸运数”．例如：n1＝8455，∵8+4+5﹣5＝12，∴8455是“幸运数”；n2＝2021，∵2+0+2﹣1＝3≠12，∴2021不是“幸运数”． （1）判断3753，1858是否为“幸运数”？请说明理由．
（2）若“幸运数”m＝1000a+100b+10c+203（4≤a≤8，1≤b≤9，1≤c≤5且a，b，c均为整数），s是m截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t是m截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，求m的值． 25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，连接AE、EC． （1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在；若不存在，说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接DE、DF、EF． （1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，且EF＝5，求DF的长； （2）如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，求证：AG⊥FG；
（3）如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
第6页（共20页）
第7页（共20页）
参与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．【解答】解：A．x2﹣2＝2是一元二次方程，故本选项符合题意； B．是一元一次方程； C．是二元一次方程； D．是分式方程； 故选：A．
2．【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×5＝4． 故选：B．
3．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D．
4．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）4+3的顶点坐标是（1，5）． 故选：B．
5．【解答】解：∵任意转动指针，指针停止的位置是等可能的， ∴指针指向阴影部分的概率是故选：A．
6．【解答】解：∵k＝xy， ∴k＝﹣a＝2b＝3c＞6， ∴a＜c＜b． 故选：B．
7．【解答】解：由图知，
第一个图形有6＝1×3+4个小圆， 第二个图形有10＝2×7+4个小圆，
第8页（共20页）
＝．
第三个图形有16＝3×3+4个小圆， 第四个图形有24＝4×5+4个小圆， …，
第n个图形有n（n+1）+6个小圆，
∴第99个图形有99×（99+1）+4＝9904（个）， 故选：B．
8．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 6000（1﹣x）2＝4860，
解得：x6＝0.1，x4＝1.9（舍去）． 答：平均每次下调的百分率为10%． 故选：B．
9．【解答】解：由题意得：
山的高度是720米，故选项D不合题意；
l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故选项C不合题意；
小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝2（米/分），故选项B符合题意；
爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故选项A不合题意． 故选：B．
10．【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方， 所以c＞7， ∴abc＞0，①正确．
∵图象与x轴的一个交点在点（﹣3，7）和（﹣4，对称轴为直线x＝﹣1， ∴图象与x轴的另一个交点在点（4，0）和（2， ∴x＝8时，y＝a+b+c＝3a+c＞0． ∵8.5﹣（﹣1）＞﹣6﹣（﹣2.3），
∴点（﹣7.3，y1）到对称轴的距离小于点（4.5，y2）到对称轴的距离，
第9页（共20页）
＝﹣4，
∴y7＞y2，③错误．
∵x＝﹣1时y＝a﹣b+c为函数最大值， ∴m≠5时，﹣m≠﹣12﹣bm+c＜a﹣b+c， ∴am2﹣bm＜a﹣b，④正确． 故选：D．
11．【解答】解：解分式方程∵分式方程
可得y＝
的解是正整数，
，
∴a＞﹣5且a+5是2的倍数， ∵二次函数y＝﹣x6+（2a﹣12）x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣∴当x＞a+4时，y随x的增大而减小， ∵当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∴a﹣6≤﹣2，解得a≤5，
综上可知满足条件的a的值为﹣3，﹣2，1，3，6， ∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣3﹣1+6+3+5＝4， 故选：A．
12．【解答】解：设点B的坐标为（a，b），b），0）， ∴BD＝﹣a，CD＝﹣， ∵
，
，
∴5×（﹣a）＝4×（﹣）， ∴ab＝k，
设点E坐标为（m，n）， ∵S△AOE＝3，即﹣， ∴n＝﹣，
∵点E在反比例函数y＝上， ∴E（﹣
，﹣），
第10页（共20页）
∵S△AOE＝S矩形OABC﹣S△OBC﹣S△ABE＝﹣ab﹣（﹣ab）﹣∴abk＝36，
把abk＝36，代入ab＝，k2＝36，即k2＝20， 解得k＝±2
，
﹣a）＝3，
由图象可知，k＜0， ∴k＝﹣2故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．【解答】解：由“左加右减，上加下减”知：将抛物线y＝x2先向下平移2个单位，再向左平移7个单位
2
．
﹣2，或y＝x6+2x﹣1．
故答案是：y＝（x+7）2﹣2（或y＝x8+2x﹣1）．
14．【解答】解：若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（19﹣3x）米， 依题意得：x（19﹣3x）＝24． 故答案为：x（19﹣7x）＝24． 15．【解答】解：树状图如下所示：
由上可得，一共有12种可能性， 故摸到两个都是白球的概率是故答案为：．
16．【解答】解：连接OC，OD， ∵直径AB＝30， ∴OC＝OD＝15， ∴CD∥AB， ∴S△ACD＝S△OCD， ∵
＝，
长为6π，
第11页（共20页）
∴阴影部分的面积为S阴影＝S扇形OCD＝故答案为：45π．
＝45π，
17．【解答】解：∵△ADE逆时针旋转90°得到△CDM， ∴∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°， ∴F、C、M三点共线，
∵∠EDM＝∠EDC+∠CDM＝∠EDC+∠ADE＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， 设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝5， ∴BM＝BC+CM＝4+2＝7， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝5﹣x， ∵EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝5，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF3， 即32+（7﹣x）2＝x2， 解得：x＝∴MF＝
， ．
．
故答案为：
18．【解答】解：设苹果、芒果、y、z，
第12页（共20页）
∵每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍， ∴5x+7y+8z＝3×6x， ∴y+4z＝5x，
∵每袋A的成本是15x，利润率为30%，
∴每袋A的利润为8.5x，售价为15x•（1+30%）＝19.5x， ∵每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的， ∴B的利润为4.6x×＝6x）＝12x．
∵每袋C礼包利润率为25%，成本为8x+y+4z＝7x+6x＝12x， ∴C的售价为15x，利润是3x，
∵销售A、B、C三种礼包袋数之比为2：3：5， ∴当天该水果店销售总利润率为故答案为：26%．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝5， ∴x﹣2＝±2， 所以x7＝4，x2＝2； （2）∵x（x﹣3）+x＝3， ∴x（x﹣8）+（x﹣3）＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣8＝0或x+1＝7， 所以x1＝3，x2＝﹣1．
20．【解答】解：（1）（3+m）（3﹣m）+m（m﹣3）﹣7 ＝9﹣m3+m2﹣6m﹣8 ＝﹣6m+2； （2）（
﹣1）÷
×100%＝26%，
＝＝
•
第13页（共20页）
＝．
21．【解答】解：（1）由题意知八年级70≤x＜80共4人，80≤x＜90共12人， ∴a＝4，b＝12，
∵七年级4（0分）共有4人， ∴七年级成绩的众数80， ∴c＝80，
故答案为：4，12；
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在9（0分）以上的共有1000×（3）八年级的总体水平较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，七年级的中位数为81.7， 85＞81.5，
∴八年级得分高的人数相对较多，
∴八年级的学生对党史知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．
22．【解答】解：（1）把x＝1.5，x＝8别代入函数表达式y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3得：y＝4.25，y＝2， 故答案为2.25，5．
（2）描点确定函数图象如下：
；
（3）由图象可知，该函数的性质：函数图象关于直线x＝2对称，函数有最小值2； 故答案为：函数图象关于直线x＝7对称．
第14页（共20页）
（4）由图象可得x＜﹣1或x＞5时，函数值y＞3，
∴不等式（x﹣2）2﹣4|x﹣2|+3＞7时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5， 故答案为x＜﹣4或x＞5．
23．【解答】解：（1）设8月份该店售出的“天问一号”模型x个，“嫦娥五号”模型y个， 根据题得：解得：
．
．
答：销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是400个与200个； （2）①∵9月份，“嫦娥五号”模型的售价在2月份的基础上降价a%a%a%，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（2+，“嫦娥五号”模型的销量为200（5+．“嫦娥五号”模型的售价为100（5﹣a%）；
故答案为：100（1﹣a%）；400（1+；200（1+； ②依题意得：90×400（1+a%）+100（1﹣a%）×200（3+整理得：7a2﹣30a＝0．
解得：a7＝10，a2＝0（不合题意，舍去）． 答：a的值为10．
24．【解答】解：（1）3753是幸运数，1858不是幸运数， 理由如下：
∵3+7+7﹣3＝12，1+6+5﹣8＝6， ∴3753是幸运数，1858不是幸运数． （2）①当1≤b≤7时，
∵m＝1000a+100b+10c+203＝1000a+100（b+7）+10c+3， ∴s＝10a+b+2，t＝10c+3，
∴s+t＝10a+10c+b+2+3＝10（a+c）+b+3． ∵m为“幸运数”， ∴a+（b+2）+c﹣3＝12， ∴a+c＝13﹣b，
∴10（a+c）+b+2＝135﹣9b． ∵135﹣9b能被8整除，且1≤b≤9，
第15页（共20页）
a%），
∴b＝8， ∴a+c＝12． ∵4≤a≤8，6≤c≤5， ∴当a＝8时，c＝7； 当a＝7时，c＝5．
②当5≤b≤9时，m＝1000（a+1）+100（b﹣7）+10c+3， ∴a+1+b﹣7+c﹣3＝12， ∴a+b+c＝22，
当b＝8时，a+c＝14（舍去）； 当b＝7时，则a+c＝13， ∴
，
∴m＝9153，而91+53＝146不能被8整除， 答：37是幸运数，2858不是幸运数，7353．
25．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（1，3），3） ∴解得
， ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+5． （2）如图1中，连接OE，﹣m2﹣3m+3）．
当﹣x2﹣8x+3＝0时，x5＝﹣3，x2＝3， ∴OA＝OC＝3，
∴S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣5m+3）+×3×（﹣m）﹣
（m+）2+
，
第16页（共20页）
∵﹣＜6，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大， ∴E（﹣，
）；
（3）存在．如图，点Q在抛物线上， ①EF是平行四边形的边，观察图象可知对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝解得x＝﹣∴Q1（﹣，当y＝﹣∴Q2（
， ）．
，解得x＝
，﹣
）．
，
，
，
时5﹣2x+3＝
时，﹣x2﹣2x+7＝﹣
，﹣
），Q3（
②当EF为对角线时，
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）
26．【解答】（1）解：如图1，作DG⊥BC交BC延长线于点G， ∵AF⊥BC， ∴∠AFB＝90°， ∵E为AB的中点，
第17页（共20页）
∴AE＝BE，
∴EF＝BE＝AB＝5， ∵∠ABC＝60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴BF＝EF＝BC， ∴CF＝EF＝5，
∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠ABC＝60°，
在Rt△CDG中，∠CDG＝90°﹣60°＝30°， ∴CG＝CD＝5
CG＝3
，
∴FG＝CF+CG＝10， 在Rt△DFG中，DF＝
；
（2）证明：如图2，延长AG交CD于H，FH，
∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠HDG， ∵G为DE的中点， ∴EG＝DG，
在△AEG和△DHG中，
第18页（共20页）
，
∴△AEG≌△DHG（ASA）， ∴AG＝HG，AE＝DH， ∵四边形ABCD为菱形，
∵AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠ADC， ∵BE＝BF，∠ABC＝60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴∠ADC＝60°，
∴BE＝BF＝EF，∠AEF＝60°， ∴△ABC与△ACD为等边三角形， ∴FC＝DH，AC＝AD， 在△AFC和△AHD中，
，
∴△AFC≌△AHD（SAS）， ∴AH＝AF，
同理：△ABF≌△ACH， ∴∠BAF＝∠CAH，
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°， ∴△AFH是等边三角形， ∵AG＝HG， ∴AG⊥FG；
（3）解：在△ABC中，P为其中任意一点，BP， 以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转，得到△EBD， ∵旋转60°，且BD＝BP， ∴△DBP为一个等边三角形， ∴PB＝PD，
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC， ∴当E、D、P、C四点共线时，
第19页（共20页）
如图7，当B、P、G，PA+PB+PC值最小，
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC， ∴△APC≌△DGC， ∴CP＝CG，∠PCG＝60°， ∴△PCG是等边三角形，
∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°，
第20页（共20页）
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