专题03 相似三角形中的最值问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题
2：3：4，1. 一个四边形的各边之比为1：和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，
则它的最大边长为( )
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm
2. 在如图所示的5×5方格中，每个小正方形的边长均为1，
每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在如图所示的方格中，作格点三角形和△𝐴𝐵𝐶相似，则所作的格点三角形的最小面积和最大面积分别为( )
A. 0.5，2.5 B. 0.5，5 C. 1，2.5 D. 1，5
∠𝐶=90°，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=3，3. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，
点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分
别为(3,1)，(3,1)，(3,0)，点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为(0,𝑏)，则b的取值范围是( )
1
A. −4≤𝑏≤1
1
B. −4≤𝑏≤1
5
C. −4≤𝑏≤2
91
D. −
214
≤𝑏≤1
5. 如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，
其中𝐴𝐹=2，𝐵𝐹=1，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )
A. 10 B. 8
C. 2
25
D. 12
6. 如图，定点C、动点D在⊙𝑂上，并且位于直径AB的两侧，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=3，过
点C在作𝐶𝐸⊥𝐶𝐷交DB的延长线于点E，则线段CE长度的最大值为( )
A. 5
二、填空题
B. 8
C. 5
32
D. 3
20
7. 若△𝐴𝐵𝐶的三条边长的比为3:5:6，与其相似的另一个△𝐴′𝐵′𝐶′的最小边长为12 𝑐𝑚，
那么△𝐴′𝐵′𝐶′的最大边长是__________．
BC边上的高为4，𝐵𝐶=6，在△𝐴𝐵𝐶中，在△𝐴𝐵𝐶的内部作一个矩形DEFG，8. 如图，
使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为 ．
9. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=6√2，D、E分别是边BC、
AC上的动点，则𝐷𝐴+𝐷𝐸的最小值为 ．
10. 如图，已知𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘，有三个正方形
内接于△𝐴𝐵𝐶，最大正方形的边长𝐵𝐷=16，另一个正方形的边长𝐷𝐸=12，则最小正方形的边长𝐺𝐹= ．
11. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，E，F分别为AB，CD
边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作𝐵𝐻⊥𝑃𝑄于点
H，连接𝐷𝐻.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为______，线段DH长度的最小值为______． 三、解答题
12. 折纸的思考．
[操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐵>𝐵𝐶)(如图 ①)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图 ②).
第二步，如图 ③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△𝑃𝐵𝐶．
(1)说明△PBC是等边三角形． [数学思考]
(2)如图 ④，小明画出了图 ③的矩形ABCD和等边三角形𝑃𝐵𝐶.他发现，在矩形ABCD中把△𝑃𝐵𝐶经过图形变化，可以得到图 ⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程．
(3)已知矩形一边长为3cm，其邻边长为𝑎𝑐𝑚.对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． [问题解决]
(4)用一张正方形铁片剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm．
13. 如图，一张正三角形的纸片的边长为2cm，D、E、F分别是边AB、BC、𝐶𝐴(含端
点)上的点，设𝐵𝐷=𝐶𝐸=𝐴𝐹=𝑥(𝑐𝑚)，𝛥𝐷𝐸𝐹的面积为𝑦(𝑐𝑚2)．
(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围； (2)求𝛥𝐷𝐸𝐹的面积y的最大值和最小值．
14. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=10𝑐𝑚，AC：𝐵𝐶=4：3，点P从点A出
发沿AB方向向点B运动，速度为1𝑐𝑚/𝑠，同时点Q从点B出发沿𝐵→𝐶→𝐴方向向点A运动，速度为2𝑐𝑚/𝑠，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)𝐴𝐶=______cm，𝐵𝐶=______cm；
(2)当𝑡=5(𝑠)时，试在直线PQ上确定一点M，使△𝐵𝐶𝑀的周长最小，并求出该最小值；
(3)设点P的运动时间为𝑡(𝑠)，△𝑃𝐵𝑄的面积为𝑦(𝑐𝑚2)，当△𝑃𝐵𝑄存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(4)探求(3)中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．
15. 【阅读资料】
同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值． (1)求4𝑥2+16𝑥+19的最小值．
解：4𝑥2+16𝑥+19=4𝑥2+16𝑥+16+3=4(𝑥+2)2+3
因(𝑥+2)2大于等于0，所以4𝑥2+16𝑥+19大于等于3，即4𝑥2+16𝑥+19的最小值是3.此时，𝑥=−2 (2)求−𝑚2−𝑚+2的最大值
解：−𝑚2−𝑚+2=−(𝑚2+𝑚)+2=−(𝑚2+𝑚+4−4)+2=−(𝑚+2)2+4 因(𝑚+2)2大于等于0，所以−(𝑚+2)2小于等于0，所以−(𝑚+2)2+4小于等于4，即−𝑚2−𝑚+2的最大值是4，此时，𝑚=−2． 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6，小明想从中剪出一个以∠𝐵为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值． 解：在AC上任取点E，作𝐸𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，得到矩形𝐵𝐷𝐸𝐹.设𝐸𝐹=𝑥 易证△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴𝐶𝐵，则𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶，8=𝐸𝐹⋅𝐵𝐹=𝑥(8−𝑥)=8𝑥−𝑥2…
3
3
4
4
𝐴𝐹
𝐴𝐸
𝐸𝐹
𝐴𝐹
𝐴𝐸10
𝑥45
𝑆矩形𝐵𝐷𝐸𝐹==，𝐴𝐹=𝑥,𝐴𝐸=𝑥，633
9
1
1
1
1
9
9
1
1
1
9
请你写出剩余部分 【拓展应用】
如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝑎，BC边上的高𝐴𝐷=ℎ，矩形PQMN的顶点P、N分AC上，M在边BC上，别在边AB、顶点Q、则矩形PQMN面积的最大值为______.(用含a，h的代数式表示) 【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，𝐴𝐵=32，𝐵𝐶=40，𝐴𝐸=20，𝐶𝐷=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠𝐵为所剪出矩形的内角)，该矩形的面积为______.(直接写出答案) 【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量𝐴𝐵=70𝑐𝑚，𝐵𝐶=108𝑐𝑚，
𝐶𝐷=76𝑐𝑚，且∠𝐵=∠𝐶=60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为______.(直接写出答案)