荷载及结构设计方法课后练习答案 2

1、 某地基由多层土组成，各土层的厚度、容重如图所示，试求各土层交界处的竖向自重应力，并绘出自重应力分布图。

习题1厚度和容重图

解：（1）各土层交界处的竖向自重应力： c1=18.232.5=45.6kN/m2

c2=c1+18.622.0=82.8kN/m2 c3=c2+9.801.5=97.5kN/m2 c4=c3+9.402.0=116.3kN/m2 （2）自重应力分布如下图：

2、 已知某市基本雪压S0=0.5kN/m2，某建筑物为拱形屋面，拱高f=5m，跨度l=21m，试求该建筑物的雪压标准值。

解：(1)屋面积雪分布系数rl0.525 8f(2) 该建筑物的雪压标准值Sk=rS0=0.5250.50=0.2625kN/m2

风荷载作业参

1. 已知一矩形平面钢筋混凝土高层建筑，平面沿高度保持不变。H=100m，B=33m，地面粗糙度为A类，基本风压W0=0.44kN/m2。结构的基本自振周期T1=2.5s。求风产生的建筑底部弯矩。(注：为简化计算，将建筑沿高度划分为5个计算区段，每个区段20m高，取其中点位置的风荷载值作为该区段的平均风载值)

解：(1）体型系数s=1.3 (2)风压高度变化系数z

在各区段中点高度处的风压高度变化系数值分别：

z（10）=1.38；z（30）=1.80；z（50）=2.03；z(70）=2.20；z(90）=2.34 (3)风振系数

①第一振型函数1(z)

(10)tanz0.7100.74Htan41000.16tanz0.7300.7(30)Htan1000.35

44tanz0.7500.7(50)tan0.4H410053(70)tanz0.7tan700.70.70

4H410090)tanz0.7tan900.7(4H0.

4100 ②脉动影响系数 H/B=3，=0.49 ③脉动增大系数

W0T12=1.380.442.52=3.795 查表得：=2.2795 ④风振系数(z)

各区段中点高度处，风振系数(z)1(z)

z(z) (10)=1.130；(30)=1.217；(50)=1.292；(70)=1.355；(90)=1.425 （4）计算各区段中点处的风压标准值

Wk（z）=zszW0

；

；

Wk（10）=0.16；Wk（30）=1.2532；Wk（50）=1.5000；Wk（70）=1.7056；Wk（90）=1.9071

(5) 风产生的建筑底部弯矩Mk

Mk=(0.1610+1.253230+1.500050+1.705670+1.907190) 2033=272272.5kN.m 2. 钢筋混凝土烟囱H=100m，顶端直径为5m，底部直径为10m，顶端壁厚0.2m，底部壁厚0.4m。基本频率f1=1Hz，阻尼比=0.05。地貌粗糙度指数=0.15，空气密度=1.2kg/m3。10m高处基本风速v0=25m/s。问烟囱是否发生横风向共振，并求横风向风振等效风荷载。

[解]（1）横风向风振判别

H100烟囱顶点风速：vHv10251010临界风速为：vcr0.1535.31m/s

取结构2/3高度处计算共振风速，该处直径D=6.67m。

5D56.6733.33m/svH T1近似取烟囱2/3高度处的风速和直径计算雷诺数，该处风速为：

v23H2/3Hv1033.23m/s

10雷诺数Re=69000vD=15.29106>3.5106 属跨临界范围，会出现强风共振。 （2）共振区范围

vcr共振区起点高度H1：H1HvH1/33.3310035.311/1/0.1568.06m

1/0.151.3vcr共振区终点高度H2：H210v0(3)强风共振等效风荷载

1.333.331025391.07m100m

取H2=H，即该烟筒共振区范围为68.06-100m

跨临界强风共振引起在z高度处的等效荷载：

2wczj1vcrzj/12800j

由H1/H=0.68，查表1=0.982。

对应于H1的第1振型系数z1=0.5，对应于烟囱顶点H的第1振型系数z1=1.00。 混凝土结构的阻尼比1=0.05。

共振起点处等效风荷载：wc1=0.961kN/m2 烟囱顶点H处等效荷载：wc2=1.705kN/m2

共振区范围等效风荷载按指数规律变化。

3. 在某大城市中心有一钢筋混凝土框架——核心筒结构的大楼(图1)，外形和质量沿房屋高度方向均基本呈均匀分布。房屋总高H=120m，通过动力特性分析，已知T1=2.80s，房屋的平面LB=40m30m，该市基本风压为0.6kN/m2。试计算该楼迎风面顶点(H=120m)处的风荷载标准值。

图1

解: (1)风压高度变化系数z

地面粗糙度为C类，H=120m处风压高度变化系数z=0.616（z/10）0.44=1.84 (2)风荷载体型系数s 迎风面风荷载体型系数s=0.8 (3)风振系数z

0.62W0T12=0.620.62.82=2.92 查表得：脉动增大系数=1.59 H/B=120/40=3， 查表得：脉动影响系数=0.49

z0.7振型系数(120)tan1

4Hz1z1.42 z(4)风荷载标准值Wk

Wk=zszW0=1.420.81.840.6=1.254kN/m2

概率极限状态设计法作业

1. 已知某钢拉杆，其抗力和荷载的统计参数为N=237kN，N=19.8kN，R=0.07，ΚR=1.12，且轴向拉力N和截面承载力R都服从正态分布。当目标可靠指标为β=3.7时，不考虑截面尺寸变异的影响，求结构抗力的标准值。 [解] RN

RR2N2

219.82 R2373.7R0.07RKR317.46kN

R=355.55kN Rk2. 一简支板，板跨l0=4m，荷载的标准值：永久荷载(包括板自重)gk=10kN/m，楼板活

荷载qk=2.5kN/m，结构安全等级为二级，试求简支板跨中截面荷载效应设计值M。

[解] (1)由可变荷载效应控制的组合：

MGK MQK1gkl0220kN.m 81qkl025kN.m 8 M0(GMGKQMQK)=1.0×(1.2×20+1.4×5)= 31.0kN·m (2)由永久荷载效应控制的组合： M0(GMGKQMQK)

=1.0×[1.35×20+1.4×5] = 34.0kN·m

3. 当习题2中荷载的准永久值系数为0.5时，求按正常使用计算时板跨中截面荷载效应的标准组合和准永久组合弯矩值。

[解] (1)荷载效应的标准组合Mk

MkMGKMQK=20+5 = 25 kN·m

(2)荷载效应的准永久组合Mq

MkMGKqMQK

= 20+0.5×5 = 22.5 kN·m

可靠度作业参

1. 已知一伸臂梁如图所示。梁所能承担的极限弯矩为Mu，若梁内弯矩M>Mu时，梁便失败。现已知各变量均服从正态分布，其各自的平均值及标准差为：荷载统计参数，

p4kN，p0.8kN；跨度统计参数，l6m，l0.1m；极限弯矩统计参数，M20kNm，M2kNm。试用中心点法计算该构件的可靠指标。

uu

习题1图

解：（1）荷载效应统计参数

SM1PL 311SMPL468kNm

33SM11P22PL33PL0.067 L22SS.S80.0670.535kNm

（2）抗力统计参数

RMu20kNm

RMu2kNm

（3）计算可靠指标



RS2R2S20820.535225.80

2. 假定钢梁承受确定性的弯矩M=128.8kNm，钢梁截面的塑性抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知分布类型和统计参数为：

抵抗矩W：正态分布，W=884.910-6m3，W=0.05； 屈服强度f：对数正态分布，f=262MPa，f=0.10； 该梁的极限状态方程：Z= Wf -M =0 试用验算点法求解该梁可靠指标。

32解： w884.9100.0544245N/mm

f2620.1026.2N/mm2

（1）取均值作为设计验算点的初值

*33 WW884.910mm f*f262N/mm2

（2）计算i的值

gWX*f*

gfX*X*W*

W

gW(gWX*WgfX*W)2(f)20.447

26244245(26244245)(884.91026.2)gf(gWX*232fX*fgfX*W)2(f)20.4

884.910326.2(26244245)(884.91026.2)232（3）计算Xi*

W*WWW884.91030.44744245884.910319777.52

f*fff2620.426.226223.423

(4)求解值

代入功能函数W*f*-M=0

(884.910319777.52)(26223.423)128.81060

得： 1=4.32 2=51.60(舍去) （5）求Xi*的新值

* 将=4.32代入 XiXiiXi

*333 WWWW884.9104.310.44744245799.710mm

f*fff2624.310.426.2161.1N/mm2

重复上述计算，有

W=0.322 f=0.946

W*=824.1103mm3 f*=156.3N/mm2 =4.262

进行第三次迭代,求得=4.261，与上次的=4.262比较接近，已收敛。 取=4.26，相应的设计验算点

W*=827.4103mm3 f*=155.7N/mm2

3. 某随机变量X服从极值I型分布，其统计参数为：X=300，X=0.12。试计算x*=X

处的当量正态化参数。

解：XXX3000.1236

a6X110.0356 636

0.57720.5772X300283.7985 a0.0356*令ya(X)0.0356(300283.7985)0.5772

*[exp(y*)]0.0114有 fX(X*)aexp(y*)exp

FX(X*)exp[exp(y*)]0.5704

X'{1[FX(X*)]}/fX(X*)[1(0.5704)]/0.011434.421

X'X*1[FX(X*)]X'3001(0.5704)]36293.6

4. 某结构体系有4种失效可能，其功能函数分别g1、g2、g3和g4。经计算对失效模式1，1=3.32，Pf1=(3.32)=4.510-4；失效模式2，2=3.65，Pf1=(3.65)=1.3310-4；失效模式3，3=4.51，Pf3=(4.51)=3.2510-6；失效模式4，4=4.51，Pf3=(4.51)=3.2510-6。已知g1与g2的相关系数为0.412，g1与g3的相关系数为0.534，g1与g4的相关系数为0.534；g2与g3的相关系数为0.856，g2与g4的相关系数为0.534。试用窄界限估算公式计算该结构体系的失效概率。 解：（1）选取失效模式代表

按失效概率由小到大依次排列，分别为失效模式1、失效模式2、失效模式3和失效模式4。以失效模式1为依据，g1(x)与g2(X)、g3(X)、g4(X)的相关系数，分别为： 12=0.412；13=0.534；14=0.534

取0=0.8，失效模式2、3、4均不能用失效模式1代表。

以失效模式2为依据，g2(X)与g3(X)、g4(X)的相关系数，分别为： 23=0.856；24=0.534

失效模式2、3可用失效模式2代表

因此，4种失效模式可由失效模式1、失效模式2和失效模式4代表

（2）计算共同事件发生的概率 对失效模式1和2， 有：

121 P(A)(1)2(3.32)(2.51)2.756106 2112122P(B)(2)1(3.65)(1.993)3.033106 2112Max[P(A)，P(B)]P（E1E2）P(A)+P(B) 3.03310-6 P（E1E2）5.710-6

对失效模式1和4， 有：

141 P(A)(1)4(3.32)(3.24)2.690107 2114144P(B)(4)1(4.51)(1.08)4.540107 2114Max[P(A)，P(B)]P（E1E4）P(A)+P(B) 4.54010-7 P（E1E4）7.23010-7

对失效模式2和4， 有：

242 P(A)(2)4(3.65)(3.03)1.603107 2124244P(B)(4)2(4.51)(1.47)2.294107 2124Max[P(A)，P(B)]P（E2E4）P(A)+P(B) 2.29410-7 P（E1E2）3.710-7

（3）求解失效概率窄界限范围

P(E1)+max{[P(E2)-P(E2E1)+P(E4)-P(E4E1)-P(E2E4)]，0}

 P  P(E1)+ P(E2) +P(E4)-{ P(E2E1)+max[P(E4E1), P(E4E2)]} 即:

P(E1)+P(E2) +P(E4)-[P(E2E1)+P(E4E1)+P(E2E4)]

 P  P(E1)+ P(E2) +P(E4)-{P(E2E1)+max[P(E4E1), P(E4E2)]}

P(E1)+P(E2) +P(E4)= 4.510-4+1.3310-4+3.2510-6=5.862510-4

P(E2E1)+P(E4E1)+P(E2E4)= 5.710-6+7.23010-7+3.710-7=6.901710-6 P(E2E1)+max[P(E4E1), P(E4E2)]= 3.03310-6+max(4.54010-7 , 2.29410-7) =3.03310-6+4.54010-7=3.48710-6

5.862510-4-6.901710-6  Pf  5.862510-4-3.48710-6

5.793510-4  Pf  5.827610-4

5. 单跨2层刚架如图 9.14(a)所示。已知各随机变量及统计特征，竖向杆的抗弯力矩M1=(111，16.7)kNm；水平杆的抗弯力矩M2=(277，41.5)kNm；荷载F1=(91，22.7)kN，F2=(182，27.2)kN，P=(15.9，4)kN。刚架可能出现塑性铰的位置如图9.14(b)所示，共14个，主要失效机构为8个，相应的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率列于表9-3中。试用PNET法求该刚架体系的可靠度。

表9-3 主要机构的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率

机 构 1 2 3 4 5 6 11 7 8 1、2、6、7、11、13 1、2、6、7、10、11 4M1+6M2-4L1P-F1L2/2-F2L2/2 4M1+4M2-4L1P-F1L2/2 3. 3.72 0.1410-3 0.1010-3 5、6、7 1、2、4、6、8、9 1、2、4、6、7、8 3、4、6、8、9 1、2、3、4 1、2、4、6、9、10、4M2-F2L2/2 6M1+2M2-3L1P-F2L2/2 4M1+3M2-3L1P-F2L2/2 4M1+2M2-F2L2/2 4M1-3L1P 8M1+2M2-4L1P-F2L2/2 2.98 3.06 3.22 3.28 3.38 3.50 1.4410-3 1.1110-3 0.10-3 0.5210-3 0.3610-3 0.2310-3 塑 性 铰 功能函数Zi i Pfi

(a)

图9.14 习题5图

(b)

[解] (1)各机构间的相关系数计算

Zi计算

机构 1 4M2-F2L2/2 功能函数Zi Zi L22224M2(2)F2222226M12M21/2=185.58 1/22 6M1+2M2-3L1P-F2L2/2 L22(3L1)2P(2)2F22=160.24 3 4M1+3M2-3L1P-F2L2/2 L222222224M13M2(3L1)P(2)F221/2=169.44 4 5 6 4M1+2M2-F2L2/2 4M1-3L1P 8M1+2M2-4L1P-F2L2/2 L2222224M12M2(2)F221/2=135.03 422M12(3L1)2P1/2=79.55 1/2L222222228M12M2(4L1)P(2)F22=181.24 1/27 4M1+6M2-4L1P-F1L2/2-F2L2/2 L22L222222224M16M2(4L1)P(2)F1(2)F222L22222222244(4L)()F1M1M21P21/2=285.41 8 4M1+4M2-4L1P-F1L2/2 =200.32 L22242MF222120.69 Z1Z22L22243MF222120.88 Z1Z30=0.7时计算的相关系数 机构 1 2 5 1 1.0 2 0.69 1.0 3 0.88 ---- 4 0.83 ---- 5 0.00 0.67 1.0 6 0.60 0.99 ---- 7 0.91 ---- ---- 8 0.90 ---- ---- 2(2) 刚架体系的可靠度

显然，代表机构为1、2和5。用PNET方法计算刚架体系的可靠度，得：

PfPf1Pf2Pf5(1.441.110.36)1030.00291