第2章 力系等效定理

2．2 力系的主矢

力系等效定理

2．1 力在轴及平面上的投影

2．3 力对点之矩与力对轴之矩2．4 力系的主矩2．5 力系等效定理

小结思考题

第2章2．1 力在轴及平面上的投影2．1．1 力在直角坐标轴上的投影力系等效定理力系的主矢和主矩是力系的两个基本特征量。力在坐标轴上的投影是一代数量。其大小由力的起点与终点在该轴上的投影间线段的长度来确定；符号为：若自力的起点投影至终点投影的指向与轴的正向相一致时，取正号（图2－1a）；反之为负（图2－1b）。以Fx，F1x表示力F，F1在轴上的投影。由图2-1，则有F的分力与x轴正向一致F1的分力与x轴正向相反BDx′FAF1φF1xFxB11Ex′D1OxaFxb(a)dF1x(b)eF在x轴上的投影为正F1在x轴上的投影为负图2－1FxAB1ab,而故F1xED1edED1F1cosF1cos1F1xF1cosF1cos1①AB1Fcos,FxFcos,、1为力与轴正向间所夹的角，称为方向角。因此，力在坐标轴上的投影等于力的大小乘以力与坐标轴正向间夹角（方向角）的余弦。z当力与坐标轴正向间夹锐角时，投影为正（图2－1a）；夹钝角时，投影为负（图2－1b）。若力垂直于坐标轴，则力在该轴上的投影为零。由图2-2-1，力F在空间直角坐标轴上投影为αFzFγβOyFyFxFcosFyFcosFzFcos（2 –1）xFx图2－2－1①力F及F1的模为F（∣F∣）及F1（∣F1∣），它们与力的投影Fx、F1x的意义不同。其中Fx，Fy，Fz分别为力F在x，y，z轴上的投影，cosα，cosβ，cosγ为对应于方向角α，β，γ的方向余弦。引进沿x，y，z轴的单位矢量i，j，k，则力F的解析表示为zFFxiFyjFzk(2—2) FzFkγβOj等式右端各项分别为力F在三个坐标轴上的分力Fx，Fy，Fz。显然，力在坐标轴上的投影与力沿相应轴向的分力的概念是不同的（图2-2-2）。若已知力F在直角坐标轴上的投影Fx，Fy，Fz，则该力的大小与方向可由下式确定xαyFyiFxFFFF2x2y2zFyFxFzcos,cos,cosFFF(2—3) 图2－2－2在平面情形中，分别有FFxiFyjFFx2Fy2FyFxcos,cosFF为了便于计算，通常取力与坐标轴所夹的锐角计算其余弦。投影的符号则按力起点投影至力终点投影的指向与坐标轴正向是否一致的原则来确定。不难发现，以上讨论也适用于其他矢量（主矢、力矩矢、速度、加速度等）。z2．1．2 力在坐标轴上的二次投影法1．力在平面上的投影与力在轴上的投影不同，力在平面上的投影是一矢量，它由力的起点与终点在该平面上的投影所构成的矢量来γFFxyy表示。如图2-3-1所示，若力F与z轴间的夹角为，则力F在Oxy平面上的投影为Fxy，其大小为OFxyFsin(a)x图2－3－12．力在坐标轴上的二次投影法由力在xy坐标平面上的投影，进而求得力在x，y 坐标轴上的投影。由图2-3-2可见，力Fxy在x，y坐标轴上的投影分别为FxFxycosFyFxysin结合式(a)、(b)可得(b) zFzγFFyFxyyFxFsincosFyFsinsinFzFcos(2-6) xOFxφ图2－3－2上述求力在坐标轴上投影的方法称为二次投影法。例2-1图2－4所示作用于A点的力F，其模为F=1000 N。求该力沿x，y，z轴向分力的大小；并以单位矢量i，j，k表示该力。解：由二次投影法，力F在Oxy平面上的投影Fxy的大小为Fxy= Fsin γ= 20FF222292342m2242z故F在x，y，z轴上的投影分别为202FFxycosFxy·22Fx= = 29202421000N= = 371.4 N294Fy= − Fxysin = −Fxy222441000N= − = − 742.8 N292BF=1000NFz3mOFxyFyγφFxAyxD4mC图2－43F1000NFz= Fcos = = = 557.1 N222234293力沿各坐标轴方向分力的大小分别为Fx371.4N,Fy742.8N,Fz557.1N力F可表示为FFxiFyjFzk(371.4N)i(742.8N)j(557.1N)k2．2 力系的主矢设F1，F2，…，Fn为作用于刚体各点P1，P2，…，Pn的某力系（图2－5）。。即力系中各力矢的几何（矢量）和称为力系的主矢，记以FR=F1+F2+…+Fn=∑FiFRzF1P1(2-7)P2F2Pna0yF1a1F2a2OFnF'RanFnan-1x图2－5图2－6若采用几何法，在空间任选一点a0为起点，用力的多边形法则（参阅1.2.3节），连接起点至终点a0FR（图2－6）。an，得到作为“封闭边”的矢量a，此即为该力系的主矢0an若采用解析法，则将式（2－7）的两边同时向直角坐标轴投影，便得x=F1x+F2x+…+Fnx=FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=FyFRz=F1z+F2z+…+Fnz=FzFRx,FRy,FRz及Fix,Fiy,Fiz(i1,2,式中FR于是主矢的模及方向余弦分别为22FRxyz2FRFRFR(2－8)①,n)分别为主矢及各力Fi在坐标轴上的投影。(Fx)2(Fy)2(Fz)2(2－9)z及Fcos(F,i)RxFRF,cos(F,j)RyFRF,cos(F,k)RFR(2－10)①在一定条件下，倘FR是力系F1，F2，…，Fn的合力FR，则式（2－8）称为合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。必须指出，力系的主矢和力系的合力是两个不同的概念。力系的主矢是力系经矢量运算后所得的一几何量。主矢有相应的模及方向，但并不涉及作用点的问题，因而并无力的确切含义。而力系的合力则是一物理量，它具有与原力系等效的意义，除了相应的模及方向以外，还需指明其作用点（或线）。按前述(1.1.1节),（合）力是定位矢量（或滑动矢量），而主矢为自由矢量。凡力系必有主矢，但却未必有合力。如图2-7所示，作用于刚体A、B两点的力F1与F2的几何和，即主矢为FR。但进一步分析表明F1与F2并无合力，即不能用单个力与F1、F2等效。x图2－7BzF1F'RAF2y2．3 力对点之矩与力对轴之矩2．3．1 力对点之矩合力矩定理1. 平面中力对点之矩力使物体绕某点转动效应的量度称为力对点之矩或力矩。设力F作用于某一平面内（图2-8），在同一平面内任取一点O，称为矩心。矩心O至力F的作用线的垂直距离h称为力臂。力在该平面内（对物体）的转动效应仅决定于以下两个因素：（1）力的大小与力臂的乘积Fh；（2）在该平面内转动的方向。OBFAhOMO(F)=－Fh(b)AFBhMO(F)=+Fh(a)图2－8这两个因素，可用一代数量表示，记以MO(F)，称为力F对矩心O的力矩。即MO(F)=±Fh（2－11）式中符号应如此确定：若力使物体绕矩心产生逆时针方向的转动，则取正号；反之为负。图2-8中，（a）图所示的力矩为正，（b）图所示的力矩为负。当力的作用线通过矩心时，力矩为零。力矩的单位为N·m 或kN·m 等。2. 空间中力对点之矩空间中某力F与矩心O构成某一方位的平面。显然，力的方位不同，所构成的平面的方位也会不同。这样，空间中力对点之矩应有以下三个因素决定：（1）力与矩心所构成平面的方位。（2）力矩在该平面内的转向。（3）力矩的大小。MO(F)zBFkOijhrAyx图2－9因此，空间中力对点之矩应由矢量来表示。设力F作用于刚体的A点，由矩心O至力作用线上任一点（例如A点）所引之矢量r=OA称为该点对矩心O点的矢径，如（图2－9）所示。则以下矢量Mo(F)= r×F （2－12）称为力F对点O的力矩矢。即力对点之矩矢等于矩心至力作用点的矢径与该力的矢积。3. 合力矩定理

倘力系有合力，则合力对某点之矩（矢）等于各分力对同一点之矩（矢）的代数（矢量）和。即

MO(FR)MO(F1)MO(F2)MO(Fn)MO(Fi)（2-13）（2-14）

MOFRr1F1r2F2将给出有关证明）。

rnFnriFiMOFi式中，FR是F1，F2，…，Fn的合力。以上两式称为合力矩定理（第4章中

例2 –2 作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆直径D=160mm，压力角20（图2-10a）。求啮合力对轮心O之矩。解：将啮合力Fn分解为圆周力F和径向力Fr（图2-10b），则FFncos根据合力矩定理，有FrFnsinFnFnααMO(Fn)MO(F)MO(Fr)DFncos02FrαFd0.16m1000Ncos20275.2NmODOD(a)(b)图2—102．3．2 力对轴之矩力使物体绕某轴转动效应的量度称为力对轴之矩。现以力F开门为例。设门可绕某轴z自由转动（图2-11），力F作用于门的A点。过A点作平面Oxy与z轴相垂直。将力F作正交分解，得到与z轴平行的分力Fz及在Oxy平面内的分力Fxy（即力F在Oxy平面上的投影）。显然，与z轴平行的分力Fz并不能使物体绕z轴转动。于是，力F对z轴的转动效应与分力Fxy对z轴的转动效应完全等效。即zMz(F)Mz(Fxy)(2-15)FFzO式中Mz(F)表示力F对z轴之矩；而力Fxy对z轴的力矩，由力Fxy的大小与自z轴至力Fxy的垂直距离h的乘积Fxyh决定，它和力Fxy对于z轴与Oxy平面交点O之矩相等（图2-11），即(Oxy)hAFxyMz(Fxy)= Mo(Fxy) （2-16）结合式（2-15）及式（2-11），得Mz(F)= Mo(Fxy)=±Fxyh（2-17）图2-11故力对轴之矩是一代数量，它等于力在垂直于该轴的平面内的投影对该轴与此平面交点之矩。其符号如此确定：从z轴的正向端观察，若力使物体绕该轴逆时针转动，取正号；反之为负。也可按右手螺旋法则确定其符号（见附录一）。不难发现力对轴之矩为零的情况：（1）力与该轴平行（此时= 0）；（2）力的作用线与该轴相交（此时h= 0）。概括上述两种情况：当力与某轴共面时，力对该轴的力矩为零。例2 -3 图2 –12a所示工件受力F=（6 i− 4 j−7k）kN，求此力对于杆轴y的力矩。zzF={6i-4j-7k}kN30mmOx(a)yFxxFz(b)FyOy30mm40°图2－12解：由图可见，力的作用点在Oxz平面内，距坐标原点O为30 mm，将力作用点与坐标原点O相连，此连线与x轴正向间的夹角为40o。下面应用合力矩定理求解。将力F分解为沿x，y，z轴向的分力，如图2 –12b所示。各分力对y轴的力矩分别为zMy(Fx)Fx30(103)msin40610N30(10)msin40= 115.7 N·mFxx33FyOFz(b)30mmMy(Fy)0yMy(Fz)Fz30(103)mcos40=7103N30(103)mcos40= 160.9 N·m由合力矩定理式（2 –13）得My(F)My(Fx)My(Fy)My(Fz)=115.7Nm160.9Nm= 276.6 N·m2．4 力系的主矩力系中各力对同一点之矩的几何（矢量）和称为力系对该点的主矩。设作用于刚体的某力系F1, F2,…, Fn，其作用点分别为P1, P2,…, Pn（图2-13）。由坐标原点O至各力作用点的矢径分别为r1= , r= ,…, r=。取OPOPOP2n21nO为矩心，则力系对O点的主矩Mo为Mo= r1×F1+ r2×F2+…+ rn×Fn=∑ri×Fi=∑Mo(Fi)=∑Moi（2-18）将上述矢量式向直角坐标轴投影，便得Mox=∑[ri×Fi]x=∑MixMOzF1P1r1OFnr2rnP2F2yPnMoy=∑[ri×Fi]y=∑MiyMoz=∑[ri×Fi]z=∑Miz（2－19）x图2—13式中Mox，Moy，Moz分别为主矩在各直角坐标轴上的投影。由力矩关系定理（参见附录一），可知∑Mix，∑Miy，∑Miz为力系中各力对各坐标轴之矩的代数和。主矩的模及方向余弦分别为Mo= 222MoxMoyMoz(Mix)(Miy)(Miz)222(2-20) cos(Μocos(Μocos(ΜoM,i)MoixM,j)MoM,k)Moiy(2-21) iz因力矩的大小与方向有赖于矩心位置的选取，故力系的主矩与矩心的位置有关。在平面力系的情况下，主矩为一代数量。力系的主矩等于力系中各力对某点O之矩的代数和。有Mo=∑Mo(Fi) （2-22）例2-4图2-14a所示构架中，求三力所构成平面力系的主矢和对A点的主矩。解：选取坐标系如图2-14a所示，主矢在两坐标轴上的投影分别为xF1xF2xF3xFRyF1=250NA2m3(2500.53000.5500)N5= 275 N4(2500.8663000.866500)N5= −876 N30°F2=300N60°3m4mxyF1yF2yF3yFR(a)435故力系主矢的大小及方向（与x轴所夹锐角）分别为2222FRFRxFRy(275N)(876N)F3=500NAF'Rxθ=72.6°F'Ry= 918 NyFR876arctanarctan72.6xFR275因F'Rx为正值，F'Ry为负值，故力系主矢的方向角在第2象限F'R(b)图2—14力系的主矩为MAMA(Fi)=(433129920001200)Nm43F1cos302mF2sin605mF35mF34m55= − 2532 N·m（顺时针转向）yF1=250NA2m3m4m30°F2=300N60°xMAAF'Rxθ=72.6°F'Ry435F'RF3=500N(a)(b)图2—142．5 力系等效定理2．5．1 力系等效定理力系的主矢和主矩是力系的两个基本特征量。力系的主矢和对一点的主矩，是刻画力系对刚体产生运动效应的两个最本质的因素，这可用力系等效定理①加以描述。两力系等效的充分与必要条件是:该两力系的主矢和对同一点的主矩分别相等。或表示为FRFR12ΜOΜO12(2-23) F式中上标“［1］”“［2］”分别表示不同的力系。A力系等效定理在静力学中具有重要意义。应用该定理可简化力系，并使许多静力学命题变得十分简单。例如，用力系等效定理证明力的可传性原理，如图2-15所示。(a)AFB(b)图2—15①力系等效定理可由动力学中的动量定理与动量矩定理加以推证。限于篇幅，本书不予证明。建议有兴趣的读者参阅：浙江大学理论力学教研室编.陈乃立等修订.理论力学.第4版.北京：高等教育出版社，2009，293。考察作用于刚体A点的力F（图2-15a），及将此力沿其作用线移至刚体上任一点B（图2-15b）的两种情况。因分别作用于A、B两点的力的主矢与主矩（可取任意点为矩心）均相等，故此二力等效。于是力的可传性原理得到验证。2.5.2 力系平衡定理若力系的主矢和对任一点的主矩均为零，则力系对刚体不产生运动效应。反之亦然，若力系对刚体不产生运动效应，则该力系的主矢和对任一点的主矩均为零。此时的力系称为平衡力系。故有力系平衡的充分与必要条件是：该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即0FRΜo0(2-24) 以上称力系平衡定理。它奠定了静力学中求解各类平衡问题的基础。小结

1 ．力在直角坐标轴上的投影Fx，Fy，Fz为代数量。有

FxFcos，FyFcos，FzFcos分别为力F与x，y，z轴正向间的夹角。其中，，

2．力的解析表达式

FFxiFyjFzk其中i ，j ，k分别为沿x，y，z轴正向的单位矢量。3．力F在Oxy（坐标）平面上的投影为矢量Fxy，其大小为

FxyFsin其中为力F与z轴正向间的夹角。4．力在直角坐标轴上投影的二次投影法

FxFsincosFyFsinsin其中为力在Oxy平面上的投影Fxy与x轴正向间的夹角。

FzFcos5．力系的主矢和主矩是力系的两个基本特征量。需注意力系的主矢与合力的区别。凡力系必有主矢，但却未必有合力。6．力系主矢的大小及方向余弦分别为FRx2FRy2FRz2(Fx)2(Fy)2(Fz)2FR及Fcos(F,i)Rx7．力系对任一点O的主矩的大小及方向余弦为FRF,cos(F,j)RyFRF,cos(F,k)RzFR222MOMOxMOyMOz(Mix)2(Miy)2(Miz)2及Mcos(M,i)oixMoM,cos(M,j)oiyMoM,cos(M,k)oizMo8．力对点O（矩心）之矩平面情形空间情形Mo(F)=±Fh，力矩Mo(F)为代数量，h为力臂。Mo(F)=r×FMo(F)称力矩矢。r为矩心O至力作用点的矢径。9．合力矩定理合力对某点之矩（矢）等于各分力对同一点之矩（矢）的代数（矢量）和。10．力对轴之矩

力对轴之矩等于力在垂直于该轴的平面内的投影对该轴与此平面交点之矩。即

Mz(F)= Mo(Fxy)=±Fxyh11．力系等效定理

两力系等效的充分与必要条件是:该两力系的主矢和对同一点的主矩分别相等。

12．力系平衡定理

力系平衡的充分与必要条件是：该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即

0FRΜo0思考题1、力F在x，y，z轴上的投影与力沿相应轴向的分力是否相同？它们之间有什么联系？2、力在平面上的投影与力在轴上的投影有什么本质的区别？它们之间有什么联系？3、“凡力系必有主矢”与“凡力系必有合力”，这两种说法哪一种正确？为什么？4、力系的主矢是否唯一？主矩是否唯一？5、为什么空间中力对点之矩必须用矢量（力矩矢）来表示？6. 力对点之矩矢表达式中，矢径r为矩心O 至力作用线上一点P的位置矢量，问该力矩矢与P点在力作用线上的位置是否有关？MOrF7.若表示图2 –16 中力F对O点之矩矢，试问下列诸表达式中哪个是正确的？（a）；（b）；（c）；（d）；（e）r1Fr2FFr1r1FOr2Fr2(r2)F图2—16END