自回归滑动平均模型中阶数及参数的确定

维普资讯 http://www.cqvip.com 理论新探；　。　年第１２期（总第１８Ｏ期）　自回归滑动平均模型中　■杨振成　时间序列中的模型，即自回归滑动　ＬＭ检定用作模型初选，ｔ检定用来检定　表１　１９５２～１９９８年陕西省ＧＤＰ（亿元】　平均模型，是在２Ｏ世纪７Ｏ年代由Ｂｏｘ—　模型参数的显著性，最后通过Ｑ检定对　年份　ＣＤＰ　年份　ＣＤＰ　年份　ＣＤＰ　Ｊｅｎｋｉｎｓ提出的，由于其准确的短期预测　所选模型进行诊断检定。　能力，近年来在经济预测方面得到了广　１．ＡＤＦ检定　泛应用。建立模型的关键在于模型阶数　１９５２　１９５３　ｌ９５４　１９５５　ｌ９５６　ｌ９５７　ｌ９５８　ｌ９５９　ｌ２．８５　ｌ７．４４　２０．０４　２０．５８　２７．１４　２５．５８　３１．０２　３５．５８　３８　３０　３１．６４　２６．８５　２７３６　２９．３４　１９６８　ｌ９６９　ｌ９７０　１９７１　ｌ９７２　ｌ９７３　ｌ９７４　ｌ９７５　ｌ９７６　ｌ９７７　ｌ９７８　ｌ９７９　ｌ９８０　２８．¨　４０．７３　４６．８４　５７．６６　５７．７６　５９．６３　６２．０３　６４　９２　６２．９４　６９．９９　８１．０７　９４．５２　９４．９ｌ　ｌ９８４　ｌ９８５　ｌ９８６　１９８７　ｌ９８８　ｌ９８９　ｌ９９０　ｌ９９ｌ　ｌ９９２　ｌ９９３　ｌ９９４　ｌ９９５　ｌ９９６　ｌ４９３５　ｌ８ｏ．８７　２０８．３ｌ　２４４．９６　３ｌ４．４８　３５８Ｉ３７　４０４Ｉ３０　４６６．８４　５３８．４３　６６１．４２　８ｌ６．５８　ｌ０００＿０３　ｌ１７５．９２　ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型适用于稳定时间序　及参数的确定，过去许多文献探讨过有　列，在建模之前需要检定时间序列的稳　关定阶和参数估计的方法，但其中无论　定性。本文通过单根检定中的ＡＤＦ　是ＡＩＣ、ＢＩＣ准则法还是观察自相关函数　（Ａｕｇｍｅｎｔｅｄ　Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ）检定序列的　图和偏自相关函数图法等，往往对两个　稳定性。ＡＤＦ检定的回归方程式及虚无　ｌ９６ｏ　阶数相近的模型不能作有效的优劣判　假设表示为：　断，建模不够准确且效率不高。为了更准　下通过ＬＭ检定、ｔ检定及Ｑ检定建立模　Ａｙｌ：６＋．ｙｌ＋ＰＹｌ－１＋ＢｌＡｙｌ１１＋…＋ＢＩ卜ｌ△ｙ卜　ｌ＋　ｌ９６ｌ　ｌ９６２　ｌ９６３　ｌ９６４　确、高效的建立模型，本文提出在估计法　￡　Ｈ０：ｐ＝０　型的方法，并通过对１９５２－２００２年陕西　趋势成分。　省ＧＤＰ水平的实证研究验证了该方法　的可行性。　（５）　其中，△ｙ．＝ｙ．一Ｙ　，６为定值，　为时间　ｌ９６５　１９６６　ｌ９６７　３５．９３　４０．４７　３６．８４　ｌ９８ｌ　１９８２　ｌ９８３　１０２．０９　ｌ９９７　１１１．９５　１９９８　ｌ２３＿３９　ｌ３００．０３　１３８１．５３　检定ＯＬＳ估计值Ｐ，若接受Ｈ。，则　数据来源：陕西省统计局．陕西五十年．西安三奏出版　ｚ＝ｌ为式（４）中　（Ｌ）＝Ｏ的解，Ｙ．非稳定，需　社．１９９９．　ＡＲＭＡ｛ｐ，ｑ）模型及其建模方法　检定第二个单根的存在。依此类推，若通　率密度不能作如上简化。若根据ＣＳＳ估　过ＡＤＦ检定得到竹（Ｌ）＝Ｏ的个单根，即　计法设定ｙ　ｙ　…＝ｙ。　：０，Ｙ．的条件概率　　（１一Ｌ）　竹　（Ｌ）＝Ｏ，则△　为稳定时间序列。　密度可统一表示为残差项的概率密度，２．ＬＭ检定　Ｇｏｄｆｒｅｙ研究表明，如果一组资料已　则式（７）的概似函数简化为：　Ｔ　（一）ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型简介　ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型表示为：　Ｈ　ｌｙ　广·¨－　ｐｙ．ｆ￡．＋０ｔｔ￣　Ｉ十…＋Ｏｄ￣１）　其中ｅ，￣ＷＮ（０，盯２），若引入滞后因子　Ｌ，可以方便的把模型表示为：　（Ｌ）ｙｔ：０（Ｌ）￡。　ｌｎＬ＝∑ｌｎｇ（（ｅｔ　）＝－　下　１　ｌｎ２＂ｎ一　一下　１　ｌｎｏ－２＿　ｔ＝１　厶　厶　其中　（１０＝１一　。Ｌ一·一　０ｊＬ＋…＋０　ｐ，ｑ）模型得到残差值￡，有两组　【２）　由ＡＲＭＡ（对立假设可以进行检定：　０（１０＝１＋　＝…＝　：０，０ｑ十ｌ：…＝ｅ州：０　【６）　Ｔ　∑ｅ．：　ｕ　＇：ｌ　（８）　当ｐ＝０时，ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型简化为　ＭＡ（ｑ）模型（Ｍｏｖｉｎｇ　Ａｖｅｒａｇｅ　Ｍｏｄｅ１），而　当ｑ＝０时，ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）简化为ＡＲ（Ｐ）模　型（Ａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ　Ｍｏｄｅ１）。　即ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）检定的对立假设分别　由式（４）可知任何ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型都　　）的形式，根据ＣＳＳ估　为ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ＋ｑ　）及ＡＲＭＡ（ｐ＋ｐ　＇ｑ）。在极　可以转换成ＡＲ（。－＿ｙ　＝…－－０，概似函数简化　大似然估计法（ＭＬＥ）架构下，由于ＬＭ　计法设定ｙ　ｙ一８）的形式。在此假设下ＬＭ检定量　检定量只需在虚无假设下进行估算，使　为式（　得对于复杂度较高的ＡＲＭＡ模型而言　表示为：ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型适用的序列是一稳　定可逆时间序列，满足稳定性的条件是　（ｚ）＝Ｏ所有解的绝对值均大于１，此时Ｙ．　可表示为￡”￡Ｉ．。…的线性组合。　￡　其中￣（Ｌ）－－６（Ｌ）　０（Ｌ）　Ｊ＝０　计算较ＬＲ、Ｗａｌｄ检验更为简便。本文即　是在条件平方和（ＣＳＳ）估计法下运用　ＬＭ检定量对式（６）中ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）的两组　ＬＭ＝ｃｒ。￡．，ｚ．（０）［ｚＩ（０）　（０）】　ｚ。（０）　￡．　（９）　其中０，盯　为虚无假设下ＣＳＳ估计的　ｚ．（０）＝　ｃ３０１０。　对立假设分别进行检定。ＣＳＳ估计法是　参数，种近似的极大似然估计法，以ＡＲ（ｐ）为　对ＡＲＭＡ（ｏ，ｑ￣型的两组对立假设分　例说明ＣＳＳ估计法的原理。运用ＭＬＥ对　别进行ＬＭ检定，若均通过则暂时接受此　模型ＡＲ（ｐ）估计时的概似函数可写为：　｛模型，若有一个不能通过，需改变模型阶　满足可逆性的条件是０（Ｚ）＝Ｏ所有解的绝　｝数Ｐ或ｑ重新检定，以此进行模型初选。　对值均大于１，此时￡。可表示为：　ｌｎＬ＝　ｌｎｆ（ｙ．１ｎ　。）＋ｌｎｆ（ｙｏ）　（７）　３．ｔ检定　（３）　Ｔ　ｔ＝ｐ￣－Ｉ　￡Ｆ　（Ｌ）０（Ｌ）　ｙｌ　盯（Ｌ）ｙＦ　１；ｊｙ　Ｊ；０　【４）　其中ｎ　＝（ｙ　，ｙ：，…，ｙ　｝，ｆ（ｖ　为序列前　选取模型时应遵循Ｐａｒｓｉｍｏｎｙ准则，　ｐ，ｑ）模型在满足和稳定时间序　Ｐ项的联合概率密度。由ＡＲ（ｐ）模型ｙｔ：　即ＡＲＭＡ（（二）ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型的建立　ｑ值　４）ｌｙ　ｌ＋…＋　＋￡．可知，当ｔ＞ｐ时，ｎＩ－ｌ为　列绝对拟合的条件下，模型阶数Ｐ，本文建立ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）的过程依次分　已知，Ｙ．的条件概率密度ｆ（ｙ。　一－）可简单　应尽量为小。为此本文以ｔ检定量检定　为ＡＤＦ检定、ＬＭ检定、ｔ检定及Ｑ检定　表示为残差项￡　的概率密度ｇ（ｅ。）。而当　通过ＬＭ检定的模型的参数，若存在不　四个模块，ＡＤＦ检定时间序列的稳定性，　ｔ≤Ｐ时，ｎ　中存在部分未知量，条件概　显著系数则不能通过检定，说明模型阶　８　统计与决策　维普资讯 http://www.cqvip.com 理论新探　２００４至笺　２期（总第１８０期）　差项不是白噪音　应重新设定模型并回　１，２…７的ＡＤＦ检定量如表２所示：　到ＬＭ检定阶段：　参照Ｄｉｃｋｅｙ—Ｆｕｌｌｅｒ　ｔ分布表的ｌ％　本文对以上四个模块的检定运算均　及５％临界值可得式（４　（Ｌ）＝０中含有两　由程序实现，整个建模过程的程序流程　个单根，即△　是稳定时间序列。　如图１所示。　本文应用ＬＭ检定ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型　二、实证研究　时，对两个虚无假设ＡＲＭＡ（ｐ＋１，ｑ）及　个国家或地区的ＧＤＰ水平受到　ＡＲＭＡ（ｐ．ｑ＋１）分别进行检定：另外，根据　诸多因素的影响，除受该国家或地区的　Ｐａ￣ｉｍｏｎｙ准则，ＡＲＭＡ（Ｐ，Ｑ）模型的阶数　客观历史条件外，人力资源、社会资　不会太高，一般ｐ＋ｑ≤５可以拟合绝大多　本的变化，贸易条件、经济的变化，　数时间序列，本文首先假定真实模型为　甚至气候条件的变化均会对ＧＤＰ水平　ＡＲＭＡ（３，２），再依次减小Ｐ或ｑ的值进行　产生影响，这些影响往往不是瞬间结束　检验：在各个假设下，ＬＭ检定量（ｐ值）、　的，而在后续几期或更长时间内继续起　ｔ检定量及Ｑ检定量的值如表３所示　ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）　作用，这种记忆功能造成ＧＤＰ水平的前　图１　Ｇａｕｓｓ程序建模流程图　后相关符合模型研究的条件：本文以　由表３可以看出，ＡＲＭＡ（３，２）、ＡＲ—　ＭＡ（２，２）、ＡＲＭＡ（２，０）和ＡＲＭＡ（１，１）不能通　９９８年陕西省ＧＤＰ水平为研究对　数设定过大，减小Ｐ或ｑ的值并重新回　１９５２～１ＡＲＭＡ（１，２）、ＡＲ—　象（见表１），通过简单的数据处理及前面　过ＬＭ检定（５％拒绝），到ＬＭ检定阶段。　２，１）和ＡＲＭＡ（０，２）由于存在不显著系　Ｉ所述一系列检定过程建立ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模　ＭＡ（４．Ｑ检定　数，被ｔ检定拒绝，式（９）中取ｓ＝９，ＡＲＭＡ　本文采用Ｌｊｕｎｇ—Ｂｏｘ的Ｑ检定实现　型，并以此为基础对１９９９～２００２年ＧＤＰ　（０，１）不能通过Ｑ检定（１６．８４１２＞１５．５０７，　水平进行短期预测，通过和实际资料的　对通过ｔ检定的ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型的诊断　５％拒绝），所以仅有模型ＡＲＭＡ（１，０１符合　比较检验ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型的预测能力：　检定：　要求：由Ｇａｕｓｓ程序输出对ＡＲＭＡ（１，０）　（一）数据处理及模型建立　Ｑ＝Ｔ（Ｔ＋２）ｋ　＝　Ｊ击　一＾　ｔ　鉴于１９５２年到１９９８年陕西省ＧＤＰ　进行ＬＭ检定时计算的参数　，则ＡＲ．ＭＡｆ１．０）模型表示为：　水平跨越三个数量级，首先对每年的　｛ＧＤＰ取常用对数以得到相对平滑的时间　山　＋０．３８７７￣¨＝８　８　～ＷＮ（０，ｏ。）　Ｏ１）　其中　（∑　／（∑　）　序列Ｙ　然后对时间序列ｙ　、△ｙ　、△　分别　若ｐｋ中有一项显著大于零，说明残　进行ＡＤＦ检定，其中对）　△）．　检定时取　表２￣ｅｋｅｙ—ｎＩＩｌｅｒ　Ｆｕｌｌｅｒ　ｔ统计量　ＤＦ　１　３３　（二）预测分析　在１９９８年应用ＡＲＭＡ（１，０）模型对　１９９９～２００２年陕西省ＧＤＰ水平作预测，　结果如表４所示。从表４可以看出　１９９９￣２００１年的预测误差均在５％以下．　２　６Ｏ　３　Ｏ３　—３．５８　ＡＤＦ（１）　ＡＤＦ【２）　ＡＤＦ（３１　ＡＤＦ（４１　ＡＤＦ（５）　ＡＤＦ（６１　ＡＤＦ（７１　临界值　１　５３　１．７５　２．Ｏ７　３　Ｏ６　２．１４　Ａｙ　△　一５．６９　一ｌＯ．Ｏ　．４　３４　一６　７３　—３　９９　－６　６７　—３．２９　—６．５４　—２．１７　－６Ｏ７　—１　６４　—４　８Ｏ　一ｌ　０４　一３　５６　一ｌ　５２　－３．７９　—３　５８　一ｌ　９５　其中１９９９年几乎和实际值吻合，而　２００２年的预测误差较大，说明ＡＲＭＡ（ｐ　ｑ）模型只能用于短期预测。此外应用　表３　ＬＭ检定量（Ｐ值）、ｔ检定量及Ｑ检定量　初设模型　ＡＲＭＡ（３，２１　ＡＲＭＡ（２，２）　虚无假设模型　ＡＲＭＡ（３，３１　ＬＭ检定（Ｐ值）　Ｏ．Ｏ５Ｏ９　Ｏ．Ｏ１６Ｏ　ｔ检定　Ｏ检定　接受／拒绝　拒绝　拒绝　ＡＲＭＡ（４２１　ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型作实际预测时可即时更　新．即把最新资料加入原始资料重新建　模后再作预测，可大大减小预测误差　三、结论及建议　ＡＲＭＡ（２，３）　Ｏ．ｏ０８Ｏ　ＡＲＭＡ【３　２）　ＡＲＭＡ（Ｉ，３１　ＯＯ４８５　０．０５８３　Ｏ４４Ｏ４　－２（）９６９　—０　２９２６—１　９７６７　ＡＲＭＡ（１，２）　ＡＲＭＡ（２，１１　ＡＲＭＡ（２，０１　ＡＲＭＡ（０，２）　ＡＲＭＡ（２２）　拒绝　拒绝　拒绝　１．本文提出在ＣＳＳ估计法下通过　ＡＲＭＡ（２，２）　Ｏ．７１７３　Ｏ．１１ｌ１　０４７９７　—０　８３７３一ｌ１　２２ｌ７　ＡＲＭＡ（３１）　ＬＭ检定、ｔ检定及Ｑ检定对稳定时间序　列建立ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）模型的方法　首先假　设一阶数较高的模型，然后根据ＬＭ检　定、ｔ检定及Ｑ检定的判别条件实时调　节Ｐ、ｑ值，直至找到符合要求的ＡＲＭＡ　ＡＲＭＡ（２，１　１　ＡＲＭＡ（３０１　０．３５９９　ＯＯ１Ｏ２　ＡＲＭＡ（０，３）　ＡＲＭＡ（１２）　０．２５３０　０．３５６３　－５．０９６７　—０　６７３２　拒绝　ＡＲＭＡ（Ｉ，２）　Ｏ．ｏｏｏｏ　Ｏ．ｏｏｏｏ　￣ＲＭＡ（Ｉ．１１　ＡＲＭＡ（２１１　拒绝　（　ｑ）模型，从而使建模准确、高效，具有　重要的理论意义和实际参考价值　２．运用ＡＤＦ检定时Ｐ值的选取非　常重要，Ｐ值选取过小可能会引起检定　错误，为此多选几个Ｐ值分别进行检定　（如表２）会使ＡＤＦ检定更加准确：　（作者单位／西安交通大学　金禾经济研究中心）　（责任编辑／李友平）　ＡＲＭＡ（！，１）　Ｏ　ｌ１１２　Ｏ．２Ｏ４３　０．２４３１　ＡＲＭＡ（１．０１　ＡＲＭＡ（０，１）　ＡＲＭＡ（２０１　—２　７９７０　。　一ｌ２．０２３５　１４　２１９１　１６．８４ｌ２　接爱　拒绝　ＡＲＭＡ【０，２）　ＡＲＭＡ（１１）　０．２２４０　表４　１９９９～２ｏ０２年陕西ＧＤＰ水平的预测值、实际值及预测误差　—＼　１９９９　２００ｏ　２ｏ０１　２ｏ０２　含固定值、不含时间趋势的　预测值（亿元１　实际值（亿元）　预测误差（％）　１４９０．８１　１４８７．６１　Ｏ．２１５　１５９９．２１　１６６０．９２　—３　７２　１７５９４５　１８４４．２７　－４．５９　１９０２　２８　２０３５　９Ｅ　回归方程式，对△　检定取　不含固定值及时间趋势的　－６．５７　数据来源：陕西省统计局．陕西统计年鉴．中国统计出版社，２ｏ０２，２ｏ０３　回归式。对应Ｐ值分别为０，　９