教学目标： 1 了解全等形及全等三角形的的概念；
2 理解全等三角形的性质
3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学 生的几何直觉，
4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的 体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣
重点：探究全等三角形的性质
难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程：
观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形
问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？
这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形 叫做全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改 变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
“全等”用 表示，读作“全等于”
两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如
ABC 和 DEF 全等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记
作 ABC
DEF
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对 应边，重合 的角叫做对应角
思考：如上图， 12。1-1 ABC 全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 思考：
（1）下面是两个全等的三角形， 按下列图形的位置摆放， 指出它们的对应顶点、 对应边、对应角
B
DEF ，对应边有什么关系？对应角呢？
C
A
o
O
C
A D
A
B
D
C
D
C
B
D
A
B
（2）将 ABC 沿直线 BC 平移，得到
A
DEF ，说出你得到的结论，说明理由？
D
B E
C
F
（3）如图， ABE 求 ADC 的大小。
A
ACD , AB 与 AC，AD 与 AE 是对应边，已知： A 43 , B 30 ，
D
E
C
B
小结：
作业： P33—1，2，3
12．2 三角形全等的判定 (1)
教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点
三角形全等条件的探索过程． 一、 复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论： 全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相
等，这样的两个三角形一定全等．
二、创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢 如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢
?
?
组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流 予以汇总归纳．
三、建立模型，探索发现
出示探究 1，先任意画一个△ ABC，再画一个△ A'B'C' ，使△ ABC 与△ A'B'C' ， 满足上述条件中的一个或两个．你画出的△ A'B'C' 与△ ABC 一定全等吗 ?
让学生按照下面给出的条件作出三角形． (1) (2) (3)
三角形的两个角分别是 30°、 50°． 三角形的两条边分别是 4cm，6cm． 三角形的一个角为 30°，—条边为 3cm．
再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条 件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
出示探究 2，先任意画出一个△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，B'C' ＝BC，C'A' ＝ CA，把画好的△ A'B'C' 剪下，放到△ ABC 上，它们全等吗 ?
让学生充分交流后，在教师的引导下作出△ 三边对应相等的两个三角形全等． 四、应用新知，体验成功
实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定 不变的．
鼓励学生举出生活中的实例．
给出例 l ，如下图△ ABC 是一个钢架， AB＝AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架，求证△ ABD≌△ ACD．
A'B'C' ，并通过比较得出结论：
A
B
D
C
让学生思考后口头表达理由，由教师板演推理过程． 例 2
如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：
①以 A 为圆心画弧，分别交角的两边于点 B 和点 C；
②分别以点 B、C 为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点 D；③ 画射线 AD．
AD 就是∠ BAC 的平分线．你能说明该画法正确的理由吗 ?
例 3 如图四边形 ABCD 中， AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形 ABCD 分成两个相 互全等的三角形吗 ?你有几种方法 ?你能证明你的方法吗 ?试一试．
A
D C
B
五、巩固练习
教科书第 37 页的思考及练习． 六、反思小结
回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思
想，掌握数学规律． 七、布置作业
1．必做题：教科书第 43 页习题 12．2 中的第 1、2 题． 2．选做题：教科书第 44 页第 9 题．
12.2 三角形全等的判定 (2)
教学目标
①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力． ②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简 单的推理．
③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点
应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 教学过程（师生活动） 一、 创设情境，引入课题
多媒体出示探究 3：已知任意△ ABC，画△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，A'C' ＝AC， ∠A' ＝∠ A．
教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△ 上，观察这两个三角形是否全等． 二、交流对话，探求新知
根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(SAS)
A'B'C' ，剪下放在△ ABC
补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对 边．
三、 应用新知，体验成功
出示例 2，如图，有—池塘，要测池塘两端
A、B 的距离，可先在平地上取一个
可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝ CA，连接 BC 并延长 到 E，使 CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么 ?
让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据． ( 若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证 AB＝DE， 只需证△ ABC≌△ DEC
△ABC 与△ DEC 全等的条件现有 还需要
)
明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题， 这两个三角形全等来解决． 补充例题：
A
1、已知：如图 AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ ACE B
证明 : ∵∠ BAC=∠DAE（已知）
C E
D
∠ BAC+ ∠ CAD= ∠ DAE+ ∠ CAD
∴∠ BAD=∠CAE 在△ ABD 与△ ACE AB=AC
（已知）
∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE
（已知）
∴△ ABD≌△ ACE（SAS)
思考：
常常通过证明求证： 1.BD=CE
2. ∠B= ∠C
B
3. ∠ADB= ∠AEC
变式 1：已知：如图， AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE. ⑴ △DAC≌△EAB
F M
A
求证：
C
1. BE=DC
D
E
2. ∠B= ∠ C 3. ∠ D= ∠ E 4. BE⊥CD
四、再次探究，释解疑惑
出示探究 4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两 边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗
?为什么 ?
让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等．
教师演示：方法 ( 一) 教科书 39 页图 12.2-7 ．
方法 (二)通过画图，让学生更直观地获得结论．
五、巩固练习
教科书第 39 页，练习 (1)(2)． 六、小结提高
1．判定三角形全等的方法；
2．证明线段、角相等常见的方法有哪些 ?让学生自由表述，其他学生补充， 让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构． 七、布置作业
1．必做题：教科书第 43 页，习题 12．2 第 3、4 题． 2．选做题：教科书第 44 页第 10 题． 3．备选题：
(1) 小明做了一个如图所示的风筝，测得 DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦 ?
并说明理由．
(2) 如图，∠ 1＝∠ 2，AB＝AD，AE＝AC，求证 BC＝DE．
12.2 三角形全等的判定 (3)
教学目标
①探索并掌握两个三角形全等的条件： “ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三
角形是否全等．
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推 理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点
理解，掌握三角形全等的条件： “ASA”“AAS”． 教学难点
探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．
教学过程（师生活动） 创设情境 复习：
师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些 生：“SSS”“SAS”
师：那除了这两个条件， 满足另一些条件的两个三角 也可能全等呢 ?今天我们就来探究三角形全等的 探究新知：
一张教学用的三角形硬纸板不小心
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
1．师：我们先来探究第一种情况． ( 课件出示“探究 5 ” ) (1) 探究 5
先任意画出一个△ ABC，再画一个△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，∠ A' ＝∠ A，∠ B' ＝∠B( 即使两角和它们的夹边对应相等 ) ．把画好的△ A'B'C' 剪下，放到△ ABC 上，它们全等吗 ?
师：怎样画出△ A'B'C'? 先自己思考，动手画一画。 在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决． 生：探究，试着画△ A'B'C' ，( 有问题的，可以小组内交流解决 (2) 全班讨论交流
师：画好之后，我们看这儿有一种画法： 你是这样画的吗 ?
师：把画好的△ A'B'C' 剪下，放到△ ABC 上，看看它们是否全等．
( 课件出示画法，出现一步，画一步 )
)
形是否 另一些条件。
?
生： ( 剪△ A'B'C' ，与△ ABC 作比较 师：全等吗 ? 生：全等．
)
师：这个探究结果反映了什么规律 ?试着说说你的发现． 生 1：我发现 生 2：
生 3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全
A
A'
等． 此，
别应
E
D
师：这条件可以简写成“角边角”或“ ASA”．至 我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特 注意，“边”必须是“两角的夹边” ．
练习：已知：如图， AB=A’C，∠ A=∠A’，∠ B=∠C 求证：△ ABE≌ △A’CD
B
C
A
例 1. 已知：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， BE
和
D
O
E
CD
相交于点 O，AB=AC，∠ B=∠C。 求证： BD=CE
B
C
2．探究 6
师：我们再看看下面的条件：
在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A＝∠ D，∠ B＝∠ E，BC＝EF，△ ABC 与△ DEF 全等
吗?能利用角边角条件证明你的结论吗 ?
A
B
C E
D F
师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明． 生思考，探究 再小组合作完成．
师：你是怎么证明的 ?( 让小组派代表上台汇报 ) 小组 1： ．
小组 2： 投影仪展示学生证明过程
( 根据学生的不同探究结果，进行不同的引导 )
师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一 个什么规律 ?
生 l ：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等．
生 2：在\"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是 “其中一个角的对边”．
师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边” ．那怎样更完整的表述 这一规律 ?
生 1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 师：生 1 很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判 定两个三角形全等的一个条件．
强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边” ．
多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力． 例 2．教材 40 页 1 题。
师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段 所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了． 探究 7： (1)
三角对应相等的两个三角形全等吗 ?( 课件出示题目 )
师：想想，怎样来探究这个问题 ? 生 1： 生 2： ．
引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形” ，看是否一定全等，或“用两个 同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．
师：这一规律我们可以怎样表达 ? 生 1： ．
生 2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等． (2)
师：说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有
了哪些方法 ?
生： SSS SAS ASA AAS 小结提高
师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获 巩固练习
教科书第 41 页，练习 2． 布置作业
1。必做题：教科书第 44 页习题 12.2 第 6、11 题
2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块
碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢
?如果可以，带哪块去合
?
适?为什么 ?
⑵
⑴
12.2 三角形全等的判定 (4)
教学目标
①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：
HL，并能应用它判别两个直角三角
形是否全等．
②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推 理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③提高应用数学的意识． 教学重点
理解，掌握三角形全等的条件： HL． 教学过程 : 提问：
1、判定两个三角形全等方法有： 创设情境：
（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角 三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量 （1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角 . (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角 ⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相 等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的” 下面让我们一起来验证这个结论。 新课：
. 你相信他的结论吗？
.
(ASA)
或(AAS) .
，
，
，
。
已知线段 a、c(a ﹤c) 和一个直角 α，利用尺规作一个 CB=a，AB=c. 想一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠ MCN=∠α=90°;
⑵ 在射线 CM 上截取线段 CB=a
⑶ 以 B 为圆心 ,C 为半径画弧，交射线 CN 于点 A; ⑷ 连接 AB.
⑴ △ABC 就是所求作的三角形吗？
Rt△ABC,使∠ C= ∠ α ，
⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ 直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
简写成“斜边、直角边”或“ HL”.
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法 :SAS、ASA、AAS、SSS， 还有直角三角形特殊的判定方法——“ HL”.
.
例 如图， AC BC, BD AD, AC BD 求证：BC AD.
练一练：
1. 如图，两根长度为 12 米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾 斜角∠ ABC 和∠ DFE 的大小有什么关系？ 解：∠ ABC+∠DFE=90°. 理由如下： 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, 则
BC=EF, AC=DF .
∴ Rt △ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ ABC=∠DEF
( 全等三角形对应角相等 ). 又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ ABC+∠DFE=90°.
小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 作业： 44 页 7、8。
§12． 3 角的平分线的性质
§12．3．1 角的平分线的性质（一）
教学目标
（一）教学知识点 角平分线的画法． （二）能力训练要求
1 ．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2 ．会用尺规作一个已知角的平分线． （三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线． 教学难点
角的平分线的作图方法的提炼． 教学方法 讲练结合法． 教具准备
多媒体课件（或投影）． 教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题 1：三角形中有哪些重要线段． 问题 2：你能作出这些线段吗？
[ 生甲 ] 三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中 线，三角形的角的平分线．
过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的 连线就是这个三角形的高．
取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．
用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这 个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．
[ 生乙 ] 我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而 一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．
[ 师] 你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我 们学习．
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方 案吗？
Ⅱ．导入新课 [
题：
在∠ AOB 的两 边
生] 我记得在学直角三角形全等的条件时做过 这样一个
OA 和
OB 上分别
OM=ON，MC
⊥ OA， NC
取
⊥OB．MC 与 NC 交 C 点． 于
求证：∠ MOC=∠NOC．
通过证明 Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠ MOC=∠NOC，所以射线 OC 就 是∠ AOB 的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠ AOB 的两边上分别截取 OM=ON，再分别过 M、N 作 MC⊥OA，NC⊥OB， MC?与 NC 交于 C 点，连接 OC，那么 OC 就是∠ AOB 的平分线了．
[ 师] 他这个方案可行吗？
（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
[ 师] 这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用， ?联想迁移的学习方法值得大家借鉴．
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中
AB=AD，BC=DC．将点 A 放在角的
顶点， AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线．你 能说明它的道理吗？
教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过 生直观了解得到射线 AC 的方法．
学生活动：
观看多媒体课件，讨论操作原理．
[ 生 1] 要说明 AC 是∠ DAC 的平分线，其实就是证明∠ CAD=∠CAB．
程，使学
[ 生 2]
∠CAD 和∠ CAB 分别在△ CAD 和△ CAB 中，那么证明这两个三角形全
等
就可以了．
[ 生 3] 我们看看条件够不够．
AB AD BC DC AC AC
所以△ ABC≌△ ADC（SSS）． 所以∠ CAD=∠CAB．
即射线 AC 就是∠ DAB 的平分线．
[ 生 4] 原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来 温故是可以知新的．
老师再提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手 做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予 启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法： 已知：∠ AOB．
求作：∠ AOB 的平分线． 作法：
（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交
2
OA、OB 于 M、 N．
（2）分别以 M、N 为圆心，大于 1 MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交 于点 C．
（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法， 提高学习数学的兴趣）．
议一议：
1 MN 的长”这个条件行
吗？
1 ．在上面作法的第二步中，去掉“大于
2
2 ．第二步中所作的两弧交点一定在∠ AOB 的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学 严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结：
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