资阳高2013级一诊文科数学试题和参

资阳市高中2013级第一次诊断性考试

数 学（文史类）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x| x－1＞0}，则M∩N＝

(A) {x|1＜x≤2}

(B) {x|－2≤x＜1}

(C) {x| 1≤x≤2}

(D) {x| x≥－2}

12．命题“若x=300°，则cosx=”的逆否命题是

21 (A) 若cosx＝，则x＝300°

21 (C) 若cosx≠，则x≠300°

2

1(B) 若x＝300°，则cosx≠

21(D) 若x≠300°，则cosx≠

23．函数f(x)log2(4x2)定义域为 (A) [2,2]

(B) (2,2)

(D) (,2][2,)

(C) (,2)(2,)

4．已知i是虚数单位，复数 (A) i－2

5i= 2i(B) 2＋i (C) －2 (D) 2

5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=2a3－a1，则该数列的公比为 (A) 2

(B)

1 2资阳高三数学（文科）试卷 第1页（共4页）

(C) 4 (D)

1 4资阳高三数学（文科）试卷 第2页（共4页）

16．已知(0，π)，且sin＋cos=，则tan的值为

54(A) 

33(C)

47．执行右面的程序框图，则输出的S

3(B) 

44(D)

3(A) 1023 (B) 512 (C) 511 (D) 255

8．已知x0是函数f(x)ex1的一个零点（其中e为自然对数x的底数），若x1(0,x0)，x2(x0,)，则 (A) f(x1)＜0，f(x2)＜0 (C) f(x1)＞0，f(x2)＜0 9．已知a>0，b>0，且(A)522

(B) f(x1)＜0，f(x2)＞0 (D) f(x1)＞0，f(x2)＞0

121，则a＋2b的最小值为 ab

(B) 82

(C) 5

(D) 9

3sinx，x0，1210．若函数f(x)(其中aR)的值域为[,)，则a的取值范围是

2x2a，x0131513) (A) [， (B) [,] (C) [,] (D) [,)

222222311．P是△ABC内一点，△ACP，△BCP的面积分别记为S1，S2，已知CPCACB，其

44S1)，则1 中(0，S21111(A) (B) (C) (D)

3524f(x)x1，下面的12．设函数f(x)是定义在R上的增函数，其导函数为f(x)，且满足

f(x)不等关系正确的是 (A) f(x2)f(x1) (C) f(x)＞x

(B) (x1)f(x)xf(x1) (D) f(x)＜0

资阳高三数学（文科）试卷 第3页（共4页）

资阳高三数学（文科）试卷 第4页（共4页）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。 注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，本大题共20分。

13．已知向量a=(2，–1)，b=(m，3)，若a∥b，则m的值是_________． x0，14．不等式组x2y20，表示的平面区域的面积为_________．

yx2015．已知数列{an}满足a1=19，an1an2(nN*)，则当数列{an}的前n项和Sn取得最大值

时，n的值为_________．

16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，B＝2A，则 a 的取值范围是___________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

22x8,已知命题p：实数x满足不等式组2命题 q：实数x满足不等式

x6x80,(x1)(xa12)0(其中aR)．

(Ⅰ) 解命题 p中的不等式组；

(Ⅱ) 若p是q的充分条件，求a的取值范围．

18（本小题满分12分）

sinxcosx))，函数f(x)= ab. 已知向量a(2sinx，2(cosxsinx))，b(2cosx，(Ⅰ) 求yf(x)的单调递增区间；

(Ⅱ) 在给定直角坐标系中，画出函数f(x)在区间[0，π]上的图象．

资阳高三数学（文科）试卷 第5页（共4页）

19.（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2ann．

(Ⅰ) 求证：数列{an＋1}为等比数列；

(Ⅱ) 令bn＝nanlog2(an1)，求数列{bn}的前n项和Tn.

资阳高三数学（文科）试卷 第6页（共4页）

20.（本小题满分12分）

某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售．已知该特产的销量（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系：当零售价为80元/件时，销量为7万件；当零售价为50元/件时，销量为10万件．后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销量成反比．当销量为10万件，弹性批发价为1元/件．假设不计其它成本，据此回答下列问题．

(Ⅰ) 当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？ (Ⅱ) 当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？

21.（本小题满分12分）

1ax²－ax (其中aR)，令h(x)＝f(x)－g(x)． 2(Ⅰ) 当a＞0时，求函数y＝h(x)的单调区间；

已知函数f(x)＝lnx－x，g(x)＝

a)上恒成立，求a的最小整数值． (Ⅱ) 当a＜0时，若f(x)＜g(x)在x(0，

请考生在22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，

请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。

22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，使得QC2QA2BCQC．

(Ⅰ) 求证：QA为⊙O的切线；

(Ⅱ) 若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．

23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

2t，x42在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标

2y2t2原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos．

(Ⅰ) 写出直线l和曲线C的普通方程；

(Ⅱ) 已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．

24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)|xa|．

资阳高三数学（文科）试卷 第7页（共4页）

(Ⅰ) 当a2时，解不等式f(x)≥16|2x1|；

2]，求证：f(x)f(x2)≥2a． (Ⅱ) 若关于x的不等式f(x)≤1的解集为[0，资阳高三数学（文科）试卷 第8页（共4页）

资阳市高中2013级第一次诊断性考试 数学参及评分意见（文史类）

一、选择题

1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D 二、填空题

13．–6；14．3；15．10；16．(三、解答题

17．································································2分 （Ⅰ）由22x8，解得1·······························································6分 所以该不等式组的解集为{x|2所以2·······················································8分 即{ x |2（1）当1≥12－a，即a≥11时，不等式(x1)(xa12)0的解为12ax1，不满足(*)， （2）当1＜12－a，即a＜11时，不等式(x1)(xa12)0的解为1x12a， 于是有312a，解得a≤9，

··················································································12分 故a的范围是（－∞，9].

18．由题知f(x)=ab=22sinxcosx2(cosxsinx)(cosxsinx) ＝2sin2x2(cos2xsin2x)

＝2(sin2xcos2x)

π···························································································4分 ＝2sin(2x－)． 4ππππ3π(Ⅰ) 由2kπ2x2kπ，得kπxkπ，其中kZ，

24288π3π··············································6分 所以单调递增区间为[kπ,kπ]其中kZ． ·

88π（Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)= 2sin(2x－)．

4列表得

x 2xπ 423,2)． 30 π 42 π 80 0 3π 8π 25π 8π 0 7π 83π 2π 7π 42 f(x) 2 －2 ·················································································································8分

资阳高三数学（文科）试卷 第9页（共4页）

通过描点、连线得

·················································································································12分 19．··········································1分 （I）由Sn2ann，可得S1＝2a1－1，即a1＝1， ·又Sn+12an+1(n1)，

·····················································2分 相减得an12an+12an1, 即an+12an1, ·

an112an22， 所以

an1an1·····································6分 故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列． ·

···············································7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得到an＋1＝2n，所以an2n1, ·

·················································8分 于是bn＝nanlog2(an1)＝n＋n(2n1)＝n×2n， ·Tn＝121222323(n1)2n1n2n， 2Tn=122223324(n1)2nn2n1， 相减整理得－Tn＝2122232nn2n1， 所以Tn＝(n1)2n1·············································································12分 2． ·

20．设销量y与零售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价与销量y的反比例函数

a关系为，

y780kb，k0.1，由解得于是y=15－0.1x，

1050kb，b15，10a由1得a=10，于是． ······································································4分

y1010（Ⅰ）当零售价为100元/件时，销量为15－0.1×100=5（万件），此时的批发价为30＋=32

5（元/件），他获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）． ······································6分

（Ⅱ）设每一件的利润为d， 则dx(30)x(30(x150)1010)x30

150.1x0.1x15100120， ···········································································8分

(x150)资阳高三数学（文科）试卷 第10页（共4页）

150.1x0，而由可得0x0，100100于是d(x150)1202(x150)120100，

(x150)(x150)100当且仅当(x150)，即x=140时取―=‖． ··············································12分

(x150)121．由题h(x)＝lnx－ax²＋(a－1)x，且x＞0，

21ax2(a1)x1(ax1)(x1)则h(x)ax(a1)，

xxx（Ⅰ）当a＞0时，(ax1)＜0，由h(x)0得01，

·······································4分 所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

（Ⅱ）由题知f(x)＜g(x)在x∈(0，－a)上恒成立，即h(x)= f(x)－g(x)＜0在x∈(0，－a)上恒成立．1由h(x)0得x1，x2=1，

a1（1）当1即a=－1时，h(x)0在x∈(0，1)上恒成立，则h(x)在(0，1)上为增函数，h(x)

a3···························································6分 ＜h(1)=＜0，所以f(x)＜g(x)恒成立． ·

21（2）当1，即－1ax h(x) (0，1) ＋  1 0 极大值 1(1，) a1 a1(, ＋) a－  极小值 ＋  h(x) 因为－a＜1，在区间(0,－a)上，h(x)＜h(－a)＜h(1)=1（3）当1，即a<－1时，

a1a－1＜0． ····························8分 2x h(x) 1(0，) a1 a1(，1) a1 极小值 (1, ＋) ＋  ＋  0 极大值 －  h(x) 资阳高三数学（文科）试卷 第11页（共4页）

因为－a>1，

1111111111(a－1)= ln()()²而h()=ln()－a×－1＋= ln()＋－1＜0，

2aaa2aaaaa2a于是只需考虑h(－a)＜0即可， 即h(－a)= ln(－a)－

11a(－a)²＋(a－1)(－a)= ln(－a)－a³－a²＋a＜0， 22下面用特殊整数检验，

若a=－2，则h(2)=ln2＋4－6=ln2－2＜0； 若a=－3，则h(3)=ln3＋

273－12= ln3＋＞0； 221而当a≤－3时，ln(－a)＞0，现说明当a≤－3时，－a³－a²＋a＞0．

213令u(x)＝－x³－x²＋x，则u(x)＝－x²－2x＋1，它在(－∞，－3]为增函数且u(3)＜0，

22所以u(x)在(－∞，－3]为减函数，而u(－3)＞0，

1则当a≤－3时，－a³－a²＋a＞0恒成立．

2·······························12分 所以，使f(x)＜g(x)在x∈(0，－a)上恒成立的最小整数为－2． ·22．选修4－1：几何证明选讲 （Ⅰ）因为QC2QA2BCQC， 所以QC（QCBC）QA2即QCQBQA2，

QCQA于是， QAQB所以△QCA∽△QAB， 所以∠QAB=QCA，

根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线，证毕． ······································5分 （Ⅱ）因为QA为⊙O的切线， 所以∠PAC=∠ABC，

而AC恰好为∠BAP的平分线， 所以∠BAC=∠ABC， 于是AC=BC=15，

所以QC2QA215QC，① 又由△QCA∽△QAB得

资阳高三数学（文科）试卷 第12页（共4页）

QCAC15，② QAAB10联合①②消掉QC，得QA=18． ·······································································10分 23．选修4—4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）由题，消去直线l参数方程中的参数t得普通方程为yx2． 又由2cos得22cos，

x＝cos,由得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0． ··································5分

y＝sin（Ⅱ）曲线C：x2y22x0可化为(x1)2y21， 设与直线l平行的直线为yxb， 当直线l与曲线C相切时，有1b21，即b12，

于是当b12时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即

2(12)2321． 232321），再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值22（或先求圆心到直线的距离为 ·················································································································10分 24．选修4—5：不等式选讲

（1）当a2时，不等式为x22x116，

当x≤－2时，原不等式可化为－x－2－2x＋1≥16，解之得x≤17； 31当－2＜x≤时，原不等式可化为x＋2－2x＋1≥16，解之得x≤－13，不满足，舍去；

21当x＞时，原不等式可化为x＋2＋2x－1≥16，解之得x≥5；

217不等式的解集为{x|x或x5}． ································································5分

3（2）f(x)1即xa1，解得a1xa1，而f(x)1解集是0,2， a10,所以解得a1，

a12,从而fxx1，

于是只需证明fxf(x2)2， 即证x1x+12，

因为x1x+1=1xx+11xx+1=2，

所以x1x+12，证毕． ···········································································10分

资阳高三数学（文科）试卷 第13页（共4页）

资阳高三数学（文科）试卷 第14页（共4页）