汽车主动悬架的最优控制分析

机电技术　２０１２年２月　汽车主动悬架的最优控制分析　胡景煌　ｆ集美大学机械工程学院，福建厦门３６１０２１）　摘要：汽车主动悬架的最优控制研究，首要的问题是建立车辆的１／４主动悬架模型。通过对车辆１／４悬架模型进行　数学建模分析，利用最优控制理论求解目标性能函数，并设计最优控制器，利用ＭＡＴＬＡＢ下的模块ＳＩＭＵＬＩＮＫ进行仿真　得出性能数据，通过比较得出，运用最优控制的主动悬架的各项性能都比被动悬架提高较多。说明最优控制方法在主动　悬架设计中有良好的作用。该设计从数学建模到最优设计以及最后的仿真数值分析具有一定的实际参考价值。　关键词：　主动悬架；建模分析；最优控制；ＭＡＴＬＡＢ／ＳＩＭＵＬＩＮＫ　中图分类号：Ｕ４６３．３３文献标识码：Ａ文章编号：１６７２．４８０１（２０１２）０１．０４０．０６　传统的被动悬架由弹性元件、减振器和导向　装置组成，其阻尼和刚度参数一般按经验设计或　优化设计方法选择，一经确定在车辆行驶过程中　其中，　一一地面输入，ｍ；　Ｚ１一一非簧载质量位移，ｒｎ；　Ｚ２一一簧载质量位移，ｍ；　一一便无法进行调节。按照随机振动理论，它只能保　，非簧载质量，　；　；　证在特定的路面激励和车速下达到最优减振效　果，难以适应不同的车辆参数和运行工况。此外　被动悬架难以同时获得良好的乘坐舒适性和操纵　Ｍ　一一簧载质量，　一一轮胎刚度，Ｎ／ｍ；　一一悬架的弹簧刚度，Ｎ／ｍ；　悬架阻尼系数，Ｎ・Ｓ／ｍ。　稳定性，即难以同时满足悬架的“软硬”特性。　一一在某个特定工况下按目标优化出的被动悬架系　统，一旦载荷、车速和路况等发生变化，悬架在　新的工况下便不再是最优，在结构设计上只能是　满足平顺性和操纵稳定性之间矛盾的折中。　为克服这个缺陷，国外在五十年代提出了主　利用牛顿定律，得出单轮车辆模型的运动方　程，方向如图１所示。　ＭｗＺｌ＝　（　～　）一Ｋ　（ｚ　一Ｚ２）一　＾　ｚ２＝Ｋｓ（Ｚ１一ｚ２）＋ｃ　（ｚｌ—ｚ２）　１．２主动悬架单轮车辆模型　（１）　（２）　动悬架Ｌ１　（Ａｃｔｉｖｅ　Ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ）的概念。主动悬架的　特点是能根据外界输入或车辆本身状态的变化进　行动态白适应调节。主动悬架包括控制单元和力　由于传统的被动悬架难以适应不同的车辆参　数和运行工况。为了适应路面的不同激励，就要　求悬架可以根据路面状况做出反应并改变自身的　阻尼系数。以下是主动悬架的单轮车辆模型【３】，　如图２。　发生器，在力发生器的作用下使悬架的特性得到　控制，如同改变了悬架的刚度和阻尼系数，其中　关键的是控制算法的优化。　ｌ悬架模型的建立　１．１　被动悬架单轮车辆模型分析　］　建立的车辆模型如图１所示。　图２主动悬架车辆模型　其中，ｕ一一为控制器输出的力，Ｎ。　图１单轮车辆模型　１）运动方程　Ｍ３，＝Ｋ，（Ｘｏ—ｚ　）一Ｋ　Ｚ。一Ｚ２）一　（３）　集美大学优秀青年骨干教师基金资助（２０１１１３００１）；福建省青年人才项目（Ｆ３０５０１）。　作者简介：胡景煌（１９５３一），男，副教授，研究方向：汽车操稳性虚拟仿真技术。　第１期　胡景煌：汽车主动悬架的最优控制分析　４１　２＝　（ｚｌ一２２）－［－／．／　（４）　＝　（　。一置）一　＋　（　一　）（６）　２）矢量方程　：Ａｘ　ＢＵ　１＿３主动悬架的半车模型的建立　由于纯粹的半主动系统减振器没有能量输入　机构，因此就控制力　而言，当它与悬架相对速　度符号相反时，我们唯一能做的就是将阀门打开，　其结果就是使减振器上的消耗力为零。这也是半　主动悬架与主动悬架的区别。本文分析主动悬架　的半车模型（如图３所示）。　＋ｇａ￣ｔＲｌｂ＋车Ｉｎ　＋　图３半车主动悬架模型　图３中：　～一前轮路面激励，ｍ；　一一前轮非簧载质量位移，ｍ；　一一前轮簧载质量位移，ｍ；　～一前轮轮胎刚度，Ｎ／ｍ；　＾　一一前轮非簧载质量，　；　，～一前轮悬架弹簧刚度，Ｎ／ｍ；　～一控制器前轮输出力，Ｎ／ｍ；　，　一一整车转动惯量；　ａ一一前轴到车中距离，ｍ；　２一一后轮路面激励，ｍ；　一一后轮非簧载质量位移，ｍ；　一一后轮簧载质量位移，ｍ；　一一后轮轮胎刚度，Ｎ／ｍ；　一一后轮悬架弹簧刚度，Ｎ／ｍ；　Ｊ７ｌ　～一后轮非簧载质量，ｋｇ；　，～一控制器后轮输出力，Ｎ／ｍ；　＾～一车身质量，ｋｇ；　ｂ一一车身质量后轴到车中距离，ｍ。　１）主动悬架的半车模型运动方程为：　丘．（击＋丢］厶　［Ｌ　］Ｊ　＋　（　１一－ａｂ）Ｅ　，＋　，（　一　）］　＆Ｍｗｒ＝Ｋ，ｒ（Ｘ。　一　）一　十Ｋ（　一　）（８）　丘＝（　一警］［　＋　（　一　）］＋　（击＋等　（　］　（９）　２　矢量方程　以Ｘ＝　４Ｘ３Ｘ２Ｘ、Ｘ４ｘ３Ｘ２Ｘ。Ｘｏ。Ｘ　作　为系统状态矢量，结合系统运动方程可写成状态　空间方程的形式：　（ｆ）＝ＡＸ（ｔ）＋ＢＵ（ｔ）＋ＦＷ（ｔ）（１０）　ｙ（　）＝ＣＸ（ｔ）＋ＤＵ（ｔ）　（１１）　２最优控制器设计　２．１最优控制器的数学理论基础　最大值原理应用到具有二次型性能指标的线　性系统的最优控制问题，可得到一些很重要的具　体结果。通过解Ｒｉｃｃａｔｉ（黎卡提　微分方程，就可　以求得控制依赖于状态的反馈控制律和最优控　制。　假定受控系统的运动规律用线性常微分方程　组来描述，其状态方程如下：　＝　＋　【Ｏ）＝Ｘｏ　（１２）　其中，　（ｆ），　∈［０，ｔ】是变系数的ｎｘｎ矩阵，　Ｂ（ｔ１是　×　矩阵；　∈Ｒ　∈Ｕ　ｃ　Ｒ　，　Ｕ是　ｒ维欧氏空间　中的集合；初值Ｘｏ∈Ｒ　，　（ｆ）和　（ｆ）关于ｔ连续。系统的性能指标　为：　（　（　））＝　（　）　（　）＋　Ｊ［　（ｆ）Ｑ（ｆ）　（　）＋甜（ｆ）Ｒ（ｆ）材（ｆ）　（１３）　式中，　和Ｑ（ｆ），Ｖｔｅ［０，　提　×　非负对称阵，　４２　机电技术　２０１２年２月　（ｆ），　∈［０，ｒ］￣ｒｘｒ正定对称阵。引入ｎ维拉　２（ｔ）的微分方程组（１９），如果我们能求得矩阵　格朗日乘子矢量　，构成Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ（Ｐ￣密尔顿）　Ｐ（ｔ），使得：　函数，根据控制问题得：　（ｆ）＝一２Ｐ（ｔ）ｘ（ｔ）　（２０）　／－／（ｔ，ｘ２，　）＝一ｘＱ（ｔ）ｘ－ｕＲ（ｔ）ｕ＋３，Ａ（ｔ）＋２Ｂ（ｔ）ｕ　（１４）　然后将　（　）代入式（１８），就得到最优控制　（ｆ）是状态　（ｆ）的反馈形式。能否求得矩阵　状态方程满足下面的微分方程组和终端条件：　Ｐ（ｆ）使得　）与　（　）有式（２０）的形式？下面解答　这问题，假定对ｔ∈［０，Ｔ］，Ｐ（ｆ）是可微的。对　式（２０）两端对ｔ求导数，得：　一　［　㈤　，　＝一　（ｆ）　（ｆ）＋２ｘ　（ｔ）Ｏ（ｔ）　ｚ（ｖ）＝一２ｘ　（　）　（１５）　符号　表示转置运算。　假定Ｕ＝　，　（ｆ），ｔＥ［０，　］是控制问题的最优　控制　（ｆ），ｔＥ［０，　为相应于　（ｆ）的最优轨道。　２（ｔ）相应于ｘ（ｔ）的方程状态微分方程组的解。依　据最大值原理有：　（ｆ，　（ｆ），　（ｆ），　（ｆ））＝ｚ　［一　（ｆ）Ｑ（　）　（ｆ）＋　＝－ｘ（ｔ）Ｑ（ｔ）ｘ（＋　ｔ　）＋　（ｆ）　（ｔ　）ｕ－　　）　（ｕＲ　　）＋　（ｔ）（１６）　ｍａｎｘ［２（ｔ）Ｂ（ｔ）　一ｕＲ（ｔ）　］　Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ函数是夫十　的二次函数，在全　空间Ｒ　中求极值问题，该函数对Ｕ的偏导数得方　程组，其极值条件：　ｆ　（ｆ）Ｂ（ｆ）－２ｕ￣Ｒ（ｆ）：。（１７　依假定　（　）对每一个　∈［０，　］是正定阵，　由式（１７）得　）：去尺　）　）　（１８）　由以上方程得到关于状态ｘ（ｆ）和状态　（ｆ）满　足的联立方程。把式（１８）代入式（１１）中得：　）＝　）＋去　）　）　）　）＝２ｘ　）Ｑ　）一　）　）　（１９）　（０）＝Ｘ。　（　）＝一２ｘ　（　确定ｘ（ｔ　（　）之间的关系，求解微分方程　组得　（ｆ）代入式（１　８），就得到最优控制　（ｆ），由　于实际中的Ｏ（ｔ）≠０，关于最优轨道　（　）和状态　）＝一２Ｐ（ｔ）ｘ（ｔ）一２Ｐ（ｔ）ｋ（ｔ）　（２　１）　式中两端的　畋（　）分别用方程（１９）代入，得　２Ｑ（ｔ）ｘ（ｔ）＋２Ａ　（ｔ）Ｐ（ｔ）ｘ（ｔ）　＝一２Ｐ（ｔ）ｘ（ｔ）一２Ｐ（ｔ）Ａ（ｔ）ｘ（ｔ１＋　２Ｐ（ｔ）Ｂ（ｔ）Ｒ　（ｔ）ｓ　（ｔ）Ｐ（ｔ）ｘ（ｔ）　即：　・　Ｐ（ｔ）＋Ｐ（ｔ）Ａ（ｔ）＋Ａ　（ｔ）Ｐ（ｔ）一　Ｐ（ｔ）Ｂ（ｔ）Ｒ　（ｆ）　（ｔ）Ｐ（ｔ）＋Ｑ（ｔ）ｘ（ｔ）＝ｏ　方程（１９）关于２（ｔ）的终端条件和式（２０）得　Ｐ（Ｔ）ｘ（Ｔ）＝Ｐ￣ｘ（Ｔ）　（２２）　所以，如果Ｐ（ｆ）是下面的矩阵常微分方程的解　（ｆ）＋Ｐ（ｆ）　（ｆ）＋　（ｆ）Ｐ（　）一　Ｐ（ｔ）Ｂ（ｔ）Ｒ　（ｆ）　（ｔ）Ｐ（ｔ）＋Ｑ（ｆ）：０　（２３）　Ｐ（Ｔ＿）＝　则由式（１８）和式（２０）得最优控制　（ｆ）＝一Ｒ　（ｆ　）Ｐ　（ｆ）　（２４）　由常微分方程的理论可知，只要　（ｆ），Ｂ（ｆ），　Ｑ（ｆ），　（ｆ）是分段连续的，微分方程（２３）存在唯一　解Ｐ（ｆ）。将式（２４代入状态方程（１２），得闭环系　统：　’　（　）一　）Ｐ　（ｆ）　（２５）　ｘ（Ｏ）＝Ｘｏ　求解微分方程（２５）得到解　（　），把这个解　（ｆ）代入　式（２４）得最优控制的表达式。令　Ｋ　）＝一Ｒ　（ｆ）Ｐ（ｆ）　（２６）　式（２４）可写成　（　）＝一Ｋ（ｔ）ｘ（ｔ）　（２７）　其中　（ｆ）为反馈增益矩阵。　第１期　胡景煌：汽车主动悬架的最优控制分析　４３　表达式（２７）的意思是，把实时状态　（ｆ）放大　一一后轮胎动态位移的加权系数；　ｘ（ｔ）后，就得到最优控制　（ｆ）。即最优控制是由　状态反馈产生，反馈增益阵Ｋ（ｔ）由Ｒｉｅｃａｔｉ微分方　程（２３）的解Ｐ（ｔ）和己知矩阵Ｒ　（ｆ），Ｂ（ｆ）经过关　系式（２６）表达出来。　由上理论描述可知，线性系统二次性能指标　ｇ　一一后悬架动行程的加权系数；　、ｐ：一一车身前部和后部的加速度加权　系数。　将上面的方程写成矩阵形式：　７１　的最优控制，当Ｒ（ｔ）是正定对称阵，Ｏ（ｔ），　是　ｌｉｍ　ｒ。。ｌ＇丁Ｊｆ（ＸｒＱＸ＋ＵｒＲＵ＋２Ｘ　ＮＵ）：Ｉｔ（２９）　、非负对称阵时，是综合控制。在工程系统设计中，　一　０　为提高系统的品质，要求得到系统的控制是状态　将以上的计算式及车辆实验模型参数相关值　的函数，既是综合控制，而不是时间函数的控制。　（车辆模型参数、仿真路面输入参数、性能指标加　式（２４）可知，线性系统二次性能指标的控制　权系数）输入ＭＡＴＬＡＢ进行计算得出结果，如图４　问题的最优控制，可用矩阵Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程（２３１　所示。　的解Ｐ（ｔ），经过式（２４）表示出来。因此，问题最　２＿３计算控制力　后归结为求Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程（２３）的解。　由３．１节的理论知，最优控制实际是在原有　２．２根据设计要求求解目标性能函数【６　模型基础上添加一个反馈控制，而这个反馈是状　在设计悬架时主要考虑的性能指数有轮胎动态位　态反馈，而控制力的大小就是反馈的结果。　移、悬架动行程和车身垂直方向加速度。在确定　）＝一Ｋ（ｔ）ｘ（ｔ）　（３ｏ）　目标性能函数Ｊ时要考虑到这些量的要求，一般　而其中的Ｋ（ｆ）＝一Ｒ　（ｆ）Ｐ（ｆ），从而利用　Ｊ取这些量的加权平方和的积分形式［　。表示如　２．２节的计算结果代入式（３０），得出反馈控制　下：　力的大小。　＇＝　ｌｉ　ｍｌ。。』　Ｉ［ｑ，Ｘ－－Ｘ０１）　＋ｇｚ（　一　）　＋ｐ　＋３仿真结果分析　（２８）　３．１利用ＳＩＭＵＬＩＮＫ进行仿真，得出性能数据　ｑ３（ｘ３一　）　＋ｇ４（　－ｘ３）　＋Ｐ２　４］ａｔ　３．１．１建立仿真模型　式（２８）中：　首先，在ＭＡＴＬＡＢ的仿真模块ＳＩＭＵＬＩＮＫｔ　ｇ１一一前轮胎动态位移的加权系数；　中建立１／４主动悬架最优控制仿真数学模型（如图　一一前悬架动行程的加权系数；　４所示１。　图４最优控制的仿真模型　反馈控制中的设定值为：　　ｆ０　０　２４３　－１８１　２１　１６－１７２６　４４４　－５６９７－１２６６６　２５２４９　３７９６０　５２６６　ｌ　一１　０　０　１７８９—１５８６　２６５　—１７９—１８２７２—１０８４７　４９０　—８３８８　７９２４　２９０８０　ｌ　机电技术　２０１２年２月　下面，开始进行仿真。　３．１．２主动悬架仿真结果　在路面输入激励为随机激励　时，主动悬架　性能仿真结果如图５～１０（实线部分）所示。　３．２被动悬架仿真结果　被动悬架的阻尼系数取　＝２，　＝２。路面　激励为随机激励。其性能仿真结果如图５～１０（虚　线部分）所示。　将模型中的被动悬架数据与最优控制的主动　悬架数据通过ＭＡＴＬＡＢ仿真结果见图５～ｌ０。　时间（ｓ）　图５前车身加速度比较　时间（ｓ）　图６后车身加速度比较　时间（ｓ）　图７前轮胎动载比较　图８后轮胎动载比较　时间（ｓ）　图９前悬架动行程比较　图１０后悬架动行程比较　４结论　经过对比发现，经过最优控制的主动悬架其　车身加速度、轮胎动载荷和悬架动行程比被动悬　架的性能有明显地提高。其中，车身加速度的幅　值降低为被动悬架的１／４，而轮胎动载荷幅值也降　低约为被动悬架的１／６，还有悬架动行程幅值也比　被动悬架降低了一半。由此看来，设计的最优控　制器在控制悬架性能方面起到了良好的作用。　通过对１／２车体主动悬架和被动悬架的性能　对比可以看出，采用主动控制的悬架在不同激励　输入情况下其性能比被动悬架要优异的多，控制　后系统能量更趋于平均，悬架动态性能更稳定，　是开发和设计平顺性、操纵稳定性更好的高档轿　车的理论基础。因此，要想更好地提高车辆悬架　性能，就不能仅仅对悬架的结构参数进行优化，　而要采用更为先进的主动控制。　ｌ１在主动悬架的设计中，采用最优控制理论　来设计控制器使悬架性能得到了较大的提高，且　在设计思路上也很清晰，简明易懂。　２　在设计过程中，仿真软件发挥了很大的辅　助作用，建立在ＭＡＴＬＡＢ的基础上的ＳＩＭＵＬＩＮＫ　仿真操作简单，简化了大量计算，结果以图表的　形式出现有利于分析，且易于调整，不仅节约成　本且缩短了设计周期。当前，有效的控制方法和　强大的仿真软件在悬架设计甚至是车辆设计中发　第１期　胡景煌：汽车主动悬架的最优控制分析　４５　挥着重要作用。　本设计仅考虑了车体的垂直加速度为汽车行　驶平顺性指标，从长久发展上看为了使车辆具有　参考文献：　更好的平顺性、操纵稳定性，应考虑加权悬架的　动挠度变化，并寻求更高效的控制算法，以提高　控制效果，实现悬架整体性能的全面提高。　［１】Ａｃｔｉｖｅ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ａ　ｏｎｅ—ｗｈｅｅｌ　ｃａｌ＂ｍｏｄｅｌ　ｕｓｉｎｇ　ｓｉｎｇｌｅ　ｉｎｐｕｔ　ｒｕｌｅ　ｍｏｄｕｌｅｓ　ｆｕｚｚｙ　ｒｅａｓｏｎｉｎｇ　ａｎｄ　ａ　ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ　ｏｂｓｅｒｗｅｒ［Ｃ】．Ｊａｐａｎ：Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｈｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ　ｏｆ　Ｔｏｋｓｔｈｉｍａ．　２００５．７７０．８５０６．　［２】余志生．汽车理论【Ｍ】．北京：机械工业出版社，２００６．　［３】李迪，郭忠菊，王军方，等．利用ＭＡＴＡＬＢ的汽车主动悬架动力学仿真［Ｊ】．山东理工大学学报，２００３，１７（６）：２２－２５．　［４】韩致信．机械自动控制工程［Ｍ】．上海：科学出版社，２００５．　［５】巨永峰，李登峰．最优控制［Ｍ】．重庆：重庆大学出版社，２００３．　［６】吴沧浦．最优控制的理论与方法［Ｍ】．北京：国防工业出版社，２０００．　［７］薛定宇，陈阳泉．基于ＭＡＴＬＡＢ／ＳＩＭＩ『Ｉ　ＩＮＫ的系统仿真技术与应用［Ｍ】．北京：清华大学出版社，２００４．　［８】刘叔军，盖晓华，樊京，等．ＭＡＴＬＡＢ　７．０控制系统应用与实例【Ｍ】．北京：机械工业出版社，２００６．　珏％　ｔ％　地娃％　ｔ％娃％￡吨￡吃毫Ｅ％妊％￡　妊％斑％娃％Ｅ　鼍蟠　￡吃￡Ｅ％妊％娃％《吨譬龋；譬吃妊％Ｅ皂％ｔＥ％《吨　ｔ％　ｆ上接第３１页）　由于现实中不存在绝对平整的路面，故车辆　于真实情形。基于以上分析我们知道由于悬架系　统的存在，在一定程度上加大了ＡＢＳ控制的难度。　所以，为减小车轮动载波动幅度对ＡＢＳ的影响，　提高ＡＢＳ的控制效果，在对制动系进行控制的同　时，对悬架进行控制也变得较为必要。　在运行过程中，时刻都具有垂向振动的分量，为　提高车辆的行驶平顺性和乘坐的舒适性，当今汽　车都装备有用于支撑车体和减振的悬架系统，故　计及路面不平度和悬架影响的ＡＢＳ模型比较贴近　参考文献：　［１１陈培然，】王平．汽车ＡＢＳ控制系统建模方法与研究【Ｊ］．微计算机，２００７，２３（１２—２）：２５４—２５５．　［２］刘国福，张记，王跃科，等．防抱制动系统基于模型的最佳滑移率计算方法［Ｊ］．汽车工程，２００４，２６（３）：３０２．３０５　［３】郭孔辉，袁忠诚，卢荡．ＵｎｉＴｉｒｅ轮胎稳态模型的联合工况预测能力研究［Ｊ】．汽车工程，２００６，２８（６）：５６５．５６８．　［４］Ｇ．Ｇｉｍ，Ｎｉｋｒａｖｅｓｈ　ＰＥ．Ａｎ　Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌ　ｏｆＰｎｅｕｍａｔｉｃ　Ｔｉｒｅｓ　ｆｏｒ　Ｖｅｈｉｃｌｅ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ：　Ｐａｒｔ２［Ｊ］．Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　Ｓｌｉｐ．Ｉｎｔ　Ｊ．ｏｆＶｅｈｉｃｌｅ　Ｄｅｓｉｇｎ，１９９１，１２（１）：１９—３９．　【５】张代胜，李伟．基于滑移虑的汽车车防抱死模糊控制方法与仿真［Ｊ】．农业机械学报，２００２，３３（２）：２８．３１．