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・数学篇 证明垂直的方法 口本期主讲：陈开龙重庆市合川太和中学 证２：如图２．延长ＢＥ到 卫 任川学开中会发太国，重名数优行和庆师学秀的中市教档学级育师案数骨协研：学陈干会究教开会发师龙展员． 中重教在心科庆国全会教市处国员含主公育． ２０多种期刊上发表了学 Ｆ，使ＥＦ＝ＢＥ，连结ＤＦ， ・．‘ＡＡＢＥ、ａＢＣＤ是等边三 角形． ｝术文章１２０余篇，有１０篇文章分获全国一、二、三等 ｌ奖。主编了《中考在线・数学》、《赢在２８天－数学》和 《赢在中考・数学》三本书，参编了教辅书１０多本。 本文将通过介绍一道证明两直线垂直的习题 的１０种证法．归纳证明两直线垂直的常用方法与 技巧，供同学们参考。 题目：如图１，Ａ、Ｂ、Ｃ三点成直线，且ＢＣ＝２ＡＢ， 以ＡＢ、ＢＣ为边分别作等边三角形△ＡＢＥ和 ＡＢＣＤ，连结ＤＥ，求证：船上ＤＥ． 一、用“一边的中线等于这边一半的三角形是 直角三角形”证明 注意ＢＤ＝２ＢＥ．／＿＿．ＥＢＤ＝６０ｏ，取ＢＤ的中点Ｆ，构 造ＡＢＤＥ的中线ＥＦ，证明 ＢＤ即可。 Ｆ 附４仓 维普资讯 http://www.cqvip.com 学篇・ 证５：如图５，过Ａ作ＡＦ上 ＡＥ交ＥＢ的延长线于Ｆ． 证８：如图８。过℃作 ・・ＡＡＢＥ、△ ＣＤ是等边 ＣＦ３＿ＡＣ交ＢＤ的延长线于Ｆ． ．・・三角形． ．ＡＡ Ｅ、△ ＣＤ是等边三 ’Ａ ｌ－ ＡＢＥ＝ ＣＢＤ＝ 角形． ．． 图５ ６０￣Ａ脚Ｅ。ＢＣ＝ＢＤ． Ａ Ｂ Ｃ ＡＢ：：ＢＥ ＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ 。ＥＢＤ：ｌ８ —五 —６ ＝６ ： Ａ ＥＦ． 图８ ＡＢＥ： ＣＢＤ＝６ ． ’Ｆ＝９０￣－６Ｄｏ Ｄｏ．故ＢＦ＝ＡＢ． ．． Ｆ＝９０ｏ—和。＝３０ｏ＝ ＦＣＤ＝３０ｏ． ’又ＢＣ＝２ＡＢ． ．．ＣＤ＝ＤＦ。故ＢＦ＝２ＢＤ。又 Ｃ＝２４Ｂ＝２ＢＥ。 ‘・．．ＥＦ＝ＢＤ．又ＢＥ＝ＢＥ． ．．器＝器＝ ， ’．．ＡＢＥＤ ＡＥＡＦ： 又 ＥＢＤ＝１８０ｏ －６Ｏ。＝ ＦＢＣ． ‘．． ＤＥＢ＝ ＦＡＥ＝９０￣．故 Ｅ上ＤＥ ．ＡＢＥＤ—ＡＢＣＦ． 证６：如图６．延长 ‘．． ＤＥＢ＝ ＦＣＢ＝９０。．故ＢＥ上ＤＥ． ＤＥ、ＣＡ交于Ｆ。 ・’．ＡＡＢＥ、ＡＢＣＤ是 Ｆ Ａ Ｂ Ｃ 等边三角形． 五、构造矩形证明 把要证明的两条线段构造为矩形的邻边．利用 图６ ・．． ＥＡ ＝ Ｄ Ｃ＝ 矩形的性质来证ＢＥ３＿ＤＥ。 厶ＡＢＥ＝厶ＤＢＥ＝６ ．ＡＢ－－－ＡＥ．ＢＣ＝ＢＤ． 证９：如图９．过 作 ‘．．ＡＥ／／ＢＤ。 ＢＦ３＿ＣＤ于Ｆ． ．ＡＡＥＦｖ、 ＢＤＦ． ・・．ＡＡＢＥ、ＡＢＣＤ是等边 一百・．． ：一 一 ’＾ ： ，又ＢＣ＝２ＡＢ，’ 三角形． Ａ Ｂ Ｃ ＡＢ：ＢＥ． ’．．ＦＢ Ｅ＝２Ａ脚Ｄ． ＢＣ ＣＤ：２ＤＦ．图９ Ａ Ｃ＝６０ｏ． ・．．ＡＢＥＦ是直角三角形。故 ＦＥＢ＝９０￣． ‘又ＢＥ＝ＢＥ ．△ＢＥＦ ＡＢＥＤ． ．．ＢＥ／／ＦＤ， 又ＢＣ＝２ＡＢ＝２ＢＥ，．’．ＢＥ＝ＦＤ， ・‘．． ＤＥＢ＝ ＦＥＢ￣－－９００．故ＢＥ上ＤＥ ．．四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． 又ＢＦ３＿ＣＤ． ・．．四边形ＢＥＤＦ是矩形．故ＢＥ３＿ＤＥ． 四、通过证明与直角三角形相似来证明 构造直角三角形．通过证明与该直角三角形相 Ｄ 证１０：如图１０，过Ｃ作 似来证ＢＥ３＿ＤＥ。 上ｃＤ．交ＥＢ的延长线于Ｆ． ・・证７：如图７，作高ＥＦ，则 ．ＡＡＢＥ、ＡＢＣＤ是等边 ＡＢＥＦ为直角三角形， Ａ 三角形． ‘・・．ＡＡＢＥ、ＡＢＣＤ是等边 ．ＡＢ＝ＢＥ．ＢＣ＝ＣＤ。 ， 三角形． Ａ ＣＢＦ＝ ＢＣＤ＝６０。． 图１０ Ａ 图Ｃ ＡＢＥＦｌｌ ＤＣ。 ７ ， ’…：ＢＥ－２ＦＢ，一一…’ ＢＣ＝ＢＤ．’ ＥＢＦ＝ ＤＢＣ＝６０￣． 又 肋＝ 脚一 ＢＣＤ＝９０￣—６０。＝３０。． ・又ＢＣ＝２ＡＢ－２ Ｅ． ．．ＬＦ＝１８０￣—６０ｏ一３０ｏ－－－９００．故ＡＢＣＦ为直角三 ．ＦＢ ＢＥ 、 角形． 一面一 一 ’ ・ ．Ｃ：－２ Ｆ．又 Ｃ＝２４ ：：２８Ｅ， ．‘．Ｅ只＝ＤＣ， 又 Ｅ￡ ｌ８ｏｏ—和。—和。－－６０。＝ ＥＢＦ． ・．．四边形ＣＤＥＦ是平行四边形． ． ＢＥ —ＡＢＤＥ． 又ＣＦＬＣＤ． ・‘．．＿ＤＥ．ＩＩ ．． ＤＥＢ＝ ＥＦＢ＝９０。．故ＢＥ上ＤＥ． 四边形ＢＥＤＦ是矩形．故ＢＥ３附５俞