分块r-循环Toeplitz矩阵特征向量的求法

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２２卷第３期　甘肃联合大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．２２．Ｎｏ．３　２００８年５月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏａｎｓｕ　Ｌｉａｎｈｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｍａｙ　２００８　文章编号：１６７２—６９１Ｘ（２００８）０３—００１６—０３　分块　循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵特征向量的求法　Ａ　；　俞叶正，李新丽　（东华理工大学数信学院，江西抚州３４４０００）　２．　　１　以；　ｎ　３　摘要：给出了一类分块ｒ循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的特征向量的求法及证明　Ａ　Ａ．Ａ；以　关键词：分块ｒ循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵；特征值；特征向量　～　一　～．．．～　中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　；　Ｏ　引言　循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现　Ｐ＝＝　（２）　代科技工程领域中被广泛地应用．特别是在图象　处理∞、编码理论　、电动力学、自回归滤波器设　计、计算机时序分析以及石油勘探等许多大型计　（其中Ａ　，ｋ＝１，２，３，…，　皆为　阶方阵，Ｐ称为　算中经常要遇到．由于循环矩阵有许多特殊而良　循环分块矩阵）的循环分块矩阵的特征方程为　好的性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计　ｌ　Ａ　＂　一　；　，　算数学的许多领域．如矩阵分析ｃ３］、曲线几何设　；　　ＩＰ一　Ｉ一ⅡＪ』＿１　∑Ａｔ＾掌１　（　）卜　一舾　Ｊ一０，　计“　等等．本文主要是讨论分块Ｐ循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　其中Ｅ为与Ｐ同阶的单位矩阵，Ｅ　与Ａｔ为同阶　；矩阵特征向量的求法，并给出定理证明．　的单位矩阵，ｅ。，Ａ　ｅ２，…，ｅ　为　一１的　个根．　１　问题的提出及预备知识　～　～　～　．．．～　文献［７］中讨论了形如Ｐ的循环矩阵每一个　特征值　所对应的全部特征向量，那么对于Ｂ的　形如　；；　每一个特征值　，如何求它所对应的全部特征向　Ａ　量？为此，本文给出一类形如（１）的循环分块矩阵　每一个特征值　的特征向量的求法．　Ｂ＝＝　下面要讨论的循环分块矩阵是形如（１）的分　块　循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵，但Ａ。，Ａ２，…，Ａ　满足下　述条件，即　×　阶矩阵（其中Ａ＾（志一１，２，３…，　）皆为　Ａ１＋Ａ２（　）＋…＋Ａ　（　）　阶方阵）称为分块Ｐ循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵，分块Ｔｏ—　和　ｅｐｌｉｔｚ矩阵在计算机的时序分析、自回归时序模型　Ａ１＋Ａ２（　，）＋…＋Ａ　（　，）　滤波中经常出现．　的特征值互异（ｉ≠Ｊ，ｉ一１，２，…，　，Ｊ一１，２，…，　文献［５］中给出了形如Ｂ的ｒ一循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　）．方便起见，此类分快Ｐ循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵记　矩阵特征值的求法，证明了形如Ｂ的ｒ＿循环Ｔｏ—　为Ａ，且　一ｒ　，ｅ１，ｅ２，…，ｅ　为　一１的”个根．　ｅｐｌｉｔｚ矩阵特征方程为　引理　若Ｘ是矩阵Ａ。＋Ａ２ｅ　＋…＋Ａ　ｅ？－１　｝Ｂ一舾｝一ⅡＪ属于特征值　的特征向量，则Ｘ是矩阵Ａ　＋Ａ。ｅ　一】　∑Ａ　上一１　（　）卜　一　Ｅ　Ｊ一０，　＋…＋Ａ　一。ｅ？－１属于特征值ｅ　的特征向量；…，　其中／ｚ—ｒ　，ｅ１，ｅ２，…，ｅ　为∞　一１的　个根，Ｅ　Ｘ是矩阵Ａ。＋Ａ。ｅ　＋…＋Ａ２ｅ　－１属于特征值　和Ｅ　分别是与Ｂ和Ａｔ同阶的单位矩阵．　ｅ？　的特征向量；Ｘ是矩阵Ａ。＋Ａ。ｅ　＋…＋　在文献［６］中讨论了形如　Ａ。ｅ？－１属于特征值ｅ？　的特征向量．　收稿日期：２００７－１２－１３．　作者简介：俞叶正（１９８３一），男，江西上饶人，东华理工大学在读硕士研究生，主要从事金融数学的研究　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　俞叶正等：分块ｒ循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵特征向量的求法　１７　证明　因（Ａｌ＋Ａ２￡。＋…＋Ａ　￡？　）Ｘ—　Ｘ，　即　是Ａ的特征值，ｙ是Ａ属于特征值　的特征　向量．　等式两边乘以￡　（注意￡？一１，￡　州一￡ｆ，￡　一￡　，　…在上述定理中ｒ一１时，就得到文献［７］中的　卜＿～　ｔ＿Ｘ　），那么当忌一１，２，…，　一１时，有　（Ａ　＋Ａ２￡　＋…＋Ａ　￡　）Ｘ一（￡　）Ｘ；　（Ａ３＋Ａ４￡　＋…＋Ａ２￡　）Ｘ＝（￡　。　）Ｘ；　（Ａ２＋Ａ３￡　＋…＋Ａ１￡　）Ｘ一（￡　）Ｘ．　引理得证．　２　主要结论　定理　若Ｘ是矩阵Ａ　＋Ａ２（　￡　）＋…＋Ａ　（　￡　）　属于特征值　的特征向量，则　也是Ａ的　特征值，Ｙ（Ｙ　一（Ｘ　，（　￡１）Ｘ　，…，（　）一　Ｘ　）　，　Ｘ　是Ｘ的转置）是矩阵Ａ属于特征值　的一个　特征向量．　证明　因为　ＡＹ＝　Ａｌ　Ａ２　Ａ３　…　Ａ．ｒｌ　Ａ　ｒＡ　Ａ１　Ａ２　…Ａ．ｒ２　Ａ，ｒｌ　ｒＡ．ｒｌ　ｒＡ　Ａ１　…Ａ．ｒ３　Ａ，ｒ２　；　；　‘．　ｉ　ｉ　ｒＡ　２　ｒＡ　３　ｒＡ　４…　ｒＡ　Ａｌ　Ｘ　（二￡　）Ｘ　（二￡‘）。Ｘ　（二￡‘）　Ｘ　Ｘ　厂Ａ　Ｘ＋Ａ２（　。）Ｘ＋…＋Ａ　（　ｒ）　Ｘ　Ｉ　ｒＡ　ｘ＋Ａｌ（　）ｘ＋…＋Ａ，ｒ１（　ｊ）　ｘ　ｆｒＡ，ｒ１ｘ＋ｒＡ　（　）ｘ＋…＋Ａ，ｒ２（　）　ｘ　ＬｒＡ　２Ｘ＋ｒＡ　３（　）ｘ＋…＋Ａ１（　ｆ）　ｘ　Ｘ　。　Ｘ　＝　Ｙ，　Ｘ　命题１．由此说明文献［７］中的结论是本文讨论的　定理的一个特例．　例例１　Ａ—Ｊ　Ａ—ｆ　４ＡＡＩ　　Ａ。１］ｌ是ｒ一４的分块循环一　　Ｔ。ｅｐｌｉｔｚ矩阵，其中Ａ－一（２　１），Ａ２一　、　ｆ，１　　３　Ｘ　ｌ＝　．求矩阵Ａ的特征值及对应的特征向　量．　解　引用文献［８］中给出的（　。，　。）型二重　（ｒ　，ｒ２）一循环矩阵全部特征值的计算方法．　显然有　ｌ—　２＝２；ｒｌ一４，Ｔ＂２—１，６０。一１　￡ｌ一　１，￡２一一１，　一２．　（１）￡　一１时，容易求得Ａ　＋（　￡　）Ａｚ的特征　值为　１＝一２，　２＝８．　①　一一２所对应的特征向量为（１　—１）　．　由本文定理可得　一一２是Ａ的特征值，所　对应的特征向量为（１　—１　２　－－２）　．　②　。一８所对应的特征向量为（１　１）　．　由本文定理可得　。一８是Ａ的特征值，所对　应的特征向量为（１　１　２　２）　．　（２）￡　一一１时，容易求得Ａ　＋（　￡　）Ａ２的特　征值为　。一０，　：一２．　③　。一０所对应的特征向量为（１　—１）　．　由本文定理可得　。一０是Ａ的特征值，所对　应的特征向量为（１　—１—２—２）　．　④　一一２所对应的特征向量为（１　１）　．　由本文定理可得　一一２是Ａ的特征值，所　对应的特征向量为（１　１　—２－２）　．　综上所述，分块循环矩阵Ａ的特征值分别为　。一２，　２＝８，　。一０，　一一２，所对应的特征向量　分别为　１一（１　—１　２　—２）　，叩２一（１　１　２　２）　，　＝（１　—１　—２　—２）　，　一（１　１　—２　—２）　．　（下转第２７页）　维普资讯 http://www.cqvip.com ２６　甘肃联合大学学报（自然科学版）　第２２卷　同理司得　ｎｏｒｍａｌｉｔｙ［Ｊ］．Ａｒｉｋｉｖ　ｆｏｒ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ，２０００，３８（１）：　（一　）　（－１）　。（矗）＋　１　７１—１８２．　［３３　ＹＥ　Ｙ　Ｓ，ＰＡＮＧ　Ｘ　Ｃ．Ｏｎ　ｓｈａｒｅｄ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｍｅｒｏｍｏｒ—　ｐｈｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｐｒｅｐｒｉｎｔ．　∑Ａ　ｇ　。（已）］：０．　如此下去，我们可以归纳得　～　［４　３　ＦＡＮＧ　Ｍｉｎｇ—ｌｉａｎｇ，ＺＡＬＣＭＡＮ　Ｌ．Ｎｏｒｍａｌ　ｆａｍｉｌｉｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｕｎｑｕｅｎｅｓｓ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｆｏｒ　ｅｎｔｉｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．　。．　［５３　ＬＩＵ　Ｘ　Ｊ，ＰＡＮＧ　Ｘ　Ｃ．Ｓｈａｒｅｄ　ｖａｌｕｅｓ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｆｕｎｃ—　ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｃｔｈ　Ｓｉｎｉｃａ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｓｅｒｉｅｓ　ｔｏ　Ａｐｐｅａｒ，２００７，　（５０）：４０９－４１２．　于是即得（　）ｌ产　一Ｏ，故岛为ｇ（　）的重极　［６３杨乐．值分布理论及其新研究［Ｍ］．北京：科学出版　点．所以ｇ（　）没有简单极点．所以断言（２）成立．　社，１９８２：３２－３３．　于是由引理２及断言（１）知，ｇ（　）是有理函　［７］ＨＡＹＭＡＮ　Ｗ　Ｋ．Ｐｉｃａｒｄ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｕｎｃ—　数，但这与引理１矛盾．　ｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ［Ｊ］．Ａｎｎ　ｏｆ　Ｍａｔｈ，１９５９　所以　在Ｄ　１－＿正规．　（７０）：９－４２．　［８］ＰＡＮＧ　Ｘ　Ｃ．Ｂｌｏｃｈ＇ｓ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ［Ｊ］．　参考文献：　Ｓｃｉ　Ｃｈｉｎａ　ｓｅｒ　Ａ，１９８９（３２）：７８２—７９１．　［１３　ＳＣＨＷＩＣＫ　Ｗ．Ｓｈａｒｉｎｇ　ｖａｌｕｅｓ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｌｉｔｙ［Ｊ］．Ａｒｃｈ　［９］ＦＡＮＧ　Ｍ　Ｌ，ＺＡＬＣＭＡＮ　Ｌ．Ｎｏｒｍａｌ　ｆａｍｉｌｉｅｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈ，１９９２（５９）：５０—５４．　ｓｈａｒｅｄ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ＩＩＩ［Ｊ］．Ｃｏｍ—　［２３　ＰＡＮＧ　Ｘｕｅ－ｃｈｅｎｇ，ＺＡＬＣＭＡＮ　Ｌ．Ｓｈａｒｉｎｇ　ｖａｌｕｅｓ　ａｎｄ　ｐｕｔ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｆｕｎｃｔ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００２，２（２）：３８５—３９５．　Ｓｈａｒｅｄ　Ｖａｌｕｅｓ　ａｎｄ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ＬＩＵ　Ｋｅ—ｘｉａｏ　（Ｐｒｅｐａｒａｔｏｒｙ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｈｕａｉｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｉｈｕａ　４１８００８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ　ｂｅ　ａ　ｆａｍｉｌｙ　ｏｆ　ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｌａｉｎ　ｄｏｍａｉｎ　Ｄ，口，ｂ　ａｒｅ　ｔｗｏ　ｄｉｓｔｉｎｃｔ　ａｎｄ　ｎｏｎ－－ｚｅｒｏ　ｖａｌｕｅｓ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｎｕｍｂｅｒｓ．Ｉｆ　ｆｏｒ　ｅｖｅｒｙ　ｆ∈ｓ一（ａ，６｝舒，“’∈Ｓ，ａｌｌ　ｏｆ　ｚｅｒｏｓ　ｈａｖｅ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉ—　ｔｙ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｋ＋１，ｔｈｅｎ　ｉｓ　ｎｏｒｍａｌ　ｉｎ　Ｄ．　，　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｎｏｒｍａｌ　ｆａｍｉｌｙ；ｓｈａｒｅ　ｖａｌｕｅ　（上接第１７页）　机应用，１９９１（２）：６７－７５．　参考文献：　［５］麦苗／分块ｒ循环Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的特征值方程［Ｊ］．工　［１］章毓晋．图象处理和分析［Ｍ］．北京：清华大学出版　科数学。２０００（３）：９５—９８．　社，１９９９．　［６］杜友李．循环分块矩阵特征值求法［Ｊ］．数学的实践与　［２］韦宝典．ＡＥＳＳ盒的代数表达式［Ｊ］．西安电子科技大　认识，１９８９（４）：８２—８４．　学学报，２００３，３０（１）：２９—３２．　［７］麦苗，金元怀．一类循环分块阵特征向量的求法［Ｊ］．　［３］董耀．应用循环分析原理求解高阶循环矩阵的新方法　北方工业大学学报，１９９５（１）：１８—２２．　［Ｊ］．测绘通报，１９８７（１）：１９—２０．　［８］沈光星．型二重一循环矩阵及有关算法的计算复杂性　［４］马利庄．循环矩阵的推广及应用［Ｊ］．数学计算与计算　［Ｊ］．高等学校计算数学学报，１９９８（４）：３３６・３４４．　Ａ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ａ　Ｂｌｏｃｋ　ｒ－Ｃｉｒｃｕｌａｎｔ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｍａｔｒｉｃｅｓ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　Ｖｅｃｔｏｒ　ＹＵ　Ｙｅ～ｚｈｅｎｇ，ＬＩ　Ｘｉｎ　ｌｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｄｏｎｇｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｆｕｚｈｏｕ　３４４０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｇｉｖｅｓ　ｆｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ｆｌ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｂｌｏｃｋ　ｒ　ｃｉｒｃｕｌａｎｔ　ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｐｒｏｏｆ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｃｋ　ｒ　ｃｉｒｃｕｌａｎｔ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍａｔｒｉｃｅｓ；ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ；ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ