W1,p:={u∈Lp:ui∈Lp,1≤i≤N}
其中1≤p≤+∞.
我们下面证明任取u∈W1,p都有
∫
|∇u|p<+∞
证明：因为upi∈Lp则u2i∈L2,于是由Minkowski不等式可得∑u2p
i
∈L2.这样就有∫∫|∇u|p=(∑u2)p
2i<∞.我们就证明了想要的结论.
(1)
(2)
(3)
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