中考数学平行四边形提高练习题压轴题训练及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（1）、动手操作：

如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点∠ABE＝20°，那么（2）、观察发现：

小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

的度数为 .

处，折痕为EF，若

（3）、实践与运用：

将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大

小.

【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60° 【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；

（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；

（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可． 试题解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°， ∴∠AEB=70°， ∴∠BED=110°，

根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°． ∵AD∥BC，

∴∠EFC=125°，

再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．； （2）、同意，如图，设AD与EF交于点G

由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD． 由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°， 所以∠AGE=∠AGF=90°， 所以∠AEF=∠AFE． 所以AE=AF，

即△AEF为等腰三角形．

（3）、由题意得出：∠NMF＝∠AMN＝∠MNF， ∴MF＝NF，

由折叠可知，MF＝PF， ∴NF＝PF，

而由题意得出：MP＝MN， 又∵MF＝MF， ∴△MNF≌△MPF，

∴∠PMF＝∠NMF，而∠PMF＋∠NMF＋∠MNF＝180°， 即3∠MNF＝180°， ∴∠MNF＝60°.

考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定

2．问题发现：

（1）如图①，点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使其同时平分平行四边形ABCD的面积和周长． 问题探究：

（2）如图②，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点P(6,7)为矩形外一点，请过点P画一条同时平分矩形OABC面积和周长的直线l，说明理由并求出直线l，说明理由并求出直线l被矩形

ABCD截得线段的长度． 问题解决：

（3）如图③，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABCD的边OA、OD分别在x轴、y轴正半轴上，DC∥x轴，AB∥y轴，且OAOD8，ABCD2，点

P(1052,1052)为五边形内一点．请问：是否存在过点P的直线l，分别与边OA与BC交于点E、F，且同时平分五边形OABCD的面积和周长?若存在，请求出点E和点F的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）y2x5，35；（3）E(0,0)，F(5,5)． 【解析】

试题分析：（1）连接AC、BD交于点O，作直线PO，直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．

（2）连接AC，BD交于点O，过O、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分．

（3）存在，直线yx平分五边形OABCD面积、周长． 试题解析：（1）作图如下：

（2）∵P(6,7)，O(4,3)， ∴设PO:ykx6，

6kb7k2{{，， 4kb3b5∴y2x5， 交x轴于N5,0， 211,6， 22交BC于M2115MN635．

22

（3）存在，直线yx平分五边形OABCD面积、周长． ∵P(1052,1052)在直线yx上， ∴连OP交OA、BC于点E、F， 设BC:ykxb，B(8,2)C(2,8)，

8kb2k1{，{， 2k8b10∴直线BC:yx10，

yx10x5联立{，得，

yxy5∴E(0,0)，F(5,5)．

3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

413． 3分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.

详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中，

OBEODF OBODBOEDOF∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6-x）2， 解得：x= ∵BD=∴OB=

13， 3AD2AB2 =213，

1BD=13， 2∵BD⊥EF，

∴EO=BE2OB2=∴EF=2EO=

213， 3413． 3点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键

4．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．

（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标．

（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（

17，3）；（3）53033430334≤S≤． 44【解析】 【分析】

（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； （2）①根据HL证明即可；

②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；

（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中，

∵A（5，0），B（0，3）， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 在Rt△ADC中，CD=∴BD=BC-CD=1， ∴D（1，3）． （2）①如图②中，

AD2AC2=4，

由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°，

由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．

②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO， 又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+（5-m）2， ∴m=

17， 517， 517，3）． 511•DE•DK=×3×22∴BH=∴H（

（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=（5-3430334）=， 24

当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=

11×D′E′×KD′=×3×22（5+

3430334）=． 24综上所述，【点睛】

3033430334≤S≤． 44本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=【解析】 【分析】

（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论. 【详解】

解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

15或12. 211AC=×60=30cm， 22∵CD=4t，AE=2t，

∴AB=

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°， ∴DF=

1CD=2t，∴DF=AE； 2（2）能， ∵DF∥AB，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10， ∴当t=10时，AEFD是菱形；

（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况： ①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

15， 2

则AE=2AD，即2t2(604t)，解得：t=12， 综上所述，当t=

15或12时，△DEF为直角三角形. 2

6．如图①，四边形ABCD是知形，AB1,BC2，点E是线段BC上一动点(不与B,C重合)，点F是线段BA延长线上一动点，连接DE,EF,DF,EF交AD于点G.设BEx,AFy，已知y与x之间的函数关系如图②所示.

（1）求图②中y与x的函数表达式; （2）求证:DEDF;

（3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形?如果存在，求出x的值;如果不存在，说明理由

【答案】（1）y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；（2）见解析；（3）存在，x＝【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式； （2）证明△CDE∽△ADF，得∠ADF＝∠CDE，可得结论； （3）分三种情况：

①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，

②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H， ③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED， 分别列方程计算可得结论． 【详解】 （1）设y＝kx+b，

由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4， 代入得：5553或或． 422kb2k2，得，

b4b4∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）； （2）∵BE＝x，BC＝2 ∴CE＝2﹣x， ∴∴

CE2x1CD1,， AF42x2AD2CECD， AFAD∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠DAF＝90°， ∴△CDE∽△ADF， ∴∠ADF＝∠CDE，

∴∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°， ∴DE⊥DF；

（3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形， ①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DGE＝∠GEB， ∴∠DEG＝∠BEG， 在△DEF和△BEF中，

FDEBDEFBEF， EFEF∴△DEF≌△BEF（AAS）， ∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，

∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2， x＝

5； 4②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，

∵AD∥BC，EH∥CD， ∴四边形CDHE是平行四边形， ∴∠C＝90°，

∴四边形CDHE是矩形，

∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG， ∴HG＝DH＝2﹣x， ∴AG＝2x﹣2， ∵EH∥CD，DC∥AB， ∴EH∥AF， ∴△EHG∽△FAG， ∴∴

EHHG， AFAG12x， 42x2x2∴x15555（舍）， ,x222③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED， ∵AD∥BC， ∴∠GDE＝∠DEC， ∴∠GED＝∠DEC， ∵∠C＝∠EDF＝90°， ∴△CDE∽△DFE， ∴

CEDE， CDDF∵△CDE∽△ADF， ∴∴

DECD1， DFAD2CE1， CD213，x＝， 2255-53或或． 422∴2﹣x＝

综上，x＝【点睛】

本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．

7．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C处，若∠ADB42，则DBE的度数为______.

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB4，AD9.

（画一画）如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕

MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

（算一算）如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A,B分别落在点A，B处，若AG7，求BD的长. 3

【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：BD3 【解析】 【分析】

（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；

（2）【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作∠BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求； 【算一算】首先求出GD=9-

720，由矩形的性质得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行线的33性质得出∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，证出∠DFG=∠DGF，由等腰三

20，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，3可知FB′=FB，由此即可解决问题． 【详解】

角形的判定定理证出DF=DG=

（1）如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC=42°，

由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=故答案为21．

（2）【画一画】如图所示：

1∠DBC=21°， 2

【算一算】 如3所示：

∵AG=

7，AD=9， 3720， 33∴GD=9-

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，BC=AD=9， ∴∠DGF=∠BFG，

由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG， ∴∠DFG=∠DGF， ∴DF=DG=

20， 32∵CD=AB=4，∠C=90°，

16202∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=DFCD， 43322∴BF=BC-CF=91611， 3311， 3由翻折不变性可知，FB=FB′=∴B′D=DF-FB′=【点睛】

20113. 33四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决

问题．

8．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】

试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x=

x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+

，推出BN=

x）2，解得

，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.

试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2． 理由：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA=GC，

∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2， ∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x． ∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°， ∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°， ∴∠AMN=30°， ∴AM=BM=2x，MN=

x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2， ∴1=x2+（2x+解得x=∴BN=

x）2， ， ，

．

∴BG=BN÷cos30°=

考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质

9．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．

（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；

（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值． 【答案】（1）x=

﹣1；

（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1）， 当x=时，S的值最大，最大值为，． 【解析】

试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到

CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，

求得OF=OM=解方程

，即可得到结果；

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）•x，根据二次函数的性质即可得到结论．

试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1， ∵OA=OC， ∴CM=ME， ∴AE=2OM=2OF， ∴OM=OF， ∴

，

∴BF=BE=x， ∴OF=OM=∵AB=1， ∴OB=∴∴x=

﹣1； ，

， ，

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2， ∵∠CEP=∠EBC=90°， ∴∠ECB=∠PEG，

∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°， 在△EPG与△CEB中，

，

∴△EPG≌△CEB， ∴EB=PG=x，

∴AE=1﹣x，

∴S=（1﹣x）•x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1）， ∵﹣＜0，

∴当x=时，S的值最大，最大值为，．

考点：四边形综合题

10．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．

（1）求证：△ABM≌△CDN；

（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析； 【解析】

试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；

（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC． ∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN． （2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．

∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝

∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形． 考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．