最新-九年级数学 几何型综合题 北师大版 精品

【典型考题例析】

例1：如图2-4-27，四边形ABCD是正方形，△ECF是等 A腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点． （1）求证：△BCF≌△DCE．

0

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=90，求DG：GC的值．

B（2018年吉林省中考题）

分析与解答 （1）∵四边形 ABCD是正方形，

0

∴∠BCF+∠FCD=90，BC=CD．

∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．

0

∴∠ECD+∠FCD=90．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE

0

（2）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90． ∴BF=BC2CF252324．

∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90． ∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3．

例2：已知如图2-4-28，BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙O的切线交EB的延长线于P．过E点作ED∥AP交⊙O于D，连结DB并延长交PA于C，连结AB、AD．

（1）求证：ABPBBD．

（2）若PA=10，PB=5，求AB和CD的长．

（2018年湖北省江汉油田中考题） 分析与解答 （1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠1=∠2． ∵ED∥AP，∴∠P=∠PED．

而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴ABPBBD．

2（2）连结OA、AE．由切割线定理得，PAPBBD．即105(5BE)，

2220

DFGEC图2-4-27AC13PB2OE图2-4-28∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴

22AEPA2，即AE=2AB． ABPB2在Rt△EBA中，15AB(2AB)，

∴AB35．将AB、PB代入ABPBBD，得BD=9． 又∵∠BDE=90，ED∥AP， ∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴∴BC0

2BCPB． OAPO5153．∴CD=12 15252

例2：如图2-4-29，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，圆心O1CAHDO1FO2BG图2-4-28E在⊙O2上，连心线O1O2与⊙O1交于点C、D，与⊙O2交于点E，与AB交于点H，连结AE．

（1）求证：AE为⊙O1的切线．

（2）若⊙O1的半径r=1，⊙O2的半径R3，求公共弦AB的长． 2（3）取HB的中点F，连结O1F，并延长与⊙O2相交于点G，连结EG，求EG的长

（2018年广西壮族自治区桂林市中考题）

分析与解答 （1）连结AO1．∵O1E为⊙O2的直径，∴∠O1AE=90．

0

又∵O1A为⊙O1的半径，∴AE为⊙O1的切线．

（2）∵O1A=r=1，O1E=2R=3，△AO1E为Rt△，AB⊥O1E， ∴△AO1E∽△HO1A．∴O1A2O1HO1E． ∴O1H14222． ．AB2AH2OAOH33（3）∵F为HB的中点，∴HF=HF12， AB43∴O1FO1HHF∵HO1FGO1E．

223． 3∴Rt△O1HF∽Rt△OGE．∴1O1FHF． O1EEG23HFO1E6． ∴EG，即EG3O1F23 例4 如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D． （1）求证：DA=DC

（2）当DF：EF=1：8且DF=2时，求ABAC的值．

（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的

延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论． （2018年山东省菏泽市中考题）

B HAFED DEHAFB

O

OC C

图2-4-30K

0图2-4-30分析与解答 （1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=90-0

∠ACO=90-∠B．

0

又∠DAC=∠BAE=90-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC． （2）∵DF：EF=1：8，DF2，∴EF=8DF=82， 又DC为⊙O的切线，∴DC2DFDE29218． ∴DC1832．

∴ADDC32，AFADDF32222， AEEFAF822262． ∴ABACAEAF622224．

（3）结论DA=DC仍然成立．理由如下：如图2-4-31，

0

延长BO交⊙O于K，连结CK，则∠KCB=90．

0

又DC是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CKB=90-∠CBK．

00

又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=90-∠HBA=90-∠CBK． ∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC．

说明：本题是融几何证明、计算和开放探索于一体的综合题，是近几年中考的热点题目型，同学们复习时要引起注意．

【提高训练】

1．如图2-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F．若DE=EF，求证：BD=CF．

A

D

CB EF

图2-4-32

2．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当点O移动到△ABC外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

A

DBEOF图2-4-33GC3．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．

AD

F

CB E图2-4-34

00

4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=120，∠ACB=45，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论． DO

EC A B P图2-4-35

5．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD的延长线的交点．（1）猜想AD与OC的位置关系，并另以证明．（2）设ADOC的值为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系．（3）当r=2，sinE长．

1时，求AD和OC的30

CDEAOB图2-4-36【答案】 1．过D作DG∥AC交BC于G，证明△DGE≌△FCE 2．（1）证明DG∥EF即可

（2）结论仍然成立，证明略

（3）O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），说理略． 33．（1）BE=5 （2）tanCDE

54．（1）AC3 （2）CE:AE1 21，PB=2BC，∴CE：AE=CB：PB． 2（3）∵CE:AE∴BE∥AP．∴AO⊥AP．∴PA为⊙O的切线

5．（1）AD∥OC，证明略

0

（2）连结BD，在△ABD和△OCB中，∵AB是直径，∴∠ADB=∠OBC=90． 又∵∠OCB=∠BAD，∴Rt△ABD∽Rt△OCB．

∴

ADAB．SADOCABOB2rr2r2， OBOC43，OC23. 3∴S2r2 （3）AD