资产组合的集成风险度量及其应用_基于最优拟合Copula函数.

2008年 6月 系统工程理论与实践 第 6期 文章编号 :100026788(2008 0620014208

资产组合的集成风险度量及其应用

— — — 基于最优拟合 C opula 函数的 VaR 方法 张金清 , 李 徐

(复旦大学 金融研究院 , 上海 200433

摘要 : 通过对不同族类 、 不同种类 C opula 函数之间的比较分析 , 提出了最优拟合 C opula 函数的一种选

择方法 . 基于沪深两市经验数据的实证检验与分析表明 ,Frank 2C opula 和 Clayton 2C opula

低置信度和高置信度下资产组合集成风险的 VaR. 在各自置信度下 , 根据这两种 C

优于其它 C opula 函数方法 , 更优于使用正态分布或者 t 关键词 : C opula 函数 ; 资产组合 ; 集成风险度量 ; 最优拟合 中图分类号 : F830159 文献标志码 : P ortfolio and its application -g oodness 2of 2fit copula functions ZHANGJin 2qing , LI Xu

(Institute for Financial S tudies , Fudan University ,Shanghai 200433,China

Abstract : The key to applying the copula function to measure integrated risk of portfolio is to search for the

G oodness 2of 2fit copula. This paper proposes a method to determine the G oodness 2of 2fit copula by com paring and

analyzing copulas from different families and types. The test and analysis on em pirical data of Shanghai and Shenzhen

security exchange testify ,Frank 2C opula and Clayton 2C opula respectively apply to calculate VaR of portfolio integrated

risk under low and high con fidence level. Under respective con fidence level , the methods based on these tw o C opulas

are better than other C opula functions , and much better than the traditional methods based on multivariate G aussian

distribution and multivariate t distribution.

K ey w ords : C opula functions ; portfolio ; integrated risk measurement ; G oodness 2of 2fit ; VaR

1 引言

度量资产组合的集成风险 ① , 首先需要考察组合中单个资产所面临的不同风险 . 这些风险形态多样且 相互关联 、 交叉 、 渗透 , 并共同作用于资产组合 , 对资产组合所面临的集成风险具有叠加 、 放大的效应 . 因 此 , 由不同类型的风险因子共同作用所产生的风险与单种风险因子所驱动的风险有着本质的差别 . 单种风 险因子所驱动的风险的度量法 , 例如各种市场风险度量法 、 信用风险度量法等 , 一般都不适用于集成风险 的度量 . 目前 , 通过引入 C opula 函数度量资产组合集成风险的方法逐渐成熟 . C opula 函数运用于资产组合 的集成风险度量有两个优势 :1 可以刻画单个资产收益率分布的非正态性质 , 即 “尖峰厚尾” 特征 ;2 可以 描述不同资产收

益率之间复杂的相互关系 . 这样 ,C opula 函数能够把具有非正态性质 、 具有相互关联的多 个风险因子 “ 连接” 起来 , 构建由多个风险因子驱动的资产组合收益率的联合分布 , 并利用 VaR 方法度量 资产组合的集成风险 .

收稿日期 :2007201215

资助项目 :国家自然科学基金 (10371025 ; 教育部人文社科项目 (07JA790023 ; 复旦大学 “ 金穗” 项目 (2106JS062 ; 复旦大 学 (教育部 金融创新研究生开放实验室项目

作者简介 :张金清 (1965- , 男 (汉 , 山东人 , 博士 、 教授 、 博士生导师 , 复旦大学金融研究院副院长 , 研究方向 :数理金 融 、 行为金融和金融风险管理 ; 李徐 (1979- , 男 (汉 , 湖南人 , 博士研究生 , 复旦大学金融研究院 , 研究方向 :金融风险管理 . ① 由不同类型的风险因子共同作用所产生的风险称为集成风险 , 或整体风险 .

Sklar (1959 首先以 “ C opula ” ① 命名一类函数 , 此类函数能够把一维边缘分布函数连接在一起 , 形成联

合分布函数 .Joe (1997 以 C opula 函数为主要工具研究了随机变量之间的相依 ② 关系 . Nelsen (1999 系 统地介绍了 C opula 的定义和构建方法 、 Archimedean C opula ③ 的性质以及随机变量之间的相依关系 . Embrechts et al. (1999,2002 率先把 C opula 函数引入到资产组合的金融风险管理中 . Li (2000 首次用 C opula

方法来表述资产组合的联合违约概率 , 用来度量资产组合的信用风险 . Bouy é (2000 探讨了 C opula 函数在 资产组合市场风险 、 信用风险 、 操作风险以及极端情况中的应用 . 在国内的研究中 , 张尧庭 (2002 最早介绍 C opula 方法 , 他注意到 C opula 函数能够描述金融变量之间的相依关系 . 史道济和关静 (2003 借助 C opula 函 数分析了沪深两市的相关性 . 韦艳华 (2004 系统的讨论了 C opula 理论及其在多变量金融时间序列分析上 的应用 . 张明恒 (2004 研究了多金融资产风险价值的

C opula 计量模型和计算方法 . 吴振翔等 (2006 使用 C opula -G ARCH 模型来分析投资组合风险 .

以上的研究都对应用 C opula 函数度量集成风险做出了有益的理论探索 . 从 的实际运用来看 , 关键是要寻找一个最优拟合 C opula ④ . C opula 函 数 ,G enest et al. (1993 讨论了如何通过秩相关系数来确定 C . R oberto (2001 为 Archimedean C opula . ( 对多种 C opula 函数的校准进 行了详细的讨论 . 但是 , 函数的选择 , 没有考虑不同族类 、 不同种 类 ⑤ 的 C opula , 在 R oberto (2001 提出的拟合 优度方法上 ⑥ C opula 函数的最优拟合问题 , 并进行了实证检验 .

:C opula 函数的定义和性质 , 第三节阐述最优拟合 C opula 函数的选择 与分析 , , 最后是结论 .

2 几种基本 Copula 函数及其分布特征分析与比较

本节首先对 C opula 函数的概念进行回顾 , 并介绍两类 C opula 函数族 , 简要分析与比较两类 C opula 函 数族的分布特征 , 并总结它们的特点与适用范围 .

211 Copula 函数的概念回顾

C opula 函数可看成一个分布函数 C :[0,1]n → [0,1], 其边缘分布 F 1, … , F n 为区间 (0,1 上的均

匀分布 . Sklar (1959 证明了 Sklar 定理 :对于 n 维的连续型随机变量 , 其分布分别为 F 1, … , F n , 那么存在一 个唯一的 n 维 C opula 函数 :H (x 1, … , x n =C (F 1(x 1 , … , F n (x n ⑦ , 其中 C 就是一个 C opula 函数 . 根据 Sklar 定理可以看到 , 对于连续的分布函数 , 一维边缘分布和分布函数之间可以通过 C opula 函数 连接起来 . 因此 , 从 Sklar 定理中能找到资产组合集成风险度量的一条思路 :1 首先计算资产组合中单个风 险因子的分布 ;2 找到风险因子之间的 C opula 函数 ;3 运用单个风险因子分布和 C opula 函数刻画资产组合 的集成风险因子分布 ;4 使用 VaR 方法度量资产组合的集成风险 .

212 两类 Copula 函数族

C opula 函数成员广泛 , 下面以二维情况为例 , 介绍两种常用 ⑧ 的 C opula 函数族 :

1 椭圆 C opula 函数族 5

1第 6期 资产组合的集成风险度量及其应用 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

⑧ 常用是因为这几种 C opula 函数形式较简单且分布特征具有代表性 , 可见下文分析 .

X 是随机变量 , F (x 是 X 的分布函数 , 则概率积分变换 F (X 服从 (0,1 上的均匀分布 . R oberto (2001 详细提出了 Archimedean C opula 的拟合优度比较 , 本文将他的方法同时运用于 Archimedean C opula 和椭圆 C opula 函数之间的 拟合优度比较 . 不同族类是指 C opula 函数族 , 本文第二节介绍了两种常用的族类 ; 不同种类是指同一族类中的不同的 C opula 函数 . 见第二节所述 ,Sklar (1959 证明了对于连续的随机变量必有唯一的 C opula 函数 . 但是 ,C opula 函数的具体形式一般无法知道 , 我们 的任务就是找到一个 C opula 函数逼近理论值 , 此函数即最优拟合 C opula 函数 . C opula 函数中的应用较广的一族 , 后文有介绍 . 相依 (Dependence 没有一个确定的数学定义 . 相依关系是指随机变量之间各种各样的的相互关系 , 常见的包括线性相关、 秩相关、 尾部 相关等 . C opula 函数是刻画随机变量相依关系的方法之

一 . 中文可以翻译成 “ 连接函数” , 最早见张尧庭 (2002 , 本文直接使用英文 “ C opula ” 来表示 .

N ormal 2C opula 函数定义为 C ρGa (u ; ρ =Φρ(Φ

-1(u 1 , … , Φ-1(u n , 其中 Φρ(・ 为正态分布 , Φ是标准正态分布 , Φ-1为标准正态分布的逆函数 ; t 2C opula 函数定义为 C ρ, υt (u ; ρ, υ =T ρ, υ(t -1υ(u 1 , … , t -1υ(u n , 其中 T ρ, υ(・

t 分布 , t -1υ是 t 分布的逆函数 . 2 Archimedean C opula 函数族 ① ① Clayton 2C opula :C αClayton =max[(u

-α+υ-α-1 -1Πα,0], 其中 α∈ [-1, ∞ ]\\{0}; ② G umbel 2C opula :C αG umbel =exp[-[(-ln u α

+(-ln υ α]1Πα], 其中 α∈ [1, ∞ ]; ③ Frank 2C opula :C αFrank =-αln 1+-αu -αv e -α-1, 其中 α∈ [-∞ , ∞ ]\\{0}.

213 Copula 函数的分布特征及其特点和适用范围

为了直观理解 , 用散点图和等高线图描述上述五种 C opula 函数的分布特征 . 图 ~E 为随机模拟 1000次生成的各个函数的散点图 , 图 1F ~J 为这五种 C opula 线图 . 其中 N ormal 2C opula 中 ρ=019; t 2C opula 中 ρ=019, 、 G 中的 α分别 为 6、 4和 14. 从图 1可以发现到 ,N ormal 2C opula 、 t 2C , . t 2C opula 在两 端更扁平一些 , 呈现出一定的厚尾特征 .

:Clayton2C opula 在下尾部比 较集中 , 在上尾部分散 ; G umbel 2C ; Frank 2C opula 不论在中心还是上下尾部 , 分布都比较均匀 .

图 1 五种 C opula 函数的散点图和密度函数的等高线图 ②

上述五种 C opula 函数的分布特征表现出多样的形态 , 表 1对五种 C opula 函数各自的特点和适用范围 进行了总结 .

3 最优拟合 Copula 函数的选择与分析

本节以上节讨论的 C opula 函数为基础 , 阐述最优拟合 C opula 函数的选择与分析步骤 . 作为本文的核 心内容 , 本节最主要的工作在于 , 克服了 G enest et al. (1993 、 R oberto (2001 等仅以 Archimedean 2C opula 函数 为研究对象的局限性 , 在使用 R oberto (2001 提出的拟合优度方法基础上 , 比较不同族类 、 不同种类的 C opula 函数 , 从而扩大了集成风险度量时 C opula 函数的选择范围 , 有利于找到与经验数据拟合度更好的一 种 C opula 函数 .

6

1系统工程理论与实践 2008年 6月 ① ② 小图标题栏括号中的数字为各个 C opula 函数的参数 , 图 F ~J 中 C opula 函数的边缘分布都由标准正态分布经过概率变换得出 .

此类函数的定义和构造方法具体可见 G enest et al. (1993 和 Nelsen (1999 . 表 1 五种 C opula 函数的特点和适用范围 C opula 函数 N ormal

t Clayton G umbel Frank 分布函数 特点 1 直 接 由 多 维 正 态分布衍生出来 , 易计算 . 2 对称分布 3 不 具 有 厚 尾 特

征 . 1 直接由 t 分 布衍生出来 , 易计 算 . 2 对称分布 3 具 有 一 定 的 厚 尾特征 1 有 较 厚 的 下 尾 部 . 2 非对称分布 1 有 较 厚 的 上 尾 部 2 非对称分布 1 具 有 较 大 的 方 差 , 上下尾部都比 较厚 . 2 对称分布

在金融风险 度量中的适

用范围 适 合 刻 画 对 称 相 依性 、 不具有厚尾 特 征 的 多 维 风 险 因子 . 适 合 刻 画 对 称 相 依性 、 一定厚尾特 征 的 多 维 风 险 因 子 . 适 合 刻 画 不 对 称 相依性 、 具有较强 下 厚 尾 特 征 的 多 维风险因子 . 适 合 刻 画 不 对 称 相依性 、 具有较强 上 厚 尾 特 征 的 多 维风险因子 . 适合刻画对称相依

性 、 在中心和上下 尾部分布较均匀的 风险因子 . 311 估计资产组合中每个资产风险因子的边缘分布

. 函数的 VaR 值 , 这样可以用正态分布 ① 与基于 C opula 函数的方法做比较 , 因 此选择参数估计方法 ② .

312 估计备选 C opula 函数族 , 共五种 C opula 函数 . 估计不同函数族的参数需要采用不 同的方法 . 椭圆 C 函数族中 N ormal 2C opula 和 t 2C opula 都有参数 ρ. 这时需要使用秩相关系数估计参数 ρ③ . 两者的关系可由下式表示 :

ρ=sin (πΠ2τ

. 其中 τ为 K endall τ秩相关系数 ④ . 因此可以该式来估计 N ormal 2C opula 和 t 2C opula 的参数 . 对于 t 2C opula 函 数 , 还需要估计函数中的参数 υ, 本文采用极大似然估计法 ⑤ .

对于 Archimedean 2C opula 函数族的参数估计 ,G enest et al. (1993 的讨论了如何根据 K endall τ相关系数 估计 Archimedean 2C opula 函数的参数 . 常用的三种 Archimedean 2C opula 函数的参数与 K endall τ秩相关系数 的关系如下 .

表 2 秩相关系数与 Archimedean 2C opula 函数中的参数关系 函数

Clayton G umbel Frank K endall ταΠ(α+2 1-1Π α1-4[D 1(α -1]Πα⑥ 7

1第 6期 资产组合的集成风险度量及其应用 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ D k (α 定义为 :D k (α =αk α0k exp (t -1

d t , k =1,2, 称为 “ Debye ” 函数 , 可以使用数值积分计算 .

本文为简化计算 , 先计算 ρ, 再用 t 2C opula 的对数似然函数估计 υ. Nelsen (1999 证明 C opula 函数与秩相关系数有如下关系 :τ=4

κ[0,1]2C (u , v dC (u , v -1. 对于 t 2C opula , 如果每个边缘分布都是服从相同自由度 υ的 t 分布 , t 2C opula 可以表示为多元 t 分布 , 参数 ρ即为线性相关系数 . 但是不

能保证每个边缘分布是相同自由度 υ的 t 分布 , 这样参数 ρ不再是线性相关系数 .

参数方法的缺点是 :可能存在模型风险 .

这两种传统方法都是先计算边缘分布的 VaR 值 , 再求资产组合的 VaR 值 . 以包含两资产的资产组合为例 , 在边缘分布为正态分布或者 t

分布的情况下 , VaR p =VaR 21+VaR 22+2

ρVaR 1VaR 2, 其中 VaR p 为资产组合的 VaR 值 , VaR 1和 VaR 2分别为资产 1和资产 2的 VaR 值 , ρ两资产收益率的相关系数 . 具体计算方法可见菲利普・ 乔瑞 (2005 等风险管理著作 .

313 比较选择最优拟合的 Copula 函数 通过比较判断不同族类 、 不同种类 C opula 函数与经验 C opula 函数 ① 之间的拟合优度 , 来判断最优拟合 的 C opula 函数 . 对于拟合优度的判断方法 , 采用图像法和分析法 . 图像法主要是通过 QQ 图 (分位数图 来 观察通过不同 C opula 函数得出的分布值与经验 C opula 函数的距离 , 如果两者拟合度较高 , 则 QQ 图上两者 都将重合于 45°直线上 . 如果存在多种 C opula 函数都具有较好的拟合度 , 以至于无法用肉眼观察到细微差 别 , 需要采用分析方法 . 分析法通过 K olm og orov 2Smirnov 检验 ② (简称 K 2S 检验 来计算估计的 C opula 函数与 经验 C opula 之间的最大距离 , 由此计算出相应的 p 2值 , p 2值越大拟合效果越好 .

314 通过 Monte C arlo 模拟 , 计算资产组合的 V a R 值

确定最优 C opula 函数之后 , 则可度量资产组合收益率的风险 . 为此 , 假设资产组合中有两种资产 , 资 产 1和资产 2, 令 w 1、 w 2分别为资产的权重 . w 1+w 2=1. 使用 X 和 Y 分别代表资产 12的对数收益 率 , P 1t , P 2t 为 t 期价格 , 定义对数收益率为 :X =ln (P 1t +1ΠP 1t , Y =(P 2t +12

为 :R =ln (w 1e X +w 2e Y . 对应的风险价值 (VaR 值是 :Pr (=1, (, c 为置信 度 , VaR R 为 VaR 值 , 可为负 .

具体计算过程如下 :① 使用最优 C , 模拟 ③ 产生相依的二维随机样本 ; ② 通 ; ③ 把两者带入资产组合收益率公式中 , 得到资产 组合收益率 R , 即为一定置信度下的 VaR 值 ; ⑤ 经过多次模 拟 , .

4 实证检验与分析 :以沪深大盘指数数据为例 411 数据的选取和边缘分布的估计

以 1997年 1月 2日到 2006年 9月 1日 ④ 上证综合指数和深圳成份指数为原始数据 , 共有 2331个交易 日的收盘价 . 对数收益率数据有 2330个样本点 . 假设考察的资产组合包含等权重 (w 1=w 2=015 的两种资 产 ⑤ , 并且此两种资产的收益率分别与沪深指数完全正相关 , 把资产组合的收益率看成沪深两个指数收益 率的联合分布函数 . 因此 , 可以通过考察沪深指数的收益率来对资产组合的进行市场风险度量 .

通过对经验分布 ⑥ 进行正态 JB 假设检验 , 两市的收益率都不服从正态分布 , 具有 “尖峰后尾” 特征 . 对 收益率序列做 ADF 检验 , 都是 0阶平稳的随机过程 . 为了刻画厚尾特征 , 使用 t 2分布来描述收益率的分 布 ⑦ . 极大似然法估计 t 2分布的自由度 , 可得上综指的对数收益率自由度为 312718, 近似为 t (3 分布 ⑧ . 深 成指的对数收益率自由度的极大似然估计为 3121. 两者都近似服从自由度为 3的 t 2分布 ⑨ . 412 Copula 函数的参数估计

首先估计 N ormal 2C opula 和 t 2C opula 的参数 . 计算样本秩相关系数 K endall τ值 :τ=017473. 由 ρ=sin

(πΠ2τ

, 得 ρ=019222. 图 2是描述上海深圳两市大盘指数收益率散点图 . 由于二维 t 2C opula 函数还需要估 8

1系统工程理论与实践 2008年 6月 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

⑨ 在此例中 , 两者近似相等 . 表明在目前的制度下 , 沪深两市基本呈现相同的形态 .

这里的极大似然估计的参数值和样本选择的时期有关系 , 笔者在对最近 1000个样本进行估计时发现服从 t (5 分布 . 而对上证 50和深 圳中小盘指数估计时 , 发现 t 分布的自由度分别是 6和 7. 也可以采用其它厚尾特征的分布如极值分布 , 从本文和现有国内的一些研究表明 , t 分布能够刻画沪深指数收益率 . 这里假设了经验分布是连续的 . 本文实证只考察了两维的情况 , 的情况计算原理可以依此类推 , 但计算更为复杂 . 考虑到从 1995年开始实行 T +1制度 ,1996年底实行涨停板制度 , 所以选取 1997年到 2006年数据 . 本文忽略了涨停板制度对中国证券 市场证券收益率波动的影响 . 本文使用的计算软件是 R2. 4. 1.

K 2S 检验通过比较两个分布函数的累计阶梯函数之差的绝对值大小 , 来判断两个分布函数的拟合程度 . Nelsen (1999 介绍了经验分布函数 . 经验分布函数的计算方法为 :

C ^T , … , T , … , T =T ∑ T t =11[x t 1≤ x (t 1 1, … , x t n ≤ x (t n n , … , x t N ≤ x (t N N

], 其中 1≤ t 1, … ,t n ≤ T x (t n , 是样本序统计量 .

第6期 资产组合的集成风险度量及其应用 19 413 选择最优拟合 Copula 函数 准确方法 . 414 使用 Monte2Carlo 模拟方法来计算资产组合的值 为了进一步比较各个 Copula 函数在集成风险度量中的准确度 ,我们把各种 Copula 函数的模拟结果以 密度函数的等高线将收敛成一条直线 ,彼此没有区别 . 计自由度 υ,经计算 υ= 4. 然后 ,采用表 2 的方法计算 Archimedean2Copula 函数的参数 ,具体结果如表 3. 表3 Archimedean2Copula 函数的参数估计值 函数 Kendall τ α Clayton Gumbel Frank 我们同时使用图像法和分析法 . 1 图像法 . 从图 3 中可以发现 , 五种 Copula 函数几乎都能很好的与经验 Copula 函数拟合 , 只有 Frank Copula 稍微有偏离 ,但并不明显 . 为了揭示出拟合程度的微妙差别 ,需要采用分析法 . 表 4 的结果显

示 ,Normal2Copula 和 t2Copula 的 p 值很高 ,两者数值接近 . 其余三种 Copula 函数的 p 值 依次递减 ,其中 Frank2Copula 的 p 值最小 . 根据表 4 的结果 ,只能说明 Normal2Copula 和 t2Copula 拟合程度相 对较高 . 但是 ,由于五个 p 值均大于 0105 , 在 95 % 的置信度下 , 无法在统计意义上否定其中任何一种 Copula 函数为真 ①. 因此 ,下面同时对五种 Copula 函数进行 Monte2Carlo 模拟 , 以判断计算资产组合值的最 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net ① 产生这样的结果 ,主要原因是由于沪深两市的正相关程度很高 ( 如图 2 ,实际上当两者完全正线性相关时 ,五种 Copula 函数的散点图和 2 分析法 . 分析法使用 K S 检验 ,p2值结果如表 4. 2 K S p2值 2 Normal2Copula 0. 8004 t2Copula α 1 - 4[ D1 (α - 1 ]Π α (α+ 2 Π α 1 - 1Π 图3 五种 Copula 函数与经验 Copula 的 QQ 图 表4 五种 Copula 与经验 Copula K S 检验的 p2值 2 0. 8435 Clayton2Copula 0. 4884 13192 519144 319572 图2 沪深两市大盘指数收益率散点图 Gumbel2Copula 0. 3248 Frank2Copula 0. 2295

20 系统工程理论与实践 2008 年 6 月 及正态分布 、 t 分布的传统方法的模拟结果进行了比较 . 本文使用不同的 Copula 函数每次产生 2330 个随机样本 ,得到需要的分位数 . 然后模拟 10000 次 ① , 并计算 10000 个分位数的平均值 , 得到相对稳 定的值和分位数 ,结果如表 5 所示 . 表5 不同方法模拟下的 VaR 值和上分

位数值 ② α VaR 0. 05 0. 01 0. 95 0. 99 经验值 - 2. 3211 - 4. 3028 2. 4383 4. 2534 C Ga t (3 , t (3 ③ ③ Ct t (3 , t (3 CClayton t (3 , t (3 C Gumbel t (3 , t (3 CFrank t (3 , t (3 VaR p Φ VaR p t (3 - 2. 2472 - 4. 2060 2. 1996 4. 2228 - 2. 2407 - 4. 2184 2. 1703 4. 1885 - 2. 2747 - 4. 2968 2. 1100 3. 2674 - 2. 2323 - 4. 1056 2. 1875 4. 2158 - 2. 2911 - 3. 9303 2. 3772 4. 0633 - 2. 5572 - 3. 6166 2. 5572 3. 6166 - 3. 6586 - 7. 0592 3. 6586 7. 0592 上分 位数 称的相依性 , 且两指数收益率的边缘分布都接近于 t ( 3 分布 , 它们的联合分布更接近于 t 分布 . Normal2Copula 和 t2Copula 函数的总体拟合程度难分伯仲 . Archimedean2Copula 函数为研究对象的局限性 ,比较不同族类 、 不同种类的 Copula 函数 ,并结合图像法和分 213772 ,与经验值 - 213211 和 214383 最接近 ,可见 Frank2Copula 计算 5 %和 95 %分位数最准确 . 当置信度提 99 %下的 VaR 值和上分位数明显偏小 . 而使用自由度为 3 的二维 t 分布 , 则将大大的高估风险 . 可见传统 5 结论 中具有明显的优势 . Gumbel2Copula 函数有较厚的上尾部 , 在计算上分位数时与椭圆 Copula 函数族的准确 方法 . 的资产组合风险度量方法并不能准确计算 VaR 值 . 本文使用 Copula 函数度量资产组合的集成风险 ,给出了资产组合集成风险度量的一般步骤 :1 估计资 产组合中每个资产风险因子的边缘分布 . 2 估计备选 Copula 函数中的参数 . 3 比较选择并找出最优拟合的 析法来寻找最优拟合 Copula 函数 . 度 ,其次是 Normal2Copula. 但是在计算资产组合集成风险的 VaR 值时 ,Archimedean Copula 由于能更好的刻 画尾部特征 ,从而准确度更高 . Frank2Copula 适合计算置信度较低 ( 小于 99 %时 的 VaR 值 . 而计算置信度 较高 ( 大于等于 99 %时 的 VaR 值 ,Clayton2Copula 才是最佳选择 . 因此 ,在对上海深圳大盘指数数据为基础 的集成风险 . 为寻求更加准确的度量方法 ,可以扩大 Copula 函数的选取范围 ,如多参数的 Copula 函数等 ,这样可能 ① 分别模拟 1000 、 5000 、 10000 次后发现 , 只有模拟 10000 次 , 计算的 VaR 值和上分位数才能在小数点后两位收敛 . 本文使用 CPU Intel 度旗鼓相当 . Frank2Copula 同时具有较厚的上下尾 , 在计算 5 %和 95 %分位数时 , 结果分别为 - 212911 和 的实证检验和分析中 ,Frank2Copula 结合 Clayton2Copula 的方法能在不同置信度下更准确的度量资产组合 Pentium 2. 66 G Hz 和 512M 内存的微机和 R2. 4. 1 软件进行 10000 次模拟 . 高时 ,例如在置信度 99 % 下 ,

Clayton2Copula 计算的 VaR 值为 - 412968 , 最接近经验值 - 413028 , 而其它 Copula

函数都不能在高置信度下准确的计算 VaR 值 . 所以 ,Clayton2Copula 是计算高置信度 VaR 值最好的 边缘分布函数 . 第 9 列为二维正态分布计算的结果 ,第 10 列为二维 t 分布计算的结果 ,这两种方法都是先根据边缘分布计算 VaR 值 ,然 后通过相关系数计算资产组合的 VaR ,为传统方法 . ③ 边缘分布虽然近似服从自由度为 3 的 t 分布 ,但是在模拟时 ,为了保证精确 ,使用的自由度仍是极大似然估计值 3. 2718 和 3. 21. Copula 函数 . 4 通过 Monte Carlo 模拟 , 计算资产组合的 VaR 值 . 在关键的第 3 步中 , 本文克服了仅以 ② 表 5 中第 1 列根据资产组合的历史样本计算的收益率 ,作为比较的标准 . 第 4 至 8 列分别使用相对应的 Copula 函数 ,函数上标为各自的 分析表 5 的数据 ,有如下结果 : 1 从总体的拟合程度看 , t2Copula 函数族对经验数据具有较好的拟合程度 ,这是因为沪深两市具有对 通过对中国沪深两市的经验数据的实证检验可以看出 , 自由度为 4 的 t2Copula 函数具有较高的拟合 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 2 虽然在表 4 中 Archimedean Copula 函数族整体拟合度较差 ,但是从表 5 的结果看 ,在上下尾部的拟合 3 表 5 中第 9 列和第 10 列采用了传统的资产组合风险度量方法 . 在使用二维正态分布时 , 置信度

第6期 资产组合的集成风险度量及其应用 21 发现更符合经验数据的 Copula 函数形式 . 同时可以改进最优拟合 Copula 函数的选择方法 , 例如采用半参 数估计 ① 方法 . 由于金融环境的瞬息万变 , 风险因子的分布函数可能具有时变性 , 如果考虑了动态的情 ② 况 ,本文提供的集成风险度量方法将具有更强的适用性 . 参考文献 : [1 ] Sklar A. Fonctions de ré partition àn dimensions et leurs marges[J ] . Publications de l ’ Institut de l ’ Universitéde Paris ,1959 ,8 : 299 - 231. [ 2 ] H. Multivariate Models and Dependence Concepts[M] . London : Chapman & Hall ,1997. Joe [3 ] Nelsen R B. An Introduction to Copulas[M] . New Y :Springer ,1999. ork [ 4 ] Embrechts P , McNeil A J , Straumann D. Correlation : Pitfalls and alternatives[J ] . Risk ,1999 ,12 :69 - 71. [ 5 ] Embrechts P , McNeil A J , Straumann D. Correlation and dependence in risk management : Properties and pitfalls[ C]ΠDempster M Π A H. Risk Management : Value at Risk and Beyond. Cambridge :Cambridge University Press , 2002 ,176 - 223. [ 6 ] D X. On default correlation : A copula function approach[J ] .

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conditional Copula [ D ] . Department of Economics , ② 如 Patton (2002 使用 Copula 函数处理时间序列 ,在风险度量中引入了时变因素 . 但这只是资产组合集成风险动态度量的初步探索 . 因为 Patton (2002 以及类似的研究方法本质上假设时间序列的相依关系具有不变性 . 因此 ,Mikosch (2006 认为在进行资产组合集成 风险动态度量时 ,Copula 函数还存在缺陷 . © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net