北京首都师大附中2017届九年级10月月考数学试题(含答案)

初三数学

第I卷（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1．下列图形是中心对称图形的是（ ）．

A．【答案】A

B． C． D．

【解析】绕一点旋转180后与自身能重合的图形是中心对称图形．

2．将抛物线y5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）． A．y5(x2)23 【答案】A

【解析】平移：左右——（用于x），上下——（用于y）．

3．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，A50，B30，则ADC的度数为（ ）．

B．y5(x2)23

C．y5(x2)23

D．y5(x2)23

ADOC

C．110

D．120

BA．70 【答案】C

【解析】∵A50， ∴BOC100，

1

B．90

∵BOCDBOBDO，DBO30， ∴10030BDO， ∴BDO70，

∴ADC180BDO18070110． 4．代数式x24x5的最小值是（ ）． A．1 【答案】A

【解析】y(x2)21≥1．

5．已知圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）． A．90 【答案】B

【解析】设母线为R，底面半径为r，圆锥侧面展开图圆心角为n，则n120．

B．1 C．2 D．5

B．120 C．150 D．180

rn1n，所以，R36033606．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，以D为旋转中心，把△ABC顺时针旋转60后，所成的图形是（ ）．

ABDC

A． B．

2

C．

【答案】D 【解析】

D．

AB'BDC'

7．若二次函数yx2bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2bx5的解为（ ）．

A'CA．x10，x24 【答案】D

B．x11，x25 C．x11，x25 D．x11，x25

【解析】∵yx2bx结称轴过点(2,0)，

b∴2

2b4，

∴yx24x，

∴x2bx5即为x24x50，(x5)(x1)0，x15，x21．

3

8．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线yx22xd与x轴有两个不同的交点，则点P（ ）． A．在⊙O的内部

【答案】A

【解析】∵yx22xd与x轴有两个不同交点， ∴0， ∴44d0， d1，

B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．无法确定

∵R1，

∴点P在⊙O内部．

9．小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的

3，折扇张开的4角度为120．小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为

243cm，宽为21cm．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴的损耗，此时扇面的宽度AB为（ ）． 长：243cmA骨柄长的34O图1A．21cm 【答案】B

4

宽：21cmB图2

B．20cm

C．19cm

D．18cm

【解析】

243cm123A'123A120°BO∵AOB120，AA243， ∴AO24，

AB243418．

5

16．阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：P为⊙O外一点． 求作：经过点P的⊙O的切线．

OP

小敏的作法如下： 如图，

（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C． （2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点． （3）作直线PA，PB．

MAOBCPN

老师认为小敏的作法正确．

请回答：连接OA，OB后，可证OAPOBP90，其依据是____________________；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是________________________________________． 【答案】见解析．

【解析】①直径所对的圆周角是直角．

②经过半径的外端并用垂直于半径的直线是圆的切线．

6

10．【答案】D

【解析】∵y2x28xm2(x2)2m8， ∴对称轴x2，

将6x7关于对称轴x2对称， 得3x2，

则此时图象位于x轴上方， ∵2x1时图象位于x轴下方， ∴可知，图象过(2,0)， ∴0816m m24．

二、填空题 11．【答案】

【解析】x3时，y1(3)25x391524， x2时，y222524106，

∴y1y2．

12．【答案】k1且k0

【解析】∵ykx22x1图象与x轴有两个不同交点， ∴0且k0， ∵(2)24k 44k，

∴44k0， ∴k1， ∴k1且k0．

7

13．【答案】16π 【解析】

ABOC

如图：130，AB6， ∴Rt△ABO中，BO2， S全面积S侧面积S底面积 πABBOπBO2 π62π22 12π4π 16π．

14．【答案】2

1

【解析】∵ax2bxc0， 可化为ax2bxc，

即方程的解为函数yax2，ybxc，图象交点的横坐标，

又∵交点为A(2,4)，B(1,1)， ∴x为2，1．

15．【答案】1

10

13

【解析】

8

BCADO

如图：AB1，CD10，

1由垂径定理可知：CACD5，

2设半径为r，

在Rt△ACO中，AO2CA2CO2， ∴(r1)252r2 r13．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解一元二次方程：x24x20 【答案】x122，x222． 【解析】x24x20 x24x42

(x2)22

x22，

x122，x222．

9

18．已知x23x10，求4x(x2)(x1)23(x21)的值． 【答案】6．

【解析】原式4x28xx22x13x23 2x26x4

2(x23x)4，

当x23x10，即x23x1时， 原式2146．

19．如图，△ABC内接于⊙O，BAC120，ABAC，BD为⊙O的直径，AD10，求弦AC的长．

DOCA

【答案】103． 3B【解析】

DOCA

∵⊙O中BD是直径， ∴DAB90，

∵△ABC中，BAC120，ABAC， ∴C30， ∴D30，

在Rt△ABD中，AD10，D30，DAB90，

B 10

∴AB∴AC

103， 3103． 320．如图，在△ABC中，ABC75，在同一平面内，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，使得DA∥BC，求EBC的度数．

DAEB

【答案】30．

【解析】∵AD∥BC，ABC75， ∴DABABC75， ∵BABD，

∴BDABAD75， ∴118075230， ∴由旋转性质可知，2130．

C

DAE1B

2C

11

21．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(2,2)．以

A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90，得到△ABC．

（1）画出△ABC．

（2）点B的坐标为______________________________． （3）求点C旋转到C所经过的路线长．

y3212A12

【答案】（1）见解析；（2）(0,1)；（3）2π． 【解析】（3）如图，C走过的路线为弧CC， ∵C(2,2)， ∴AC22， ∵CAC90，

CBx90∴CC2π22 3602π．

12

y3C'212A12

22．已知：关于x的一元二次方程x22xm0有实数根． （1）求m的取值范围．

31（2）若a，b是此方程的两个根，且满足a2a1(2b245b1)，求m的值．

22CB'Bx

【答案】（1）m≥1；（2）m1． 【解析】（1）∵ x22xm0有实根， ∴≥0， ∵44m， ∴44m≥0， ∴m≥1．

31（2）a2a1(2b24b1)，

2213(a22a2)b22b，

22∵a、b为方程x22xm0的两根， ∴a22am0，b22bm0， ∴a22am，b22bm，

13

13∴(m1)m，

2213m22mm1

2235m2m0

222m23m50 (2m5)(m1)0

5m1（舍）m1，

2∴m1．

23．已知：二次函数yax2bxc(a0)中的x和y满足下表：

x   0 3 1 0 2 1 3 0 4 m 5 8   y （1）可求得m的值为__________． （2）求出这个二次函数的解析式．

（3）当0x3时，则y的取值范围为______________________________． 【答案】（1）3；（2）y(x2)21；（3）1y3． 【解析】（1）由表可知x0，x4，关于对称轴对称， ∴m3．

（2）设顶点式ya(x2)21， ∵过(1,0)， ∴0a(12)21 a1，

∴y(x2)21．

（3）∵抛物线开口向上，对称轴x2， ∴0x3时，

当x0时，y有最大值3， x2时，y有最小值1，

∴1y3．

14

24．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价x元，则可卖出(32010x)件．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？ 【答案】22

100

【解析】设每件商品的售价定为x元， (x18)(32010x)400，

x128，x222， 18x(125%)22.5，

∵18x≤22.5， ∴x22，

32010x3201022100（件），

答：售价定为22时，卖出100件．

25．已知：如图，△ABC内接于⊙O，OHAC于H，B30，过A点的直线与OC的延长线交于点D，CAD30，AD103． （1）求证：AD是⊙O的切线．

（2）若E为⊙O上一动点，连接AE交直线OD于点P，问：是否存在点P，使得PAPH的值最小，若存在求PAPH的最小值，若不存在，说明理由．

AHOBCD

【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）连结AO， ∵B30，

∴AOC260， 又∵AOCO，

15

∴△AOC为等边三角形， ∴OAC60， 又∵CAD30， ∴OAD90， ∴OAAD， 又∵OA为半径， ∴AD为⊙O切线．

AHOBA'

（2）将点A关于直线OD对称到点A， 由垂径定理可知A在⊙O上， ∴PAPA，

∴(PAPH)min(PAPH)min， ∵AOC60， ∴AOC60， ∴AOA120，

PCD1又∵AOHAOC30，

2∴AOH1203090，

∵Rt△AOD中OAD90，AOD60，AD103， ∴AO10， ∴AO10，

在Rt△AOH中，OH53，

16

∴在Rt△OHA中，OA2OH2AH2， ∴102(53)2AH2， ∴AH57，

∴PAPH最小值为57．

26．有这样一个问题：探究函数y2x62x6的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数yx2x2的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成： （1）函数y2x6的自变量x的取值范围是__________． x2（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m__________．

x   3 2.4 2 2.5 0 3 1 4 1.5 6 2.5 m 0 4 1 6 7   y 2 1.5 1.6 （3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质．

①__________________________________________________． ②__________________________________________________．

y876543214321O123412345678x

17

【答案】（1）x2；（2）m3；（3）图象不过第三象限，与直线x2没有交点；（4）见解析． 【解析】（1）分母不为0，则x20，x2． （2）令y0，则0∴x3．

（3）从交点个数，增减性，过象限等角度来写．

2x6， x2127．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22xa1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两

2点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为1． （1）求a的值．

（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P，求点P的坐标．

（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m(m0)个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP无交点，求m的取值范围．

y22O22x

【答案】（1）a2；（2）(1,4)；（3）见解析． 【解析】（1）∵图象过A(1,0)，

1∴0a(1)22(1)a1

210a2a1

2a2．

（2）yx22x3

18

(x1)24，

顶点P(1,4)，

P与P关于原点对称，

∴P(1,4)．

（3）令y0，则0x22x3， (x3)(x1)0，

x13，x21， ∴A(1,0)，B(3,0)，

将图象向下平移3个单位后，A(1,3)，B(3,3)， ∵P(1,4)，P(1,4)， ∴直线PP解析为y4x，

3令y3，则x，

43∴H,3，

433由图可知，BH33，

443∴m3时，

4图象G与直线PP无交点．

y3A1A'HP'PB13B'x

19

28．（1）如图1，在四边形ABCD中，ABBC，ABC80，AC180，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数量关系．

1（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋ABC，

2与CD边交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM，CN，MN的数量关系是__________．

（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN的面积最小值为____________________．

AMDAMDADB图1CB图2CBC图3

解：（1）____________________． （2）____________________． （3）____________________．

【答案】（1）MNAMNC；（2）MNAMNC；（3）21． 【解析】（1）连DC延长线上截取CMAM， 连结BM，

∵A1180，12180， ∴A2，

在△ABM和△CBM中，

ABCBA2， AMCM∴△ABM≌△CBM，

20

∴BMBM，34， ∵ABC80，540， ∴3640， ∴4640， ∴MBNMBN， 连结MN，

在△MBN和△MBN中， BMBM5NBM， BNBN∴△MBN≌△MBN， ∴MNNM，

∵NMNCCMNCAM，∴MNAMNC．

AMD3N'B56142CM'

（2）证明同（1）． （3）

21

AMyDzxNBCL

延长DC至L，使CLAM， 连结BL，

∵ABCL90，ABBC， ∴△ABM≌△CBL（SAS）， ∴BMBL，

∵MDDNMN2， AMMDDNNC2，

∴MNAMNC， 又∵AMCL， ∴CLCNNLMN， ∴△BMN≌△BLN（SSS）， 设DNx，DMy，MNz， 则x2y2z2， ∵xyz2， ∴x2yz， ∴(2yz)2y2z2，

整理得：2y2(2z4)y(44z)0，∴(2z4)242(44z)≥0， 即(z222)(z222)≥0， 又∵z0， ∵S△BMNS△BNL

22

1NLBC 211z 21≥(222)， 2∴S△BMN 最小值21

23

29．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”． 例如，下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．

y87654321yEBAOxCDlO432112345671234567备用图x

)四边形ABCD为直线x1的“理想矩形”（1）若点A(1,2，，则点D的坐标为

____________________．

（2）若点A(3,4)，求直线ykx1(k0)的“理想矩形”的面积．

（3）若点A(1,3)，直线l的“理想矩形”面积的最大值为__________，此时点D的坐标为________________________________________． 解：（1）____________________． （2）____________________．

（3）______________________________，______________________________．

24

【答案】（1）D(1,0)；（2）34；（3）5 D(1,1) (3,2)．

【解析】（1）四边形ABCD中，A，B，C，D是顺时针排列， 且分别落在线段OE，⊙A和直线l上， ∴D(1,0)．

yAOx1

（2）连结AO，

过点A作AFy轴于点F， ∵A(3,4)在ykx1上， ∴直线l:yx1， 设l与y轴交于点H(0,1)， ∵F(0,4)， ∴HF3，

在y轴上截取FB3，连结BA， 可知ABAH32，

过点B作BCAB交⊙A于点C，过点C作CDl于点D， 使得A，B，C，D顺时针排列， 连结AC，

∵ACAO32425，

AB32，

∴Rt△ABC中，BC2AC2BA2

52(32)2 7，

25

∴BC7，

∴SABBC327314．

yCBFHOxDAl

（3）设“理想矩形”的一组邻边分别为x，y， 则x2y2AO2123210，

∵(xy)2x2y22xy102xy≥0， ∴xy≤5， Sxy≤5，

∴当且仅当xy时，xy有最大值5，此时理想矩形为正方形．

yOBMACDNx

①当点D在第四象限明，

过点A作AMy轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N， 易证△BMA≌△AND，

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∴D(H2,34)，即(3,2)． ②当点D在第三象限时，

过点A作x轴的平分线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M， 易证Rt△ANB≌Rt△DMA， 则有DMAN1，AMBN2， ∴D(12,31)即(1,2)，

综上：最大值为5，D(3,2)或(1,2)．yOxDACMNB

27