经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个
数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π， 故选C
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（ ） A、
的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、
=±1 D、
是5的平方根的相反数
是无理数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵
=9，9的平方根是±3，∴A正确．
=1，
是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
∵1的立方根是1，
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A、1 B、1.4 C、 D、
，
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为由圆的定义知|AO|=
【变式3】
，∴A表示数为
，故选C．
【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴
类型二．计算类型题
A.
2．设
，则下列结论正确的是（ ） B.
C. D.
，所以选B
解析：（估算）因为
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）
___________， ___________，___________.
【答案】1）
；.2）-3. 3）， ，
【变式2】求下列各式中的 （1） 【答案】（1）
（2）
（3）
（2）x=4或x=-2（3）x=-4
类型三．数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为
，点B在数轴上表示的数为
，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点， 举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，表示的数是（ ）．
的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C
A．
－1 B．1－
C．2－
D．
－2
【答案】选C
[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简 【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
(1) | (3) |
4．化简下列各式： -1.4| (2) |π-3.142| -| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解：(1) ∵ ∴|
=1.414…＜1.4 -1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π (3) ∵
＜
, ∴|
-|=
-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对楚的认识，并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| ∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三： 【变式1】化简： 【答案】
=
+
-
这个绝对值的基本概念要有清
=
类型五．实数非负性的应用
5．已知：=0，求实数a, b的值。 不能为0，只能有
＞0，则要求a+7＞0，分子
+|a2-49|=0，
分析：已知等式左边分母
由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组
从而求出a, b的值。
解：由题意得
由(2)得 a2=49 ∴a=±7
由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。 ∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21 ∴a=7, b=21为所求。 举一反三：
+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
+|y+2z|=0
≥0, |y+2z|≥0,
【变式1】已知(x-6)2+ 解：∵(x-6)2+ 且(x-6)2≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=+1=65
【变式2】已知
【答案】初中阶段的三个非负数： a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
那么a+b-c的值为___________ ，
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。 解：设新正方形边长为xcm， 根据题意得 x2=112+13×8 ∴x2=225 ∴x=±15
∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去， ∴只取x=15(cm)
答：新的正方形边长应取15cm。 举一反三：
【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下
的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）
积
（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面 多24cm2，求中间小正方形的边长.
解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
，所以面积为=
， 。
，
（或
，，即
小正方形的边长：
，
大正方形的面积= 一个长方形的面积= 所以，
答：中间的小正方形的面积 发现的规律是： (2) 又
大正方形的边长：
）
大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
代入，得：
cm
所以有， 化简得： 将
答：中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
的算术平方根是-3； （2）
的平方根是±15.
（1）
（3）当x=0或2时， （4）是分数
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故 （2） 故
表示225的算术平方根，即的平方根是
. =
，显然此式无意义，
=15.实际上，本题是求15的平方根，
（3）注意到，当x=0时，
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
（4）错在对实数的概念理解不清.
形如分数，但不是分数，它是无理数.
类型八．引申提高
8．（1）已知
的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
②
③
（2）把下列无限循环小数化成分数：①
（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分． 解：由 ∴
的整数部分a=5,
得 的小数部分
，
（2）解：(1) 设x= 则 ②-①得 9x=6
①
②
∴ .
(2) 设 则 ②-①，得 99x=23
①
②
∴ (3) 设 则
②-①，得 999x=107，
①
②
.
∴ .
学习成果测评： A组（基础）
一、细心选一选
1．下列各式中正确的是（ ）
A． 2.
B. C. D.
的平方根是( )
C. 2 D.
A．4 B.
3. 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是
无理数。其中正确的说法有（ ）
A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4．和数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数
5．对于
来说（ ）
A．有平方根 B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6．在
数
的个数有（ ）
A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ） A．
B.
C.
（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理
D.
8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与
9．-8的立方根与4的平方根之和是（ ）
A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A． B. C. D.
二、耐心填一填 11．
的相反数是________，绝对值等于
的数是________，∣
∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。 14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。 15．填入两个和为6的无理数，使等式成立： ___+___=6。 16．大于
，小于
的整数有______个。
互为相反数，则a=______，b=_____。 =3，且ab0，则a-b=______。
则A、B两点间的距离为______。
17．若∣2a-5∣与 18．若∣a∣=6，
19．数轴上点A，点B分别表示实数
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解 21．计算 ⑴
⑵
⑶
⑷ ∣∣+∣∣ ⑸ ×+×
⑹ 4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）
22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：
参：
一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D
二：11、 13、0；0， 17、9
，π-3 12、3， ；0，1 14、
15、答案不唯一 如：
16、5
18、-15 19、2 20、1，
三： 21、⑴
22、
⑵-17 ⑶-9 ⑷2 ⑸-36 ⑹37.9
B组（提高）
一、选择题： 1．
的算术平方根是 （ ）
D．
A．0.14 B．0.014 C． 2．
的平方根是 （ ）
A．－6 B．36 C．±6 D．± 3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②
；③
的立方根是2；④
，
其中正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在下列各式中，正确的是 （ ） A．
; B．
; C．
; D．
5．下列说法正确的是 （ ）
A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．
6．下列说法错误的是 （ ） A．
7．若 A．
B．
，且
，则
的值为 （ ）
B．
C．2的平方根是
D．
是分数
C． D．
8．下列结论中正确的是 （ ）
A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; B．数轴上任一点都表示唯一的无理数; C. 两个无理数之和一定是无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9．-27 的立方根与
的平方根之和是 （ ）
A．0 B．6 C．0或-6 D．-12或6
10．下列计算结果正确的是 （ ） A．
二．填空题:
B．
C．
D．
11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、
⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有 __________；无理数的有__________.（填序号）
12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________. 14.
的相反数是__________；绝对值等于
的数是__________．
15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题： 16．计算或化简： (1)
(2)
(3)
(4)
17．已知
(5) (6)
，且x是正数，求代数式的值。
18．观察右图，每个小正方形的边长均为1， ⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？ ⑵估计边长的值在哪两个整数之间。 ⑶把边长在数轴上表示出来。
参：
一、选择题：
1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B
二．填空题:
11、①②⑤⑥⑧；③④⑦. 12、
三、解答题： 16、计算或化简：
；0.6. 13、；. 14、； ． 15、3.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
17、解： 25x2=144 又∵x是正数 ∴x=
∴
18、解：①图中阴影部分的面积17，边长是 ②边长的值在4与5之间
③