积分上限的函数及其导数的研究与应用

专题研究　§蠊　ＺＨＵＡＮＴＩ　ＹＡＮＪＩＵ　￥　Ｂ１０９　１　肇碡　＿　悖　积分上限硇函数及其导数的研究与应用　◎张云霞　（中国计量学院现代科技学院基础部　３１００１８）　【摘要】积分上限的函数在高等数学中是非常重要的一个　概念，本文通过推导给出了几类积分上限的函数的导数公式．　３．积分　限是　的函数的函数的导数　【关键词】积分上限的函数及其导数　在高等数学积分的学习中，积分上限的函数是学生无　法避开的一个概念．在积分基本公式牛顿一莱布尼茨公式　我们冉来考虑『Ｊ　（　）　￡）ｄ￡］Ｊ　　＝？　Ｌ　由于ｆＪ　ｆ（￡）ｄｔ＝一Ｉ　（　）　　ｆ（ｔ）ｄｔ，由公式（１）我们即　可得　的推导中，积分上限的函数的导数的作用是举足轻重的．但　对于积分上限是　的函数的函数的导数，相当一部分学生　不能理解，本文通过几个简单公式的推导和几个例子，让学　生能够快速地掌握这一个知识点．　１．积分上限的函数定义及其导数　＿厂（ｔ）在［ａ，ｂ］上连续，设　为［ａ，ｂ］上任一点，现在来考　［　八　）ｄ　］　：［一Ｉ　）ｄｔ］　：一厂＿（砂（　））　（　）．　（２）　即住求积分下限是　的函数的导数时，只需把积分下　限代到被积函数中再乘以积分上限的导数再加负号即可．　椤４　３［Ｊ＝　ｅ　ｄ　】　＝一ｅ　｜１　（ｓｉｎ　）　＝ｃ。ｓ　ｅ　ｓ　ｉｎ２ｘ．　４．积分上限、下限部是　的函数的函数的导数　有了公式（１）和（２），我们可以得　察，（　）在部分区间［。，　］上的定积分Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ．首先，ｍ于　＿厂（ｔ）在［ａ，　］上仍然连续，因此这个定积分存在，如果上限　在区间［ａ，６］上变动，则对于每一个取定的　值，定积分有　个对应的值，它在［ａ，ｂ］上定义了一个函数，记作　（　）．　［　‘　’ｌ，（ｚ　ａｔ］　＝［ｒ‘　／ｃ　ｔ　ａｔ＋　ｆ（ｔ，ｄ　］　：　／　（　））　（　）一／＜ｌ　（　））　（　）．　我们称　（　）＝ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ为积分上限的函数，现在来考虑　（　）＝Ｊ＿厂（ｔ）ｄｔ是否可导？如果可导，导数是什么？　即［　’＿厂（　）ｄｚ］　＝，（　（　））　（　）一八　（　））　（　）．　（３）　函数　（　）是否可导取决于ｌｉ　一　△　尘挈＿二　一　是否　即积分上、下限都是　的函数时，水导时只需把积分上　限代到被积函数乘以积分上限的导数减去积分下限代到被　积函数乘以积分下限的导数即可．　存在，若此极限存在，则此极限就是　（　）的导数．　由于　（　＋Ａｘ）一　（　）＝Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ—Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ＝　［　叶　ｃ￣］／Ｘ）＇－ｅｘ４（ｘ２）＇＝　ｅ　．　＿厂（￡）ｄｔ　』　￡）ｄｔ—Ｊｎ厂＿（￡）ｄｔ　』　，（￡）ｄｔ，再由积分　中值定理得：　（Ｘ＋　）一　（　）＝＿厂（　）△　（其中　位于　和　＋Ａｘ之间）．　有了以上几个公式及推导过程，学生觉得这部分知识　很容易理解和掌握．　在上面讨论的基础上，再来看一下其他含有积分上限　数的题目．　故ｌｉｍ　Ａｘｅ０　△　：１ｉ　Ａｘｅ０　△　：Ｉｉ　Ａ　＿．０　）：　）．　Ｉ　ｅ　ｄｔ　例５求极限ｌｉｍ　—　一．　所以　（　）可导，且　（　）：厂（　），即ｌ　Ｉ，（ｔ）ｄｔＩ　：＿厂（　）．　即在求积分上限的函数的导数时，只需把积分上限代　到被积函数中去即可．　分析由于　一０时，ｃ０ｓ　一１，分子Ｊ　ｅ　ｄｔ一－，０，而分　母　一＋０，故本题目可以采用洛必达法则去计算．　例１『Ｘ　ｅ　ｄｔ１，：ｅ　．　２．积分上限是　的函数的函数的导数　现在，我们来看一下如果ｆ（ｔ）的原函数是Ｆ（ｔ），即　解　ｉ　例６　求』　ｅ　ｄｔ的导数．　分析：去．　（　）　１　，　（　）－－ｆ（￡），ｌ　Ｊ　厂（ｆ）ｄｔｌ　：？　由牛顿一莱布尼茨公式得　ｐ（　）　此题中既含有　，又含有ｔ，是学生易错题目，但　Ｊ　，（ｆ）ｄｔ＝［Ｆ（　）］：‘　＝Ｆ（　（　））一Ｆ（ｎ）．　是积分变量为　，Ｉ　ｅ　ｄｔ中　可以作为系数可以提到积分　符号外面．　ｅ　ｄ　＋　解（ｆ　ｅｆ　ｄ￡）　＝（　ｆ　ｅｔ２ｄ　）　＝（　）　ｆＪＪｏ　Ｊｏ　ｏ　ｘ求导，得：ｌ　ｆ　Ｆ　（　（　））　（　）＝　￡）ｄｔｌ　＝［Ｆ（　（　））一Ｆ（。）］　＝　（　））　（　）．　２（　ｄ￡），：２　ｄｔ＋ｘ２ｅｘ２　即有ｌ　Ｊ　，（￡）ｄｔｌ　：，（　（　））　（　）成立．　限代到被积函数中再乘以积分上限的导数即可．　ｅ（１）　【参考文献】　［１］同济大学数学系．（高等数学）第六版．北京：高等教育　出版社．　即在求积分上限是　的函数的导数时，只需把积分上　【２ｄｚ卜ｅ　（　＝　，　［２］赵树螈．微积分（第三版）．北京：人民大学出版社．　毁学学习与研究