b
正弦定理练习题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.3 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
11
A．1 B.2 C．2 D.4 cos Ab
6．在△ABC中，若cos B＝a，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
b
b
33333A.2 B.4 C.2或3 D.4或2 8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2 C.3 D.2 9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，
π
c＝3，C＝3，则A＝________.
43
10．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，A＝30°，则sinB＝________. 11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________． 13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则
a＋b＋c
＝________，c＝________.
sinA＋sinB＋sinC
1
14．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝3，S△ABC＝43，则b＝________.
15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，CC12Asin2cos2＝4，sin Bsin C＝cos2，求A、B及b、c.
16．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．
b
b
余弦定理练习题
1
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝3，那么AC等于( )
A．6 B．26 C．36 D．46 2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )
A.3 B.2 C.5 D．2 3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．150° 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为( )
πππ5ππ2πA.6 B.3 C.6或6 D.3或3 5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( )
A．a B．b C．c D．以上均不对 →|＝4，→|＝1，6．已知锐角三角形ABC中，|AB|AC△ABC的面积为3，
→·→的值为( ) 则ABAC
A．2 B．－2 C．4 D．－4 7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )
A.3 B．23 C.3或23 D．2
b
b
8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
9．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．
10．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
1
11．在△ABC中，a＝32，cos C＝3，S△ABC＝43，则b＝________. a2＋b2－c212．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，4则角C＝________.
13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
14．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；
π
(2)求sin(2A－4)的值．
b
b
正弦定理
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
abasinB
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.
sinAsinBsinA
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3
asinB
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝46.
sinA
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
abbsinA2
解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B
sinAsinBa2
＝45°.
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
11
A．1 B. C．2 D. 24
bc2×sin 30°
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.
sinBsinCsin45°
cos Ab
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
bsin Bcos Asin B
解析：选D.∵＝，∴＝，
asin Acos Bsin A
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
π
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝. 2
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
33A. B. 24333C.或3 D.或 242
ABAC3
解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，
sinCsinB2
∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.
b
b
1
再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．
2
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2 C.3 D.2
62
解析：选D.由正弦定理得＝，
sin120°sinC
1
∴sinC＝. 2
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°， △ABC为等腰三角形，a＝c＝2.
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A
3
＝________.
ac
解析：由正弦定理得：＝，
sinAsinC
a·sinC1
所以sinA＝＝.
c2
ππ
又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝. 36
π答案： 6
43
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
3ab
解析：由正弦定理得＝
sinAsinB14×2bsinA3
⇒sinB＝＝＝. a432
3
3
答案：
2
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
ab12×sin30°由＝得，a＝＝43， sinAsinBsin120°∴a＋c＝83. 答案：83
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB， 代入式子a＝2bcosC，得 2RsinA＝2·2R·sinB·cosC， 所以sinA＝2sinB·cosC， 即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，
b
b
化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°， ∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形
a＋b＋c
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则＝________，
sinA＋sinB＋sinC
c＝________.
a＋b＋ca6311
解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴
22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°×12×sin60°×c＝183，
∴c＝6.
答案：12 6
1
14．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.
3
221
解析：依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝43，
32
解得b＝23. 答案：23
CC1
15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，sin Bsin
224
A
C＝cos2，求A、B及b、c.
2
CC11
解：由sincos＝，得sinC＝，
2242
π5π
又C∈(0，π)，所以C＝或C＝. 66A
由sin Bsin C＝cos2，得
21
sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，
2
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
π5π
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，
66
2π
A＝π－(B＋C)＝. 3abc
由正弦定理＝＝，得
sin Asin Bsin C
12sin B
b＝c＝a＝23×＝2.
sin A3
2
b
b
2ππ
故A＝，B＝，b＝c＝2.
36253105102＝×－×＝.
5105102
π
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝. 4
3π2
(2)由(1)知，C＝，∴sin C＝.
42abc
由正弦定理：＝＝得
sin Asin Bsin C
5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.
∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a＝2，c＝5.
16．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．
11
解：由S＝absin C得，153＝×603×sin C，
221
∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.
2
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C. 当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
ab
又∵ab＝603，＝，∴b＝215.
sin Asin B
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)． 故边b的长为215.
余弦定理
1
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )
3
A．6 B．26 C．36 D．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB
1
＝ 42＋62－2×4×6×＝6.
3
2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( ) A.3 B.2 C.5 D．2
22
解析：选B.由余弦定理，得c＝a＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c＝2.
3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150°
b
b
b2＋c2－a2－3bc3
解析：选D.cos∠A＝＝＝－，
2bc2bc2
∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为( )
ππA. B. 63π5ππ2πC.或 D.或 6633
222
解析：选D.由(a＋c－b)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得
a2＋c2－b2313cosBcosB＝＝·＝·. 2ac2tanB2sinBπ3π2π
显然∠B≠，∴sinB＝.∴∠B＝或. 2233
5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对
22222a＋c－bb＋c－a22c2
解析：选C.a·＋b·＝＝c.
2ac2bc2c
→→→→
6．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
1→→
解析：选A.S△ABC＝3＝|AB|·|AC|·sinA
2
1＝×4×1×sinA， 2
3
∴sinA＝，又∵△ABC为锐角三角形，
21
∴cosA＝，
2
1→→
∴AB·AC＝4×1×＝2.
2
7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A.3 B．23 C.3或23 D．2
解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－33a， ∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或23.
8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
π
解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.
3
在△ABD中，
AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB
b
b
11＋4－2×1×2×＝3.
2
答案：3
9．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．
13
解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°.
221
∴cosC＝±，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，
2
∴c2＝21或61，∴c＝21或61. 答案：21或61 10．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________. 解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，
a2＋c2－b2k2＋k2－k211
cos B＝＝＝，
2ac2×2k×4k16
71
同理可得：cos A＝，cos C＝－，
84
∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)
1
11．在△ABC中，a＝32，cos C＝，S△ABC＝43，则b＝________.
3
122
解析：∵cos C＝，∴sin C＝.
331
又S△ABC＝absinC＝43，
2
122即·b·32·＝43， 23∴b＝23. 答案：23
a2＋b2－c2
12．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.
4
a2＋b2－c2a2＋b2－c2ab1
解析：absinC＝S＝＝·
242ab21
＝abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°. 2
答案：45°
13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，
11
∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.
22
又∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，
＝
b
b
∴a＋b＝23，ab＝2. ∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC
1
＝a2＋b2－2ab(－)
2
22
＝a＋b＋ab＝(a＋b)2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB＝10. 14．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.
(1)求AB的值；
π
(2)求sin(2A－)的值．
4
ABBC
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
sin Csin A
sinC
得AB＝BC＝2BC＝25.
sinA
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＋AC2－BC225
cos A＝＝，
2AB·AC5
5
于是sin A＝1－cos2A＝. 54
从而sin 2A＝2sin Acos A＝，
53πππ2
cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝. 所以sin(2A－)＝sin 2Acos－cos 2Asin＝. 544410
b