数学试卷
（考试时间为120分钟，满分为120分） 班级______学号_______ 姓名 分数_________
一、选择题（每小题3分，共30分）. 1. 抛物线yx12的对称轴为（ ）.
A．直线x1 B．直线x1 C．直线x2 D．直线x2 2. 己知反比例数y点是（ ）.
A.（2，－1） B.（1，－2） C.（2，
11） D.（4，） 22k的图象过点（2，1），下列各点也在反比例函数图象上的x23．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则OC的长为（ ）. A．2
AOC B． 3 C．4 D．5
OBBDAC 第3题图 第5题图
4. 把二次函数y3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到 的图象对应的二次函数解析式为（ ）.
A.y3x221 B.y3x221 C.y3x221 D.y3x221 5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ABC＝35°，则∠AOC的度数为（ ）. A．20° B．40° C．60° D．70°
6. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象可能为下列中的（ y ）.
y y y O x O x O x O x A. B. C. D. 1
7. 如图，P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为A， 若△PAO的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）. A.y
EBDOFC4488 B.y C.y D.y xxxxA 第7题图 第8题图 第10题图
8． 二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）. A. a＞0 B. 不等式ax2bxc0的解集是﹣1＜x＜5 C. abc0 D. 当x＞2时，y随x的增大而增大
19. 若抛物线yx24x3t（t为实数）在0x3的范围内与x轴有公共点，
2则t的取值范围为（ ）.
A. 1t3 B. 1t3 C.
5t3 D. t1 410. 如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一动点，以AD 为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长 为（ ）. A. 22 B.
423 6 C. 1.5 D. 33二、填空题（每空4分，共24分）. 11. 已知双曲线y
3
，如果A(1,b1)，B(2,b2)两点在该双曲线上， x
那么b1 b2．(比较大小)
12. 将抛物线y＝x2＋1绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式 为 .
2
13．二次函数yax2bxc的部分对应值如下表：
x y … … －2 5 －1 0 0 －3 1 －4 2 －3 3 0 … … 当函数值y0时，x的取值范围是 .
CDBAOAFCEDEB 第14题图 第15题图
14. 已知：如图，⊙O是△ABC 的内切圆，分别切BC、AB、AC、于点D、E、F，△ABC的周长为24cm，BC=10cm，则AE= cm. 15. 已知：如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D， 已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 cm.
16. 已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于(1，0)和(x1，0)，其中与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①b0；②acb2；③ab；2x11，
④ac2a．其中正确结论的序号是 ． 三、解答题（本题共18分，每题6分）
17. 若二次函数yax2bx3的图象经过A（1，0）、B（2，－1）两点，求此二次函数的解析式.
18. 已知：如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数ym的图象交于A(－1，2)、B(2，n)两点． xm时xxAy14（1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当kx+b≥的取值范围．
3 OBx
19. 已知抛物线y1x22(m2)xm2与x轴交于A，B两点（点A在点B左 侧），对称轴为直线x=－1．
（1）m的值为 ；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x y „ „ „ „ （2）若直线y2kxb过点B且与抛物线交于点P（－2，－3），根据图象
y21直接写出当x取什么值时，y2≤y1．
–4–3–2–1–1–2–3–4o12x四、解答题（本题共22分，第20题7分，第21题7分，第22题8分） 20. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平 行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．
OD
C
AB21. 如图，PB切⊙O于点B，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线 BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC、AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AD∶FD=1∶2，求⊙O的半径r的长．
A
CBFODEP 4
22. 已知二次函数y = x2 – kx + k – 1（k＞2）.
（1）求证：抛物线y = x2 – kx + k – 1（k＞2）与x轴必有两个交点； （2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若tanOAC3，求此抛物线的解析式；
（3）以（2）中的抛物线上一点P（m，n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m分别取何值时，x轴与⊙P相离、相切、相交.
五、解答题（本题共26分，第23题10分，第24题7分，第25题9分） 23. 对于二次函数yx23x2和一次函数y2x4，
把yt(x23x2)(1t)(2x4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E. 现有点A（2，0）和抛物线E上的点 B（－1，n），请完成下列任务： 【尝试】
（1）当t=2时，抛物线yt(x23x2)(1t)(2x4)的顶点坐标为 ； （2）点A （填在或不在）在抛物线E上； （3）n的值为 .
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 .
【应用】二次函数y3x25x2是二次函数yx23x2和一次函数
–2–1y4321O–1–21234xy2x4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.
5
24. 如图，△ABC外接圆⊙O半径为r，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E， AD、BE交于点K，AK=r. 求∠BAC的度数.
25. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、 B（0，1）、C（d，2）.
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′ 正好落在某反比例函数图象上. 请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析 式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G. 问是否存在x轴上的点M和反 比例函数图象上的点P，使得以P、G、M、C为顶点的四边形是平行四边形. 如 果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
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AEOKBDC
数学答案
（考试时间为120分钟，满分为120分）
班级______学号_______ 姓名 分数_________
一、选择题（每小题3分，共30分）. 1. 抛物线yx12的对称轴为（ A ）.
A．直线x1 B．直线x1 C．直线x2 D．直线x2 2. 己知反比例数y点是（ D ）.
A.（2，－1） B.（1，－2） C.（2，
11） D.（4，） 22k的图象过点（2，1），下列各点也在反比例函数图象上的x23．如图，已知⊙O的半径OA的长为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C,则OC的长为（ B ）. A．2
ACO B． 3 C．4 D．5
OBB
DAC 第3题图 第5题图
4. 把二次函数y3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 所得到的图象对应的二次函数解析式为（ D ）.
A.y3x221 B.y3x221 C.y3x221 D.y3x221 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，则∠AOC的度数为（ D ）. A．20° B．40° C．60° D．70°
6. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ B ）.
y y y y O x O x O x O x A. B. 7
C. D.
7. 如图，P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为A， 若△PAO的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ B ）. A.y
EBDOFC4488 B.y C.y D.y xxxxA 第7题图 第8题图 第10题图
8． 二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ B ）. A. a＞0 B. 不等式ax2bxc0的解集是﹣1＜x＜5 C. abc0 D. 当x＞2时，y随x的增大而增大
19. 若抛物线yx24x3t（t为实数）在0 A. 1t3 B. 1t3 C. 5t3 D. t1 410. 如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一动点，以AD 为直径作⊙O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长 为（ B ）. A. 22 B. 423 6 C. 1.5 D. 33二、填空题（每空4分，共24分）. 11. 已知双曲线y 3 ，如果A(1,b1)，B(2,b2)两点在该双曲线上， x 那么b1 > b2．(比较大小) 12. 将抛物线y＝x2＋1绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式 为 y＝-x2-1 . 8 13．二次函数yax2bxc的部分对应值如下表： x y … … －2 5 －1 0 0 －3 1 －4 2 －3 3 0 … … 当函数值y0时，x的取值范围是 1x3 . CDBAOAFCEDEB 第14题图 第15题图 14. 已知：如图，⊙O是 2 cm. ABC的周长为24cm,BC10cm,则AE15. 已知：如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D， 已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 213 cm. 16. 已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于(1，0)和(x1，0)，其中 2x11，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①b0；②acb2；③ab；④ac2a．其中所有正确结论的序号是___②④ ____． 三、解答题（本题共18分，每题6分）. 17. 若二次函数yax2bx3的图象经过A（1，0）、B（2，－1）两点，求此二次函数的解析式. 解： 二次函数yaxbxc的图象经过B（1，0）、C（2，－1）两点， ∴ 2140ab3,………………………3分 14a2b3.a1,…………………………………5分 b4.2 解得 ∴二次函数的解析式为 yx4x3. …………6分 9 18. 已知：如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数ym的图象交于A(-1,2)、B(2,n)两点． xAy（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，当kx+b≥的取值范围． 解：（1）∵A（－1，2）在ym上， xOxBm时，直接写出xx ∴m2． ∴反比例函数的解析式是y2． 1分 x∵点B（2，n）在y2上， x∴n21，即B（2，－1）． ………2分 2 ∵A（－1，2）， B（2，－1）在ykxb上， kb2k1 ∴， 解得． 2kb1b1 ∴一次函数的解析式是yx1． 4分 （2）由函数图象可知，x的范围为x≤－1或0＜x≤2． 6分 19. 已知抛物线y1x22(m2)xm2与x轴交于A，B（点A在点B左侧） 两点，且对称轴为x=－1． （1）m的值为 ；并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； （2）若直线y2kxb过点B且与抛物线交于点P（－2，－3），根据图象回答当x取什么值时，y2≤y1． 解：（1）由题意得 b1. 2a10 2(m2)1， 2∴ m1.…………………1分 2∴抛物线解析式为：y1x2x3. 令y1=0，即x22x30， 解得 x13,x21. 即:∴ 点A（－3，0），点B（1，0） ∴ 抛物线的顶点坐标为（－1，－4）. 画出函数图象……………………4分. （3）由图象可知，当x≤－2或x≥1时，y2≤y1．. ……6分 四、解答题（本题共22分，20、21每题7分，22题8分）. 20. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平 行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数． 解： ∵ 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴ ∠B+∠D=180°． ………………..2分 ∵ 四边形OABC为平行四边形， ∴ ∠AOC=∠B． ………………..3分 又由题意可知 ∠AOC=2∠D． ∴ 可求 ∠D=60°． ………………..4分 连结OD，可得AO=OD，CO=OD． ∴ ∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC． ………………..6分 ∴ ∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°．………………..7分 21. 如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线 BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）若BC＝6，AD∶FD=1∶2，求⊙O的半径的长． 解：（1）证明：如图，连接OB ． ∵ PB是⊙O的切线， 11 ∴ ∠PBO＝90°． ∵ OA＝OB，BA⊥PO于D， ∴ AD＝BD，∠POA＝∠POB． 又∵ PO＝PO， ∴ △PAO≌△PBO． ∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°． ∴ 直线PA为⊙O的切线． 3分 （2）∵ OA＝OC，AD＝BD，BC＝6， ∴ OD＝ 1BC＝3． 2设AD＝x． ∵AD∶FD=1∶2， ∴ FD＝2x，OA＝OF＝2x－3． 在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得(2x－3)2＝x2＋32． 解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）． ∴ AD＝4，OA＝2x－3＝5． 即⊙O的半径的长5． 7分 22. 已知二次函数y = x2 – kx + k – 1（ k＞2）. （1）求证：抛物线y = x2 – kx + k - 1（ k＞2）与x轴必有两个交点； （2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,若tanOAC3，求抛物线的表达式； （3）以（2）中的抛物线上一点P（m,n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m取何值时，x轴与⊙P相离、相切、相交. （1）证明：∵k41k1k2，… 1分 又∵k2， ∴k20. ∴(k2)20即0. –2–122y4321O–1–21234x∴抛物线y = x2 – kx + k - 1与x轴必有两个交点. 2分 (2) 解：∵抛物线y = x2 – kx + k - 1与x轴交于A、B两点， 12 ∴令y0，有x2kxk10. 解得：xk1或x1. ………3分 ∵k2，点A在点B的左侧， ∴A1,0,Bk1,0. ∵抛物线与y轴交于点C, ∴C0,k1. ………… 4分 ∵在RtAOC中, tanOAC3, ∴tanOACOCk13, 解得k4. OA1∴抛物线的表达式为yx24x3. ……… 5分 （3）解：当m22或m22时，x轴与P相离. 6分 当m22或m2或m22时，x轴与P相切. 7分 当22m2或2m22时，x轴与P相交. … 8分 五、解答题（本题共27分，23题10分，24题7分，25题9分）. 23. 对于二次函数yx23x2和一次函数y2x4，把 yt(x23x2)(1t)(2x4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A（2，0）和抛物线E上的点 B（－1，n），请完成下列任务： 【尝试】 （1）当t=2时，抛物线yt(x23x2)(1t)(2x4)的顶点坐标为 . （2）点A （填在或不在）在抛物线E上； （3）n的值为 . 【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 . 【应用】二次函数y3x25x2是二次函数yx23x2和一次函数 13 y2x4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由； 解：（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2， ∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）；. ………2分 （2）点A在抛物线E上，理由如下： ∵将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0， ∴点A（2，0）在抛物线E上．. ………4分 ∵点B（-1，0）在抛物线E上， ∴将x=-1代入抛物线E的解析式中， 得：n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．……6分 （3）∵将抛物线E的解析式展开，得： y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4 ∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）；……8分 （4）不是． ∵将x=-1代入y=-3x2+5x+2，得y=-6≠6， ∴二次函数y=-3x2+5x+2的图象不经过点B． ∴二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”． ……10分 24. 如图，△ABC外接圆⊙O半径为r，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D，BE、AD交于点K，AK=r.求∠BAC的度数. 14 AEOK 法① 法② 法③ 法④ 25. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、 B（0，1）、C（d，2）. BFAABHKDOAAFEEKCOBDHCEOKDCBDKEOCF 15 （1）求d的值； （2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′ 正好落在某反比例函数图像上.请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式； （3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反 比例函数图像上的点P，使得以P、G、M、C为顶点的四边形是平行四边形.如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：（1）作CN⊥x轴于点N 在Rt△CNA和Rt△AOB中 ∵NC＝OA＝2，AC＝AB ∴Rt△CNA≌Rt△AOB 1分 则AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且点C在第二象限， ∴d＝－3 2分 k（2）设反比例函数为y，点C′和B′在该比例函数图像上， x设C′（E，2），则B′（E＋3，1） 3分 k把点C′和Ｂ′的坐标分别代入y，得k＝2E；k＝E＋3， x6 ∴2E＝E＋3，E＝3，则k＝6，反比例函数解析式为y. 4分 x 得点C′（3，2）；B′（6，1） 设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入 3ab2得5分 6ab1 1a∴解之得：3； b31∴直线C′B′的解析式为yx3 3 16 6分 （3）M1(21,0),M2(3,0),M3(3,0) 9分 5 17
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