一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集U=，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表
示的集合为（ ）
A. {-2，-1，0，1} B. {0} C. {-1，0} D. {-1，0，1} 2. 如果复数（1-ai）的实部和虚部互为相反数，那么a等于（ ）
A. - B. -1 C. D. 1
3. 若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）
A. 6500元 B. 7000元 C. 7500元 D. 8000元
4. 直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A. 0＜m＜1 B. -4＜m＜2 C. m＜1 D. -3＜m＜1
5. 已知直线l1：x•sinα+y-1=0，直线l2：x-3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（ ）
A. B.
C.
D.
6. 一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2
的区域内的概率为（ ）
A. 1-
B. C.
D.
7. 已知函数g（x）=f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=log2x
的图象关于y=x对称，则g（-1）+g（-2）=（ ） A. -7 B. -9 C. -11 D. -13 8. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）
=sin3x的图象，只需将f（x）的图象（ ）
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A. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位
9. 已知0＜a＜b＜1，则ab，logba，
B. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
的关系是（ ）
A. ＜ab＜logba
＜ab
B. D. ab＜
＜logba＜ab
＜logba
C. logba＜
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. 20π
11. 已知直线
与圆则椭圆
B. 16π
与椭圆
C. 12
D. 8
B两点,交于A，
交于C，D两点若存在
的离心率的取值范围是( )
,使得,
A.
12. 若函数
数
B.
在区间A上,对
,b,
,
C.
,
,
D.
为一个三角形的三边长,则称函在区间
上是“三角形函
为“三角形函数”已知函数
数”,则实数m的取值范围为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48
的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．
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m）14. 已知向量=（1，），=（3，，且在上的投影为3，则向量与夹角为______． 15. 设变量x，y满足约束条件
是______．
16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
a=2
，cosA=，则△ABC的面积为______．
=
，C是锐角，且
，目标函数z=3x-2y的最小值为-4，则a的值
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 设数列{an}的前n项之和为Sn=
-，数列{bn}满足bn=
+32n-1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}前n项之和Tn．
18. 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
19. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D
（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i=1，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．
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1.04×10-145.-11.1.56×10-21 0.51 17 5 表中Wi=lgIi，
．
6.88×10-11 5.1 （1）根据散点图判断，D=a1+b1I与D=a2+b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声
音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且
．已知点P
的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，vn），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
．
20. 如图所示，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F垂直于x轴的直线
与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设M，N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足kOM•kON=kOA•kOB，求△OMN面积的取值范围．
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21. 已知函数f（x）=ax2-x-lnx，（a∈R，lnx≤x-1）．
（1）若
时，求函数f（x）的最小值；
（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点； （3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
）（t为参数，0≤α
＜π），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的坐标为（1，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，求值．
的
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：【分析】
本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础． 由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（UB），然后根据集合的基本运算求解即可. 【解答】
解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（UB）， ∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，A={-2，-1，0，1，2}， ∴UB={x|-2＜x＜2}，
即A∩（UB）={-1，0，1}， 故选：D．
2.答案：B
解析：【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部互为相反数求解a值． 【解答】 解：∵（1-ai）=∴
的实部和虚部互为相反数，
，即a=-1．
故选B． 3.答案：D
解析：【分析】
本题考查该教师目前的月退休金的求法，考查条形图和折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，能求出结果． 【解答】
解：设目前该教师的退休金为x元，
15%-x×10%=100． 则由题意得：6000×
解得x=8000． 故选D． 4.答案：A
解析：解：圆方程整理得：（x-1）2+y2=2， ∴圆心（1，0），半径r=，
∵直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点， ∴直线与圆相交，即d＜r， ∴
＜
，即|m+1|＜2，
解得：-3＜m＜1，
则直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1， 故选：A．
把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆有两个不同交点得
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到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d小于半径r，求出m的范围，即可作出判断． 此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交． 5.答案：D
解析：【分析】
本题考查了两直线的垂直条件，以及二倍角公式，属于基础题；
根据两直线垂直的条件，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出． 【解答】
解：因为l1⊥l2，所以sinα-3cosα=0， 所以tanα=3， 所以sin2α=2sinαcosα=
=
=．
故选D． 6.答案：A
解析： ↵【分析】
本题考查几何概型的应用，考查运算求解能力，数型结合思想，是基础题.
先求出总的三角形的面积，再求出它至少离一个顶点距离小于等于2的区域的面积，根据几何概型即可得到所求概率.
【解答】
解：满足条件的正三角形ABC如下图所示： 其中正三角形ABC的面积
=×16=4
，
满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个
小于等于2的平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分的面积为：
，
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是： P=1-=1-，
故选：A．
7.答案：C
解析：【分析】
本题考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称，指数函数和对数函数互为反函数，属于中档题.
由x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称，可得出，x＞0时，f（x）=2x，g（x）=2x+x2，再根据g（x）是奇函数即可求出g（-1）+g（-2）的值． 【解答】
解：∵x＞0时，f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称； ∴x＞0时，f（x）=2x；
∴x＞0时，g（x）=2x+x2，又g（x）是奇函数；
∴g（-1）+g（-2）=-[g（1）+g（2）]=-（2+1+4+4）=-11． 故选：C．
8.答案：B
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解析：【分析】
本题主要考查了三角函数的函数图象，根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．
根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度． 【解答】
解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3， 又函数的图象的与x轴交于点（，0），根据图象， ∴3×+φ=π，
于是φ=，则f（x）=sin（3x+）， 故g（x）=sin3x=sin[3（x-）+]， ∴函数的图象要向右平移个单位， 故选：B． 9.答案：A
解析：【分析】
本题考查对数的运算性质，对数值大小的比较，特殊值法比较大小，是基础题． 由题意不妨a，b取特殊值，求出ab，logba，【解答】
解：0＜a＜b＜1，不妨取a=，b=， ab=，logba=2，显然
=
=-，
的值，得到答案．
＜ab＜logba，
故选：A． 10.答案：A
解析：解：根据几何体的三视图，转换为几何体如图：
该几何体是底面为边长为2的正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥， 补形该几何体为长方体，过一个顶点的三条棱长分别为2,2，， 故几何体的外接球半径R满足：4R2=4+4+12=20， 解得：， 故：S=4， 故选：A．
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首先把三视图转换为几何体，进一步利用球的表面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 11.答案：C
解析：【分析】
本题考查椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
求得直线恒过定点（2，1），即为圆心，CD为直径，由=，可得AB的中点为（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围． 【解答】
解：直线l：kx-y-2k+1=0，即为k（x-2）+1-y=0， 可得直线恒过定点（2，1），
圆C2：（x-2）2+（y-1）2=1的圆心为（2，1），半径为1，且C，D为直径的端点， 由=，可得AB的中点为（2，1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则+=1，+=1， 两式相减可得
由x1+x2=4．y1+y2=2， 可得k=
=-，
+
=0，
由-2≤k≤-1， 即有≤≤1， 则椭圆的离心率e==故选：C． 12.答案：D
∈（0，]．
解析：【分析】
本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念是解答的关键，属于中档题.
若f（x）为“三角形函数”,则在区间A上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数求出函数的最值，可得实数m的取值范围．
【解答】
解：若f（x）为区域A上的“三角形函数”，则在区间A上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，
∵f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”， ∴f′（x）=lnx+1，
当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
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当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 故当x=时，函数f（x）取最小值-+m， 又由f（e）=e+m，f（）=-+m， 故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m， ∴0＜e+m＜2（-+m）， 解得：m∈故选D． 13.答案：6
，
解析：【分析】
本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键． 求出系统抽样的抽取间隔，即可得出结论． 【解答】
解：系统抽样的抽取间隔为=6， 7=6， 则48-6×
则抽到的最小学号为6， 故答案为：6．
14.答案：
解析：解：∵在方向上的投影为3， 且||=∴||×cosθ=||×解得m=∴||=2∴cosθ=
，
=2，•=3+=
m；
=3；
； =，
由θ∈[0，π]， ∴、的夹角θ为． 故答案为：．
根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值． 本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．
15.答案：-1
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解析：解：作出约束条件所对应的可行域（如图），
目标函数z=3x-2y 可化为y=x-z， 平移直线y=x-z可知， 由
，
解得x=a-1，y=a， ∴A（a-1，a），
当直线经过点A截距取最大值，z最小， ∴3（a-1）-2a=-4， 解得a=-1
故答案为：-1．
作出可行域，变形目标函数并平移直线y=x-z可得结论．
本题考查简单线性规划，准确作图、利用目标函数的几何意义求最值是解决问题的关键，属于中档题． 16.答案：7
解析：解：∵
=
，可得：
=
，可得：
，可得：sin2B=sin2C，
∴B=C，或B+C=， 又∵cosA=， ∴B=C，可得：b=c，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：2b2-∴S△ABC=bcsinA=7
．
=28，可得：b=c=
，
故答案为：7．
由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin2B=sin2C，可得B=C，或B+C=，由cosA=，可得B=C，可得b=c，由余弦定理可得b=c=
，利用三角形的面
积公式即可计算得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
17.答案：解：（Ⅰ）根据题意，数列{an}的前n项之和为Sn=-，
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当n=1时，有a1=S1=-=3， 当n≥2时，有Sn-1=-， 则有an=Sn-Sn-1=（a1=3符合该式， 则an=3n，
（Ⅱ）根据题意，an=3n， bn=
+32n-1=
+32n-1=（
--）+32n-1，
+
-．
-）-（-）=3n，
则Tn=[（1-）+（-）+……+（）]+（3+33+……+32n-1）=
解析：（Ⅰ）根据题意，在Sn=
-中，令n=1可得a1=S1=-=3，当n≥2时，有Sn-1=-，
两式相减分析可得an=Sn-Sn-1=3n，验证即可得答案； （Ⅱ）根据题意，分析可得bn=
+32n-1=
+32n-1=（
-+32n-1，）
由分组求和法分析可得答案．
本题考查函数的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式，属于基础题． 18.答案：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD， ∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED， ∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=， ∵BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形， ∴EG=AC=AG=x， 则BE=
=x，
=
=，
∵三棱锥E-ACD的体积V=解得x=2，即AB=2， ∵∠ABC=120°，
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosABC=4+4-2×
=12，
即AC=，
在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE=EC=ED， ∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形， 则AE2+EC2=AC2=12， 即2AE2=12， ∴AE2=6，
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则AE=，
∴从而得AE=EC=ED=∴△EAC的面积S=
，
=3，
在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F， 则AE=则EF=
，AF=
=，
=
，
，
∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=故该三棱锥的侧面积为3+2
．
解析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．
本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．
19.答案：解：（1）根据散点图判断，模型D=a2+b2lgI更适合； （2）令Wi=lgIi，先建立D关于W的线性回归方程， 由于∴
，
， ；
，
∴D关于W的线性回归方程是即D关于I的回归方程是
（3）点P的声音能量为I=I1+I2， ∵∴
，
=
，
根据（1）中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为
，
∴点P会受到噪声污染的干扰．
解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．
（1）根据散点图中点的分布成非线性形状，判断两变量适合的模型；
（2）令Wi=lgIi，建立D关于W的线性回归方程，再写出D关于I的回归方程； （3）根据点P的声音能量I=I1+I2，根据（1）中的回归方程计算点P的声音强度D的预报值，比较即可得出结论．
20.答案：解：（1）抛物线的焦点坐标为F（，0），∴
由
，得
，∴抛物线C在A处的切线斜率为1，
，
由抛物线C的对称性，知抛物线C在B处的切线卸斜率为-1，
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∴抛物线过A点的切线方程为y-p=x-，令y=0得x=-． ∴
，解得p=2．
∴抛物线C的方程为y2=4x．
（2）kOA=2，kOB=-2，∴kOA•kOB=-4， 设
，则
，
∴y1y2=-4．
令直线MN的方程为x=ty+n， 联立方程组
消去x得：y2-4ty-4n=0，
则y1y2=-4n，y1+y2=4t，
∵y1y2=-4，∴n=1．即直线MN过点（1，0）． ∴
∵t2≥0，∴S△OMN≥2．
综上所示，△OMN面积的取值范围是[2，+∞）．
．
解析：（1）求出A，B坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p；
（2）计算kOA•kOB=-4，设出MN方程，求出MN与x轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|yM-yN|，得出△OMN面积S关于t的函数，解出函数的最值． 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21.答案：解：（1）当
∴
=
时，
．
，
令f′（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， ∴当x=2时，f（x）有最小值证明：（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得∴当a≤0时，
；
=
，
，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点． ∵当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，
，
∴当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点． 综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点；
解：（3）由（2）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点． ∵f（x）有两个零点，∴a＞0． 由f（x）=ax2-x-lnx，得
．
令g（x）=2ax2-x-1，
∵g（0）=-1＜0，2a＞0，∴g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，
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设这个零点为x0，
当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0； 当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0；
∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增． 要使函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点， 只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即∵∴=
=
=
，
．
，
可得2lnx0+x0-1＞0，
又∵h（x）=2lnx+x-1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0， ∴x0＞1，由
， ，得
=
=
，
∴0＜2a＜2，即0＜a＜1．
以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点． 当0＜a＜1时，∴∵
∴函数f（x）在又∵
且f（x0）＜0，f（x）在∴当0＜a＜1时，函数f（x）在
．
=
，且f（x0）＜0， 上有一个零点．
（lnx≤x-1）， 上有一个零点．
内有两个零点． =
，g（1）=2（a-1）＜0，
综上，实数a的取值范围是（0，1）．
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数在求函数最值中的应用，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题． （1）把
代入函数解析式，求其导函数，由导函数的零点把函数定义域分段，再由
导函数在各区间段内的符号求得函数的单调区间，则最小值可求；
（2）由f（x）=ax2-x-lnx，求其导函数，可得当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，则a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．当-1≤a≤0时，由f（1）＜0，f（）＞0，可知函数f（x）在（0，+∞）上有零点； fx）（3）由（2）知，（有两个零点，需a＞0．求出函数的导函数
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．令
g（x）=2ax2-x-1，可知g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设这个零点为x0，可得函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．把函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，转化为函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即
．再由函数
单调性求得0＜a＜1．然后验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点即可．
22.答案：解：（1）曲线C的极坐标方程：
转换为直角坐标方程为：（2）把直线l的参数方程为代入x2+2y2=2，
得到：（2sin2α+cos2α）t2+2cosαt-1=0 所以：所以：
=
，
，
，
．
，
（t为参数，0≤α＜π），
==2
．
，
解析：（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化， （2）利用方程组建立一元二次方程根与系数的关系进行应用．
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．
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