函数的周期性专题

一

知识点精讲

1．周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)(0)是周期函数，且周期为3．几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a0为常数）（1）fxfxa，则yfx的周期Ta．（2）fxafx，则fx的周期T2a．（3）fxa

T||。1

，则fx的周期T2a．fx（4）fxafxa，则fx的周期T2a．1f(x)

，则fx的周期T2a．1f(x)1f(x)

（6）f(xa)，则fx的周期T4a数．1f(x)1f(x)

（7）f(xa)，则fx的周期T4a．1f(x)（8）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0），若f(x)为奇函数，则其周期为T4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T2a．（5）f(xa)

（9）函数yf(x)xR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数．（10）函数yf(x)xR的图象关于两点Aa,y0、Bb,y0ab都对称，则函数（11）函数yf(x)xR的图象关于Aa,y0和直线xbab都对称，则函数f(x)是2ba为周期的周期函数．f(x)是以4ba为周期的周期函数．(12)f(xa)f(x)f(x-a)，则f(x)的周期T6a.二典例解析

)）1．设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=(A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52．若y=f(2x)的图像关于直线x

ab

和x(ba)对称，则f(x)的一个周期为（22A．ab2B．2(ba)

C．ba2D．4(ba)

3．已知f(x)在R上是奇函数满足f(x3)f(x),f(1)2，则f(5)4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(2008)=例5．已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5。①证明：f(1)f(4)0；②求yf(x),x[1,4]的解析式；③求yf(x)在[4,9]上的解析式。9、函数yf(x)定义域为R，且恒满足f(x2)f(2x)和f(6x)f(6x)，当2x6时，f(x)2

1

x，求f(x)解析式。210、已知偶函数yf(x)定义域为R，且恒满足f(x2)f(2x)，若方程f(x)0在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间8,10中的根。附参：T1：1T2：(1,0)T3：x1

11②xT7：CT8：②④421

(x8k)　　　　　(8k2x8k2,kZ)2T9：f(x)

1(x8k)2　　　(8k2x8k6,kZ)24、2、0、2、4、6、8、10共9个根。T10：方程的根为6、T6：①x

T4：y轴即x0T5：①y轴②x1

2.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A．5（）B．4C．3D．24.f(x)是偶函数，且f(0)993,又g(x)f(x1)为奇函数，则f(1992)=6.数列{an}中a11,a25,an2an1an,则a2006

7已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x1)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。8f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008,求

f(2008)的值。

1f(x)

，若f(0)2004，试求f(2005)。1f(x)log2(1x),x0

，则ff(x1)f(x2),x0

9．已知函数f(x)满足f(x1)

（2009山东理）10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=（2009）的值为(A.-1B.0)C.1D.2【解析】:由已知得f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1,f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0,f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.（2009山东理）16.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4_________.

yf(x)=m(m>0)-8-6-4-202468x【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x),所以f(x4)f(x),所以,由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x2对称且f(0)0,由f(x4)f(x)知f(x8)f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4由对称性知x1x212x3x44所以x1x2x3x41248

答案:-8（2009全国一）（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则(D)(A)f(x)是偶函数数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x2)(D)f(x3)是奇函解:f(x1)与f(x1)都是奇函数，f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，函数f(x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f(x)是周期T2[1(1)]4的周期函数.f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函数。故选D专题一知识点精讲：I函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称）若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线x

函数对称性(ax)(bx)ab

对称

22推论1：f(ax)f(ax)yf(x)的图象关于直线xa对称推论2、f(x)f(2ax)推论3、f(x)f(2ax)2、f(ax)f(bx)2c

yf(x)的图象关于直线xa对称yf(x)的图象关于直线xa对称yf(x)的图象关于点(

ab

,c)对称2推论1、f(ax)f(ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)f(2ax)2b

yf(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称II两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、yf(x)与yf(x)图象关于Y轴对称2、yf(x)与yf(x)图象关于原点对称函数3、函数yf(x)与yf(x)图象关于X轴对称4、函数yf(x)与其反函数yf

1

(x)图象关于直线yx对称5.函数yf(ax)与yf(bx)图象关于直线x

ba

对称2推论1:函数yf(ax)与yf(ax)图象关于直线x0对称推论2:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称推论3:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称二典例解析：1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1x)f(1x)，且x(1,0)时,1

,则f(log220)________。5解析：yf(x)关于直线x1对称，f(x)f(2x)，又是f(x)奇函数，f(x)f(x)f(2x)f(x)，故有，f(x)2x

log2541T4,f(log220)f(log2204)f(log2)f(log2)241

4552、已知函数yf(x)满足f(x)f(2x)0，则yf(x)图象关于__________对称。解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知yf(x)图象关于(1,0)对称3、函数yf(x1)与函数yf(1x)的图象关于关于__________对称。解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于x1对称4、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x)的图象关于5__________对称。解析：这是一个函数的对称性，yf(x)的图象关于y轴即x0对称5、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x1)的图象关于__________对称。解析：yf(x)关于直线x1对称，yf(x1)是由yf(x)向左平移一个单位得到的，故yf(x1)的图象关y轴对称6、设yf(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(12x)f(2x)，则yf(x)关于__________对称，yf(2x)图象关于__________对称，。解析：令t2x，则有f(1t)f(t)yf(t)关于直线t

1

即yf(x)关于2111x对称，yf(2x)是由纵坐标不变，横坐标变为原来的，yf(2x)关于x

224对称。7、已知函数yf(x)对一切实数x满足f(2x)f(4x)，且方程f(x)0有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、18解析：yf(x)的图象关于直线x3对称，故五个实根，有两对关于直线x3对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为C

8、设函数yf(x)的定义域为R，则下列命题中，①若yf(x)是偶函数，则yf(x2)图象关于y轴对称；②若yf(x2)是偶函数，则yf(x)图象关于直线x2对称；③若f(x2)f(2x)，则函数yf(x)图象关于直线x2对称；④yf(x2)与yf(2x)图象关于直线x2对称，其中正确命题序号为_______。解析：①错yf(x2)关于直线x2对称，②对③错若f(x2)f(2x)，则函数yf(x)图象关于直线x0对称；④对第十五讲一

知识点精讲：

抽象函数问题1所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。2中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”（函数）1．f(xy)f(x)f(y)——ykx(k为常数）x

2．f(xy)f(x)f(y)——y=a（a0且a1）3．f(xy)f(x)f(y)——ylogax（a0且a1）4．f(xy)f(x)f(y)——yx(n为常数）n

xyxy

)f()或22f(xy)f(xy)2f(x)f(y)y=cosx(常数）f(x)f(y)

6．f(xy)——y=tanx

1f(x)f(y)5．f(x)f(y)2f(

方法：想具体函数的运算法则，代特殊值。二．典例解析

例1．设函数f(x)满足f(x)f(y)2f(

证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期．xyxy)f()，且f()=0，x、y∈R；求222例2．已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＞0，f(-1)=-2，（1）求证f(x)在R上的奇函数。（3）求函数f(x)在区间[-2，1]上的值域。(2)求证f(x)在R上的增函数例3．已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0，f(xy)f(x)f(y)，且当x<0时，（1）当x＞0时，求f(x)的取值范围f(x)＞1（2）判断f(x)在R上的单调性例4．已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，f(xy)f(x)f(y)（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若f(x)+f(x-3)≤1，求x的范围；（4）试证f(x)=nf(x)（n∈N）例5．已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)且x＞1时，f(x)＜1，nf(2)=(1)求证：f(x)＞0；（2）求证：f(x1)[f(x)]1

（3）求证：f(x)在（0，+∞）上为单调减函数（4）若f(m)=9，试求m的值。19

三课堂检测

1

，若f15,则ff5__；fx)D2例2．（2006安徽）函数fx对于任意实数x满足条件fx2

1.(2006山东)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)=(A）-1B0C12.(2007启东质检)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(4)成立，则f(2006)=A．4012()C．2008）D．0B．20063.已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（A.x=1B.x=2C.x=－1

2

D.x=12

4.已知f(x)是偶函数，xR，当x0时，f(x)为增函数，若x10,x20，且|x1||x2|，则Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)

D

f(x1)f(x2)

5.(2006安徽)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)f(f(5))=______1

,若f(1)=－5,则f(x)f2(1)f(2)6．已知函数f(x)满足：f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则f(1)f2(2)f(4)f2(3)f(6)f2(4)f(8)f(3)f(5)f(7)。7已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，求证:（1）f(x)是奇函数；（2）若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.8已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)1，（1）求证：f(x)是偶函数；4(2010重庆)（2）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（3）解不等式f(2x1)2（15）已知函数2

f(x)

满足：f(1)

11,4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x,yR)，则f(2010)__________.42（2009福建理）5.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2（0，），当x1f(x2)的是A．f(x)=1

xB.f(x)=(x1)2C.f(x)=e

x

Df(x)ln(x1)

5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在x(0,)上单调递减，故由选项可得A正确。（2009陕西理）12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2(,0](x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1))0.则当nN时,有(A)f(n)f(n1)f(n1)

*

(B)f(n1)f(n)f(n1)

(C)(C)f(n1)f(n)f(n1)答案：C(D)f(n1)f(n1)f(n)

解析：x1,x2(,0](x1x2)(x2x1)(f(x2)f(x1))0x2x1时，f(x2)f(x1)f(x)在(,0]为增函数f(x)为偶函数f(x)在(0，]为减函数

而n+1>n>n-1>0,f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(n1)

(2009四川理)12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数5

x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f(f())的值是21

A.0B.C.12D.52【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）解析：令x

11111111

，则f()f()f()f()0；令x0，则22222222f(0)0

由xf(x1)(1x)f(x)得f(x1)

x1

f(x)，所以x535353515

f()2f()f()2f()0f(f())f(0)0，故选择A。32232312222（2008陕西理）11．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy（x，yR），f(1)2，则f(3)等于（D．9解：令xy0f(0)0，令xy1f(2)2f(1)26；令x2,y1f(3)f(2)f(1)412，再令x3,y3得）A．2B．3C．60f(33)f(3)f(3)18f(3)18f(3)6

（2007山东理）6给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)

f(x)f(y)

。下列函数中不满足其中任何一个等式的是1f(x)f(y)Af(x)3x

Bf(x)sinx

Cf(x)log2x

Df(x)tanx

【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足f(xy)

f(x)f(y)

，B不满足其中任何一个等式.1f(x)f(y)12（2001广东理）22．(本小题满分14分)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意x1,x2[0,]，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)且f(1)a0．(Ⅰ)求ｆ(),f()；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，所以12141］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,2xxxx

f(x)f()f()f()0,x[0,1]

222211111

f(1)f()f()f()[f()]222222111111f()f()f()f()[f()]2244444ｆ（１）＝ａ＞0，3分1111

∴f()a2,f()a424（2008重庆理）（(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1,则下列说法一定正确的是Af(x)为奇函数Cf(x)1为奇函数Bf(x)为偶函数Df(x)1为偶函数解：令x0，得f(0)2f(0)1，f(0)1，所以f(xx)f(x)f(x)11

f(x)f(x)110,即f(x)1[f(x)1]，所以f(x)1为奇函数,选C(2007安徽理)（11）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为D（A）0（B）1（C）3（D）5定义在R上的函数f(x)是奇函数，f(0)0，又是周期函数，T是它的一个正周期，∴TTTTTT

f(T)f(T)0，f()f()f(T)f()，∴f()f()0，222222则n可能为5，选D。抽象函数问题的“原型”解法

抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如f(x)kx(k0)有f(x1x2)k(x1x2)f(x1)f(x2)可抽象为f(xy)f(x)f(y)。那么y=kx就叫做抽象函数f(x)满足（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心f(xy)f(x)f(y)的“原型”理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。一、中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”（函数）

1、f(xy)f(x)f(y)——ykx(k为常数）x

2、f(xy)f(x)f(y)——y=a（a＞0且a≠1）3、f(xy)f(x)f(y)——ylogax(a＞0且a≠1)4、f(xy)f(x)f(y)——yx(n为常数）5、f(x)f(y)2f(

n

xyxy

)f()或f(xy)f(xy)2f(x)f(y)22－－y=cosx(为常数）f(x)f(y)

6、f(xy)－－y=tanx

1f(x)f(y)二、“原型”解法例析

【例1】设函数f(x)满足f(x)f(y)2f(

∈R；求证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由f(x)f(y)2f(

xyxy)f()，且f()=0，x、y222xyxy)f()22xx2xx2想：cosx1cosx2=2cos1cos122原型：y=cosx，为周期函数且2π为它的一个周期。猜测：f(x)为周期函数，2π为它的一个周期令x1=x+，x2=则f(x)f(x)2f(x∴f(x)f(x)f(x2)f(x)∴f(x)为周期函数且2π是它的一个周期。【例2】已知函数f(x)满足f(x1)

)f()=0221f(x)

，若f(0)2004，试求f(2005)。1f(x)1f(x)

分析与略解：由f(x1)

1f(x)1tanx

想：tan(x+)=41tanx原型：y=tanx为周期函数且周期为4×猜测：f(x)为周期函数且周期为4×1=4=π。41f(x)

1f(x1)11f(x)∵f(x2)f[(x1)1]==-1f(x)1f(x1)f(x)1

1f(x)1

∴f(x4)f[(x2)2]f(x)f(x+4)=f(x)

f(x2)∴f(x)是以4为周期的周期函数1

又∵f(2)=2004∴f(2005)f(20041)∴f(2005)=-1f(2004)1f(0)120042005

===-1f(2004)1f(0)1200420032005

2003【例3】已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＞0，f(-1)=-2，求函数f(x)在区间[-2，1]上的值域。分析与略解：由：f(xy)f(x)f(y)想：k(x+y)=kx+ky

原型：y＝kx（k为常数）为奇函数。k＜0时为减函数，k＞0时为增函数。猜测：f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数，且f(x)在[－2,1]上有f(x)∈[－4,2]设x10∴f(x2－x1)>0∴f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)＞0=f(x2x1)f(x1)f(x1)

=∴f(x2)f(x1),∴f(x)为R上的单调增函数。令x=y=0,则f(0)=0,令y=－x，则f(－x)=－f(x)∴f(x)为R上的奇函数。∴f(-1)=-f(1)=-2∴f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4∴-4≤f(x)≤2(x∈[-2,1])故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4，2]【例4】已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0，f(xy)f(x)f(y)，且当x<0时，f(x)＞1（1）当x＞0时，求f(x)的取值范围（2）判断f(x)在R上的单调性分析与略解：由：f(xy)f(x)f(y)

想：axyaxay

，a0=1≠0。当a＞1时为单调增函数，且x＞原型：y=ax（a＞0,a≠1）0时，y＞1，x＜0时，0＜y＜1；0＜a＜1时为单调减函数，且x＜0时，y＞1，x＞0时，0＜y＜1。猜测：f(x)为减函数，且当x＞0时，0＜f(x)＜1。（1）对于一切x、y∈R，f(xy)f(x)f(y)且f(0)≠0令x=y=0，则f(0)=1，现设x＞0，则-x＜0，∴f(-x)＞11

又f(0)=f(x-x)=f(x)f(x)=1∴f(x)=＞1f(x)∴0＜f(x)＜1（2）设x1f(x1x2)＞1f(x2)f(x2)f(x2)∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为单调减函数【例5】已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，f(xy)f(x)f(y)

（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若f(x)+f(x-3)≤1，求x的范围；（4）试证f(x)=nf(x)（n∈N）分析与略解：由：f(xy)f(x)f(y)

n想：logaxylogaxlogay（x、y∈R+）原型：ylogax（a＞0，a≠0）猜测：f(x)有f(1)=0，f(16)=2，……（1）令x=1，y=4，则f(4)=f(1×4)=f(1)+f(4)∴f(1)=0（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2(3)f(x)+f(x－3)=f［x(x－3)］≤1=f(4)f(x)在（0，+∞）上单调递增x(x3)4

1x4

∴x303x4

x3x0



∴x∈（3，4]（4）∵f(xy)f(x)f(y)∴f(xn)f(xxxx)nf(x)

n个

【例6】已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)且x＞1时，f(x)＜1，f(2)=(1)求证：f(x)＞0；（2）求证：f(x1)[f(x)]1（3）求证：f(x)在（0，+∞）上为单调减函数（4）若f(m)=9，试求m的值。分析与简证：由f(xy)f(x)f(y)，n

想：(x1x2)nx1nx2

19原型：yxn（n为常数（y=x2）猜测：f(x)＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……(1)对任意x＞0，f(x)=f(xx))=[f(x)]≥0假设存在y＞0，使f(y)=0，则对任意x＞02

xx

f(x)=f(f(y)=f()f(y)=0，这与已知矛盾yy故对任意x＞0，均有f(x)＞0（2）∵f(x)f(x1)f(x)f(1)，f(x)＞0,∴f(1)=111

∴f(x)f()=f(·x)=f(1)=1∴f(x1)[f(x)]1

xxxx

(3)x1、x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，则2＞1，∴f(2)＜1，x1x1xx

∴f(x2)f(2x1)f(2)f(x1)f(x1)即f(x2)f(x1)

x1x1

∴f(x)在（0，+∞）上为单调减函数。1

（4）∵f(2)=，f(m)=9∴f(2)f(m)=19∴f(2m)=1=f(1)，而f(x)在(0，+∞)是单调减函数1

∴2m=1即m=2综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质“抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。