高三数学综合模拟试卷(一)

高三数学综合模拟试卷 （一）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分：共150分。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分。在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题意要求的.

1. 已知映射f：AB：其中ABR：对应法则f：xyx2x2，若对实数

2kB：在集合A中不存在原象：则k的取值范围是 （ ） A. k1 B. k1 C. k1 D. k1

32. 1x1x的展开式中x的系数为 （ ）

53A. 6 B. 6 C. 9 D. 9

1a9a113的值为 （ ） 3. 在等差数列{an}中：若a4a6a8a10a12120：则

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

3sin(x)45：则sin2x的值为 （ ） 4. 已知191614A. 25 B. 25 C. 25

7D. 25

5. 设地球的半径为R：若甲地位于北纬45东经120：乙地位于南纬75东经120：则甲、乙两地的球面距离为 （ ）

A.

3R

B. 6R

5R6C. 2R3D.

b、c是常数：则“a0且b24ac0”是“对任意xR：有ax2bxc0”6. 若a、的 （ ）

A. 充分不必要条件. B. 必要不充分条件. C. 充要条件. D. 既不充分也不必要条件.

22xy2008的左、右顶点分别为A1、A2：P为其右支上一点：且7. 双曲线

A1PA24PA1A2：则PA1A2等于 （ ）

A. 无法确定 D. 12

228. 已知直线axby10（a,b不全为0）与圆xy50有公共点：且公共点的

横、纵坐标均为整数：那么这样的直线有 （ ）

A. 66条 B. 72条 C. 74条 D. 7

9. 从8名女生：4名男生中选出6名学生组成课外小组：如果按性别比例分层抽样：则不同的抽取方法种数为 （ ）

42A. C8C4

33B. C8C4

6

C. C12

42D. A8A4

B. 36 C. 18

1i1i22(1i)10. （理科做） (1i) （ ）

A. i

B. i

C. 1

D. 1

（文科做）如图：函数yf(x)的图象是中心在原点：焦点在x轴上的椭圆的两段弧：

则不等式f(x)f(x)x的解集为 （ ）

x|2xB.A.x|2x0,或2x22,或

2x2

22x|2x,或x222 C.D.x|2x2,且x0

11. 用正偶数按下表排列 第一行 第二行 第三行 … 第1列 16 第2列 2 14 18 … 第3列 4 12 20 28 第4列 6 10 22 26 第5列 8 24 则在第 行第 列.

A. 第 251 行第 3 列 C. 第 250 行第 3 列

B. 第 250 行第 4 列 D. 第 251 行第 4 列

12. 半径为4的球面上有A、B、C、D四点：且AB：AC：AD两两互相垂直：则ABC、

ACD、ADB面积之和SABCSACDSADB的最大值为

A. 8

B. 16

（ ）

C. 32 D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题：每小题4分：共16分。把答案填在答题卡相应位置。

2n2Cn2Cnlim__________2n(n1)13. （理科做）

（文科做）命题“若a,b都是偶数：则ab是偶数”的否命题是_________

x14. 函数ylg102的定义域是 .

15. 定义一种运算“”对于正整数满足以下运算性质：

（1）220061：（2）(2n2)20063[(2n)2006]：则20082006的值是

22ykx1xykxmy40相交于M、N两点：16. 如果直线与圆且点M、N关于直线xy0对称：则不等式组所表示的平面区域的面积为________. 三、解答题：本大题共6小题：共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分：第一、第二、第三小问满分各4分）

1xf(x)lg1x. 已知函数

（1）求f(x)的定义域;

1f(x); （2）求该函数的反函数

1f(x)的奇偶性. （3）判断

18. （本小题满分12分：第一、第二小问满分各6分）某港口水的深度 y（米）是时间t

kxy10kxmy0y0（0t24：单位：时）的函数：记作y=f（t）：下面是某日水深的数据： t（时） y（米） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 经长期观察：y=f（t）的曲线可以近似地看成函数yAsintb的图象.

（Ⅰ）试根据以上数据：求出函数yf(t)的近似表达式：

（Ⅱ）一般情况下：船舶航行时：船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时：船底只需不碰海底即可）：某船吃水深度（船底离水面的距离）为米.如果该船希望在同一天内安全进出港：请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）.

19. （文科做本小题满分12分：第一、第二小问满分各6分）已知某种从太空飞船中带

1回的植物种子每粒成功发芽的概率都为3：某植物研究所分两个小组分别开展该种子的发芽实验：每次实验种一粒种子：假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的：如果种子没有发芽：则称该次实验是失败的.

（1）第一小组做了三次实验：求至少两次实验成功的概率：

（2）第二小组进行试验：到成功了4次为止：求在第四次成功之前共有三次失败：且恰有两次连续失败的概率.

（理科做本小题满分12分第一、第二小问满分各6分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点：一位客人游览这三个景点的概率分别是：：：且客人是否游览哪个景点互不影响：设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望： （Ⅱ）记“函数f（x）＝x2－3ξx＋1在区间[2：＋∞)上单调递增”为事件A：求事件A的概率.

20. （本小题满分12分：第一、第二小问满分各6分）

如图：在斜三棱柱ABC－A1B1C1中：侧面AA1B1B⊥底面ABC：侧棱AA1与底面ABC成60°的角： AA1= 2. 底面ABC是边长为2的正三角形：其重心为G点。E是线段BC1

1上一点：且BE=3BC1 .

（1）求证： GE∥侧面AA1B1B ：

（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小.

21. （本小题满分14分：第一小问满分4分：第二、第三小问满分各5分）设函数

f(x)ax32bx2cx4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称：且x=1时：f(x)取

2.极小值3

（1）求a、b、c、d的值：

（2）当x[1,1]时：图象上是否存在两点：使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论：

（3）若x1,x2[1,1]时：求证：

|f(x1)f(x2)|43.

2y2px(p0)的对22. （本小题满分12分：第一、第二小问满分各6分）过抛物线

称轴上的定点M(m,0)(m0)：作直线AB与抛物线相交于A,B两点.

（1）试证明A,B两点的纵坐标之积为定值：

（2）若点N是定直线l:xm上的任一点：试探索三条直线AN,MN,BN的斜率之间的关系：并给出证明.

高三数学综合模拟试卷 （一）参

1. B

2提示：设x2x2k：据题意知此方程应无实根

242k0： 12k0k1 ：故选B

22. B

提示：1x1x1x1x1x

5323x22x113x23x4x6

3展开式中x的系数为236 故选B

3. C

提示：设等差数列{an}的公差为d： 由等差数列的性质知：5a8120a824

3aa2a(a9a11)2(a9d)2a82241a9a11911916333333：选C.

4. D

23197(cosxsinx)(1sin2x)sin2x5：两边平方得225：求得25. 提示：由已知得237xsinsin2xsin(2)cos212sin25：所以225 或令4：则

5. D

提示：求两点间的球面距离：先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小：∠AOB=120°：

21R33∴ A、B两点间的球面距离为×2πR=. 选D.

6. A

22提示：易知a0且b4ac0axbxc0对任意xR恒成立。 22axbxc0a0且b4ac0 xR反之：对任意恒成立不能推出2axbxc0对任意xR恒成立 ab0且c0反例为当时也有

22a0且b4ac0axbxc0的充分不必要条件：xR“”是“对任意：有

选A. 7. D

提示：设P(x,y)：y0：过点P作x轴的垂线PH：垂足为H：则

tanPA1Hyy,tanPA2Hxa xa （ 其中a22008）

y2tanPA1HtanPA2H212xa PA1HPA2H2 设 PA1A2x ： 则PA2H5x

8. B

x5x2 x12： 即

PA1A212： 故选 D.

提示：先考虑x0,y0时：圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)、(5,5)、(7,1)：依圆的对称性知：圆上共有3412个点的横纵坐标均为整数：经过其中任意两点的割线

2C66条：过每一点的切线共有12条：又考虑到直线axby10不经过原点：而12有

上述直线中经过原点的有6条：所以满足题意的直线共有6612672条：故选B.

9. A

提示：应从8名女生中选出4人：4名男生中选出2人：有C8C4种选法：故选A. 10.（理科做） D

421i提示：1i（文科做）A

21i1i21i1i1i1i12i2i22 故选D.

提示：由图象知f(x)为奇函数：故f(x)f(x)

xxg(x)2：此不等式的几何含义是f(x)的图象在2图象下原不等式可化为

x2x2x2x2yy112x444方的对应的的取值集合：将椭圆与直线联立得 ：

f(x)x22,x2.

观察图象知2x0或2x2,故选A.

11. D

提示： 每行用去4个偶数：而是第÷2=1003个偶数

又1003÷4=

前250行共用去250×4=1000个偶数：剩下的3个偶数放入251行：考虑到奇数行所排数从左到右由小到大：且前空一格：

在251行：第4列 故选D. 12. C

提示：由AB：AC：AD两两互相垂直：将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=（2R）2=.

250

34

111SABCSACDSADBABACACADADAB222

222222222ABACACADADABABACAD324442≤=.

等号当且仅当ABACAD取得：所以SABCSACDSADB的最大值为32 ：选C.

3 13. （理科做） 2

n(n1)C2C32limlimnn(n1)2(n1)2 提示：

（文科做） 若a,b不都是偶数：则ab不是偶数

2nn2n2314. （lg2：＋∞）

xx提示：由已知得1020：即1020：所以xlg2. 100315. 3

提示：设(2n)2006an 则(2n2)2006an1且a11

an13an an3n1： 即(2n)20063n1：2008200631003 116. 4

提示： M、N两点：关于直线xy0对称：

km(,)k1：又圆心22在直线xy0上

km022 m1

xy10xy0y0原不等式组变为

1作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为4.

由17. 解：（1）

1x0,得1x1.1x故函数的定义域是（－1：1）

110y1x1xyylg10xy1x1x110y： （2）由：得（R）：所以

110x1x所求反函数为f(x)110 （xR）.

110x10x1111xxf(x)f(x)f(x)是奇函数. 110110（3） ==－：所以

18. 解：（Ⅰ）由已知数据：易知函数y=f（t）的周期T=12：振幅A=3： b=10 ∴（0≤t≤24）

（Ⅱ）由题意：该船进出港时：水深应不小于（米） ∴

y3sin t6103sin t61011.5

152kt2k (kZ)62666∴解得：

12k1t12k5 (kZ) sin t在同一天内：取k=0或1 ∴1≤t≤5或13≤t≤17

∴该船最早能在凌晨1时进港：下午17时出港：在港口内最多停留16个小时。 19. （文科做） 解：（1） 第一小组做了三次实验：至少两次实验成功的概率是 71311C33327.

（2） 第二小组在第4次成功前：共进行了6次试验：其中三次成功三次失败：且恰有

231P(A)C3232两次连续失败：其各种可能的情况种数为A412. 因此所求的概率为

12132P(B)12333729.

（理科做） 解：（I）分别记“客人游览甲景点”：“客人游览乙景点”：“客人游览丙景点” 为事件A1：A2：A3. 由已知A1：A2：A3相互：P（A1）：P（A2）：P（A3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0：1：2：3. 相应地：客人没有游览的景点数的可能取

33值为3：2：1：0：所以的可能取值为1：3.

P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（A1A2A3）

= P（A1）P（A2）P（A3）+P(A1)P(A2)P(A3) ：

P（=1）=1－0.24=0.76.

所以的分布列为 E=1×0.76+3×0.24=1.48.

39f(x)(x)212,24（Ⅱ）解法一 因为 3f(x)x23x1在区间[,)2所以函数上单调递增：

342,即.3 要使f(x)在[2,)上单调递增：当且仅当24P(A)P()P(1)0.76.3从而

解法二：的可能取值为1：3.

[2,)上单调递增： 当=1时：函数f(x)x3x1在区间[2,)上不单调递增： 当=3时：函数f(x)x9x1在区间所以P(A)P(1)0.76.

22120. 解：（1）延长B1E交BC于F： ∵ΔB1EC1∽ΔFEB： BE＝2EC1

11∴BF＝2B1C1＝2BC：从而F为BC的中点.

FE1FG∵G为ΔABC的重心：∴A、G、F三点共线：且FA＝ FB1＝3：∴GE∥AB1：

又GE侧面AA1B1B： ∴GE∥侧面AA1B1B （2）在侧面AA1B1B内：过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ：垂足为Ｈ：∵侧面AA1B1B⊥底面ABC： ∴B1H⊥底面ABC. 又侧棱AA1与底面ABC成60°的角： AA1= 2：

∴∠B1BH＝60°：BH＝１：B1H＝3.

在底面ABC内：过H作HT⊥AF：垂足为T：连B1T. 由三垂线定理有B1T⊥AF： 又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ：∴∠B1TH为所求二面角的平面角.

3∴AH＝AB＋BH＝3：∠HAT＝30°： ∴HT＝AHsin30°＝2： B1H23在RtΔB1HT中：tan∠B1TH＝HT＝3 ：

23从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan3

21. 解（1）∵函数f(x)图象关于原点对称：∴对任意实数x有f(x)f(x)：

ax32bx2cx4dax32bx2cx4d：即bx22d0恒成立 b0,d0

f(x)ax3cx,f(x)3ax2c：

221,3ac0且aca,c1x1时：f(x)取极小值33：解得3 （2）当x[1,1]时：图象上不存在这样的两点使结论成立.

假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2,y2)：使得过此两点处的切线互相垂直： 则由f(x)x1,知两点处的切线斜率分别为k1x11,k2x21： 且(x11)(x21)1 （ *）

22x1、x2[1,1]：x1210,x210,(x121)(x21)0

22222此与（*）相矛盾：故假设不成立.

证明（3）f(x)x1,令f(x)0,得x1,x(,1)： 或x(1,)时,f(x)0;x(1,1)时,f(x)0：

2f(x)在[1,1]上是减函数：且

|f(x)|fmax(x)f(1)22,fmin(x)f(1)33

2,于是x1,x2[1,1]3∴在[－1：1]上：时：

224|f(x1)f(x2)||f(x1)||f(x2)|333.

22. （1）证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)有y1y22pm：下证之：

设直线AB的方程为:xtym与y2px联立得

2

消去x得y2pty2pm0 由韦达定理得

2y1y22pm：

（2）解：三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列：下证之：

设点N(m,n)：则直线AN的斜率为直线BN的斜率为

kANy1nx1m;

kBNy2nx2m

kANkBNy1ny2n2p(yn)2p(y2n)y12y22mm21y12pmy222pm 2p2pynyny(yn)y1(y2n)2p(2122)2p21y1y1y2y2y1y2y1y2(y1y2) n(y1y2)nnn2p2p2py1y2(y1y2)y1y22pmm

n0nkMNmm2m 又直线MN的斜率为

kANkBN2kMN

即直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.