2017 年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求）
1．（3 分） 的倒数是（ A．6
B．﹣ 6 C．
）
D．﹣
2 n
是同类项，则 m+n 的值是（ ．（ 分）单项式 m 3 与单项式 4x
2 3 9x y y A．2
B．3
C．4
D．5
）
3．（3 分）以下图形中是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
4．（3 分）某桑蚕丝的直径约为 0.000016 米，将 0.000016 用科学记数法表示是 （
）
﹣
A．1.6×10
4
B．1.6×10
﹣
5
C． 1.6× 10 ﹣6
D．16× 10 4
﹣
5．（3 分）以下几何体中，主视图、俯视图、左视图都同样的是（ ）
A．
6．（3 分）若
B．
+
C． D．
+1 在实数范围内存心义，则 x 知足的条件是（
2
﹣
）
A．x≥B．x≤C．x= D． x≠
2
3
2 3
3
7．（3 分）计算（ a ） +a ?a ﹣a ÷a ，结果是（
5
﹣a B．2a5﹣ C．a5 ． 6
A．2a D a
）
8．（3 分）将分别标有 “孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋
中，这些球除汉字外无其余差异，每次摸球前先搅拌平均，随机摸出一球，不放
回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字构成
“孔孟 ”的概率是（ ）
A． B． C． D．
1
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
9．（ 3 分）如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC=1，将 Rt△ ABC绕点 A 逆时
针旋转 30°后获取 Rt△ ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中暗影部分的面积是 （
）
A．
B． C． ﹣ D．
10．（ 3 分）如图， A，B 是半径为 1 的⊙ O 上两点，且 OA⊥ OB，点 P 从点 A 出发，在⊙ O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动， 回到点 A 运动结束， 设运动时间为 x（单位： s），弦 BP的长为 y，那么以下图象中可能表示 y 与 x 函数关系
的是（
）
A．① B．③ C．②或④ D．①或③
二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
11．（ 3 分）分解因式： ma2 +2mab+mb2=
．
．
12．（ 3 分）请写出一个过点（ 1，1），且与 x 轴无交点的函数分析式：
13．（3 分）《孙子算经》 是中国古代重要的数学著作， 此中有一段文字的粗心是： 甲、乙两人各有若干钱，假如甲获取乙全部钱的一半，那么甲共有钱
48 文；如
果乙获取甲全部钱的
，那么乙也共有钱 48 文，甲、乙两人本来各有多少钱？
．
设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可列方程组是
2
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
14．（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适合长为半径画弧，交 x 轴于点 M ，交 y 轴于点 N，再分别以点 M ， N 为圆心，大于 MN 的长为半径
画弧，两弧在第二象限内交于点
P（a，b），则 a 与 b 的数目关系是 ．
15．（ 3 分）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，它的六条对角线又围成一 个正六边形 A222222 ，这样持续下去，则正六边形 444444 的面积
BCDEF ABCDEF 是
．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 55 分）
16．（ 5 分）解方程： =1﹣ ．
17．（ 7 分）为了参加学校举行的传统文化知识比赛，某班进行了四次模拟训练，
将成绩优异的人数和优异率绘制成以下两个不完好的统计图：
请依据以上两图解答以下问题：
（ 1）该班总人数是
；
（ 2）依据计算，请你补全两个统计图；
（ 3）察看补全后的统计图，写出一条你发现的结论．
3
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
18．（ 7 分）某商铺经销一种双肩包，已知这类双肩包的成本价为每个
30 元．市
场检查发现，这类双肩包每日的销售量
y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）
有以下关系： y=﹣ x+60（ 30≤x≤60）． 设这类双肩包每日的销售收益为
w 元．
（ 1）求 w 与 x 之间的函数分析式；
（ 2）这类双肩包销售单价定为多少元时，每日的销售收益最大？最大收益是
多少元？
（ 3）假如物价部门规定这类双肩包的销售单价不高于 48 元，该商铺销售这类双肩包每日要获取 200 元的销售收益，销售单价应定为多少元？
19．（ 8 分）如图，已知⊙ O 的直径 AB=12，弦 AC=10，D 是 DE⊥AC，交 AC的延伸线于点 E．
的中点，过点 D 作
（ 1）求证： DE是⊙ O 的切线；
（ 2）求 AE 的长．
20．（ 8 分）实验研究：
（ 1）如图 1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，获取折痕 EF，把纸片睁开；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF上，并使折痕经过点 B，获取折痕 BM，同时获取线段 BN，MN．请你察看图 1，猜想∠ MBN 的度数是多少，并证明你的结论．
4
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
（ 2）将图 1 中的三角形纸片 BMN 剪下，如图 2，折叠该纸片，研究 MN 与 BM
的数目关系，写出折叠方案，并联合方案证明你的结论．
21．（ 9 分）已知函数 y=mx2﹣（ 2m﹣ 5） x+m﹣2 的图象与 x 轴有两个公共点．
（ 1）求 m 的取值范围，并写出当 m 取范围内最大整数时函数的分析式； （ 2）题（ 1）中求得的函数记为 C1，
①当 n≤x≤﹣ 1 时， y 的取值范围是 1≤y≤﹣ 3n，求 n 的值；
②函数 C2：y=m（ x﹣h）2+k 的图象由函数 C1 的图象平移获取，其极点 原点为圆心，半径为
P 落在以
的圆内或圆上，设函数 C1 的图象极点为 M ，求点 P 与点
M 距离最大时函数 C2 的分析式．
22．（11 分）定义：点 P 是△ ABC内部或边上的点 （极点除外），在△ PAB，△PBC，
△ PCA中，若起码有一个三角形与△ ABC相像，则称点 P 是△ ABC的自相像点．比如：如图 1，点 P 在△ ABC的内部，∠ PBC=∠A，∠ PCB=∠ABC，则△ BCP∽△
ABC，故点 P 是△ ABC的自相像点．
请你运用所学知识，联合上述资料，解决以下问题：
在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 y=
（x＞0）上的随意一点，点 N 是 x 轴
正半轴上的随意一点．
（ 1）如图 2，点 P 是 OM 上一点，∠ ONP=∠ M，试说明点 P 是△ MON 的自相像
点；当点 M 的坐标是（
，3），点 N 的坐标是（ ， 0）时，求点 P 的坐标；
），点 N 的坐标是（ 2，0）时，求△ MON
（ 2）如图 3，当点 M 的坐标是（ 3，
的自相像点的坐标；
（ 3）能否存在点 M 和点 N，使△ MON 无自相像点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明原因．
5
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
6
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
2017 年山东省济宁市中考数学试卷
参照答案与试题分析
一、选择题（本大题共 10 小题，每题
3 分，共 30 分，在每题给出的四个
选项中，只有一项切合题目要求）
1．（3 分）（2017?济宁） 的倒数是（ A．6
B．﹣ 6 C．
D．﹣
）
【剖析】 依据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】 解： 的倒数是 6．
应选： A．
【评论】 本题考察了倒数，分子分母互换地点是求一个数的倒数的重点．
2．（3 分）（2017?济宁）单项式 9xmy3 与单项式 4x2yn 是同类项，则 m+n 的值是
（
） B．3
C．4
D．5
A．2
【剖析】 依据同类项的定义，可得 m， n 的值，依占有理数的加法，可得答案． 【解答】 解：由题意，得
m=2，n=3．
m+n=2+3=5，
应选： D．
【评论】 本题考察了同类项，利用同类项的定义得出
m，n 的值是解题重点．
3．（3 分）（2017?济宁）以下图形中是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C．
D．
【剖析】 依据中心对称图形的观点对各选项剖析判断即可得解．
7
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
【解答】 解： A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
应选 C．
【评论】本题考察了中心对称图形的观点， 中心对称图形是要找寻对称中心， 旋转 180 度后两部分重合．
4．（3 分）（2017?济宁）某桑蚕丝的直径约为 0.000016 米，将 0.000016 用科学 记数法表示是（ A．1.6×10
﹣
）
B．1.6×10
﹣
4
5
C． 1.6× 10
﹣6
D．16× 10 4
﹣
﹣
n
【剖析】绝对值小于 1 的正数也能够利用科学记数法表示， 一般形式为 a× 10 ， 与较大数的科学记数法不一样的是其所使用的是负指数幂， 指数由原数左边起第一 个不为零的数字前方的 0 的个数所决定．
﹣
5
【解答】 解： 0.000016=1.6× 10 ； 应选； B．
【评论】 本题考察用科学记数法表示较小的数，一般形式为
a× 10 n，此中 1≤
﹣
| a| ＜ 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前方的 0 的个数所决定．
5．（3 分）（2017?济宁）以下几何体中，主视图、俯视图、左视图都同样的是（ ）
A．
B． C． D．
【剖析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上边看，所获取的 图形．
【解答】解：A、三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，
故此选项不切合题意；
B、球的主视图、左视图、俯视图都是半径同样的圆，故此选项切合题意；
8
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
C、圆锥体的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆及圆心，故此选项
不切合题意；
D、长方体的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是长方形，可是每个长
方形的长与宽不完好同样，故此选项不切合题意；
应选： B．
【评论】本题考察了几何体的三种视图， 掌握定义是重点． 注意全部的看到的棱都应表此刻三视图中．
6．（ 3 分）（2017?济宁）若
+ +1 在实数范围内存心义，则 x 知足的条
件是（
）
B．x≤
C．x= D． x≠
x 的值．
A．x≥
【剖析】 依据二次根式存心义的条件即可求出 【解答】 解：由题意可知：
解得： x=
应选（ C）
【评论】本题考察二次根式存心义的条件， 解题的重点是正确理解二次根式存心义的条件，本题属于基础题型．
2 3 2 3 2
﹣
3
7．（3 分）（2017?济宁）计算（ a ） +a ?a﹣a ÷a ，结果是（ ）
5
﹣a B．2a5﹣ C．a5 ． 6
A．2a D a
【剖析】 直接利用幂的乘方运算法例以及同底数幂的乘除运算法例化简求出答
案．
【解答】 解：（a）+a?a﹣a ÷a
23232
﹣
3
=a6+a5﹣a5
=a．
6
应选： D．
【评论】本题主要考察了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，
正确掌握运算
法例是解题重点．
9
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
8．（3 分）（ 2017?济宁）将分别标有 “孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个
不透明的口袋中， 这些球除汉字外无其余差异， 每次摸球前先搅拌平均， 随机摸
出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字构成
“孔孟 ”的概率是
（
） B．
C．
D．
A．
【剖析】 画树状图展现因此 12 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字构成 “孔孟 ”的结果数，而后依据概率公式求解．
【解答】 解：画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，此中两次摸出的球上的汉字构成 “孔孟 ”的结果数为2，
因此两次摸出的球上的汉字构成 “孔孟 ”的概率 = = ．
应选 B．
【评论】本题考察了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展现全部等可能的结果 n，再从中选出切合事件 A 或 B 的结果数目 m，而后利用概率公式求事件A或 B的概率．
9．（3 分）（2017?济宁）如图，在
Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC=1，将 Rt△
ABC绕点 A 逆时针旋转 30°后获取 Rt△ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中暗影 部分的面积是（
）
A． B． C． ﹣ D．
10
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
【剖析】 先依据勾股定理获取 AB= ，再依据扇形的面积公式计算出 S 扇形 ABD，由旋转的性质获取 Rt△ ADE≌Rt△ACB，于是 S暗影部分 =S△ ADE+S扇形 ABD﹣S△ ABC=S扇形
ABD．【解答】 解：∵∠ ACB=90°， AC=BC=1，
∴ AB= ，
∴S扇形 ABD=
= ．
又∵ Rt△ABC绕 A 点逆时针旋转 30°后获取 Rt△ADE，
∴ Rt△ADE≌ Rt△ACB，
∴ S暗影部分 =S△ ADE+S 扇形 ABD﹣S△ ABC=S扇形 ABD=
．
应选： A．
【评论】本题主要考察的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将暗影部分的面积转变为扇形 ABD 的面积是解题的重点．
10．（ 3 分）（2017?济宁）如图， A，B 是半径为 1 的⊙ O 上两点，且 OA⊥ OB，
点 P 从点 A 出发，在⊙ O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动， 回到点 A 运动结束，设运动时间为 x（单位： s），弦 BP 的长为 y，那么以下图象中可能表示 y
与 x 函数关系的是（
）
A．① B．③ C．②或④ D．①或③
【剖析】分两种情况议论当点 P 顺时针旋转时，图象是③，当点 P 逆时针旋转时，
图象是①，由此即可解决问题．
【解答】解：当点 P 顺时针旋转时， 图象是③，当点 P 逆时针旋转时， 图象是①，
故答案为①③，
11
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
应选 D．
【评论】本题考察动点问题函数图象、圆的相关知识，解题的重点理解题意，学会用分类议论的思想思虑问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
11．（ 3 分）（2017?济宁）分解因式： ma2+2mab+mb2=
m（ a+b）2 ．
【剖析】 原式提取 m，再利用完好平方公式分解即可．
【解答】 解：原式 =m（ a2+2ab+b2） =m（ a+b）
2
，故答案为： m（a+b）2
【评论】本题考察了提公因式法与公式法的综合运用， 娴熟掌握因式分解的方法是解本题的重点．
12．（ 3 分）（2017?济宁）请写出一个过点（ 1，1），且与 x 轴无交点的函数分析式： y= （答案不独一） ．
【剖析】 反比率函数的图象与坐标轴无交点．
【解答】 解：反比率函数图象与坐标轴无交点，且反比率函数系数
k=1×1=1，
因此反比率函数 y= （答案不独一）切合题意．
故答案能够是： y= （答案不独一）．
【评论】本题考察了反比率函数的性质，本题属于开放题，答案不独一，假如二次函数也切合题意．
13．（ 3 分）（ 2017?济宁）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，此中有一段
文字的粗心是：甲、乙两人各有若干钱，假如甲获取乙全部钱的一半，那么甲共
有钱 48 文；假如乙获取甲全部钱的
，那么乙也共有钱 48 文，甲、乙两人本来
各有多少钱？设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可列方程组是
．
【剖析】依据甲、乙两人各有若干钱，假如甲获取乙全部钱的一半，那么甲共有
12
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
钱 48 文；假如乙获取甲全部钱的
，那么乙也共有钱 48 文，能够列出方程组，
从而能够解答本题．
【解答】 解：由题意可得，
，
故答案为：
．
【评论】本题考察由实质问题抽象出二元一次方程组， 解答本题的重点是明确题意，列出相应的方程组．
14．（ 3 分）（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适合长为
半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M ，N 为圆心，大于 MN
的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点
P（ a， b），则 a 与 b 的数目关系是
a+b=0 ．
【剖析】依据作图方法可得点 P 在第二象限的角均分线上， 依据角均分线的性质
和第二象限内点的坐标符号，可得
a 与 b 的数目关系为互为相反数．
【解答】 解：依据作图方法可得，点 P 在第二象限角均分线上， ∴点 P 到 x 轴、 y 轴的距离相等，即 | b| =| a| ，
又∵点 P（ a，b）第二象限内，
∴ b=﹣a，即 a+b=0， 故答案为： a+b=0．
【评论】 本题主要考察了角均分线的性质以及坐标与图形的性质，解题时注意：
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，得出
P 点地点是解题重点．
15．（ 3 分）（2017?济宁）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，它的六条对角线又围成一个正六边形 A2B2C2D2E2F2，这样持续下去， 则正六边形 A4B4C4D4E4F4
的面积是
．
【剖析】 由正六边形的性质得：∠ A1B1B2=90°，∠ B1A1B2=30°，A1A2 =A2B2，由直
角三角形的性质得出 B1B2=
A1B1= ，A2B2= A1B2 =B1B2= ，由相像多边形的
A1B1C1D1E1F1 的面积 =
，求出
性质得出正六边形
A2B2C2D2E2F2 的面积：正六边形
正六边形 A1B1C1D1E1F1 的面积 =
，得出正六边形 A2B2C2D2E2F2 的面积，同理得
出正六边形 A4B4C4D4E4F4 的面积．
【解答】 解：由正六边形的性质得：∠ A1B1B2=90°，∠ B1A1B2 =30°，A1A2=A2B2，
∴ B1B2= A1B1= ， ∴ A2B2= A1B2=B1B2= ， ∵正六边形 A1
1 1 1 1 1∽正六边形 222222，
BCDEF BCDEF
∴正六边形 A2
A BCD EF
2） 2 2 2 2 2 的面积：正六边形 1 1 1 1 1 1 的面积 （
，
ABCDEF
，
=
=
∵正六边形 A1
× × ×
BCDEF =6 1 =
∴正六边形 A2 2 2 2 2 2 的面积 × ，
BCDEF = =
3
同理：正六边形 A4 4 4 4 4 4的面积 （ ）×
= BCD EF 故答案为：
．
1 1 1 1 1 的面积
=
；
【评论】本题考察了正六边形的性质、 相像多边形的性质、 正六边形面积的计算等知识；娴熟掌握正六边形的性质，由相像多边形的性质得出规律是重点．
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
三、解答题（本大题共 7 小题，共 55 分）
16．（ 5 分）（2017?济宁）解方程：
=1﹣ ．
x 的值，经检
【剖析】分式方程去分母转变为整式方程，求出整式方程的解获取
验即可获取分式方程的解．
【解答】 解：去分母得： 2x=x﹣2+1，
移项归并得： x=﹣ 1，
经查验 x=﹣1 是分式方程的解．
【评论】本题考察认识分式方程，解分式方程的基本思想是 “转变思想 ”，把分式方程转变为整式方程求解．解分式方程必定注意要验根．
17．（ 7 分）（2017?济宁）为了参加学校举行的传统文化知识比赛，某班进行了
四次模拟训练，将成绩优异的人数和优异率绘制成以下两个不完好的统计图：
请依据以上两图解答以下问题：
（ 1）该班总人数是 40 ；
（ 2）依据计算，请你补全两个统计图；
（ 3）察看补全后的统计图，写出一条你发现的结论．
【剖析】（1）利用折线统计图联合条形统计图，利用优异人数÷优异率 =总人数求出即可；
（ 2）分别求出第四次模拟考试的优异人数以及第三次的优异率即可得出答案； （ 3）利用已知条形统计图以及折线统计图剖析得出答案． 【解答】 解：（1）由题意可得：
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该班总人数是： 22÷55%=40（人）；
故答案为： 40；
（ 2）由（ 1）得，第四次优异的人数为： 40× 85%=34（人），
第三次优异率为： × 100%=80%； 以下图：
；
（ 3）答案不独一，如优异人数渐渐增加，增大的幅度渐渐减小等．
【评论】本题主要考察了条形统计图以及折线统计图， 利用图形获取正确信息是解题重点．
18．（ 7 分）（2017?济宁）某商铺经销一种双肩包，已知这类双肩包的成本价为
每个 30 元．市场检查发现，这类双肩包每日的销售量
y（单位：个）与销售单
价 x（单位：元）有以下关系： y=﹣ x+60
（ 30≤x≤60）．设这类双肩包每日的销售收益为 w 元．
（ 1）求 w 与 x 之间的函数分析式；
（ 2）这类双肩包销售单价定为多少元时，每日的销售收益最大？最大收益是多少元？
（ 3）假如物价部门规定这类双肩包的销售单价不高于 48 元，该商铺销售这类双肩包每日要获取 200 元的销售收益，销售单价应定为多少元？
【剖析】（1）每日的销售收益 W=每日的销售量×每件产品的收益；（ 2）依据配方法，可得答案；
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（ 3）依据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（ 1） w=（ x﹣ 30）?y=（﹣ x+60）（x﹣30）=﹣ x2+30x+60x﹣1800=﹣
x+90x﹣1800，
2
w 与 x 之间的函数分析式 w=﹣ x2+90x﹣ 1800；
（ 2）依据题意得： w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（ x﹣45） 2+225， ∵﹣ 1＜0，
当 x=45 时， w 有最大值，最大值是 225．
（ 3）当 w=200 时，﹣ x2+90x﹣1800=200，解得 x1=40， x2=50， ∵ 50＞48，x2=50 不切合题意，舍，
答：该商铺销售这类双肩包每日要获取 200 元的销售收益，销售单价应定为 40 元．
【评论】本题考察了二次函数的应用； 获取每日的销售收益的关系式是解决本题的重点；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
19．（ 8 分）（2017?济宁）如图，已知⊙ O 的直径 AB=12，弦 AC=10，D 是 的中
点，过点 D 作 DE⊥AC，交 AC 的延伸线于点 E．
（ 1）求证： DE是⊙ O 的切线； （ 2）求 AE 的长．
【剖析】（1）连结 OD，由 D 为弧 BC 的中点，获取两条弧相等，从而获取两个同位角相等，确立出 OD 与 AE 平行，利用两直线平行同旁内角互补获取 OD 与DE垂直，即可得证；
（ 2）过 O 作 OF垂直于 AC，利用垂径定理获取 F 为 AC中点，再由四边形 OFED 为矩形，求出 FE的长，由 AF+EF求出 AE 的长即可．【解答】（1）证明：连结 OD，
∵D 为
的中点，
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
∴
= ，
∴∠ BOD=∠BAE，
∴ OD∥ AE， ∵ DE⊥AC， ∴∠ ADE=90°， ∴∠ AED=90°，
∴ OD⊥ DE，
则 DE 为圆 O 的切线；
（ 2）解：过点 O 作 OF⊥ AC， ∵ AC=10， ∴ AF=CF= AC=5，
∵∠ OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形 OFED为矩形，
∴ FE=OD= AB，
∵ AB=12， ∴ FE=6，
则 AE=AF+FE=5+6=11．
【评论】本题考察了切线的性质与判断，勾股定理，以及垂径定理，娴熟掌握各自的性质及定理是解本题的重点．
20．（ 8 分）（2017?济宁）实验研究：
（ 1）如图 1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，获取折痕 EF，把纸片睁开；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF上，并使折痕经过点 B，获取折痕 BM，同时获取线段 BN，MN．请你察看图 1，猜想∠ MBN 的度数是多少，并证明你的结
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
论．
（ 2）将图 1 中的三角形纸片 BMN 剪下，如图 2，折叠该纸片，研究 MN 与 BM 的数目关系，写出折叠方案，并联合方案证明你的结论．
【剖析】（1）猜想：∠ MBN=30°．只需证明△ ABN 是等边三角形即可；
（ 2）结论： MN= BM．折纸方案：如图，折叠△ BMN，使得点 N 落在 BM 上 O 处，折痕为 MP，连结 OP．由折叠可知△ MOP≌△ MNP，只需证明△ MOP≌△ BOP，即可推出 MO=BO= BM；
【解答】 解：（1）猜想：∠ MBN=30°．
原因：如图 1 中，连结 AN，∵直线 EF是 AB 的垂直均分线，
∴ NA=NB，
由折叠可知， BN=AB， ∴ AB=BN=AN， ∴△ ABN 是等边三角形，
∴∠ ABN=60°，
∴ NBM=∠ABM= ∠ ABN=30°．
（ 2）结论： MN= BM．
折纸方案：如图 2 中，折叠△ BMN，使得点 N 落在 BM 上 O 处，折痕为 MP，连
接 OP．
原因：由折叠可知△ MOP≌△ MNP，
∴ MN=OM，∠ OMP=∠NMP= ∠OMN=30° =∠B，
∠ MOP=∠MNP=90°， ∴∠ BOP=∠MOP=90°， ∵ OP=OP，
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
∴△ MOP≌△ BOP，
∴ MO=BO= BM， ∴ MN= BM．
【评论】本题考察翻折变换、 矩形的性质、剪纸问题、等边三角形的判断和性质、全等三角形的判断和性质等知识， 解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题， 学会原因翻折变换增添协助线，属于中考常考题型．
21．（ 9 分）（2017?济宁）已知函数 y=mx2﹣（ 2m﹣ 5） x+m﹣2 的图象与 x 轴有
两个公共点．
（ 1）求 m 的取值范围，并写出当 m 取范围内最大整数时函数的分析式； （ 2）题（ 1）中求得的函数记为 C1，
①当 n≤x≤﹣ 1 时， y 的取值范围是 1≤y≤﹣ 3n，求 n 的值； ②函数 C2： （ ﹣ ）2+k 的图象由函数 C1 的图象平移获取，其极点
y=m x h
原点为圆心，半径为
落在以
P
的圆内或圆上，设函数 C1 的图象极点为 M ，求点 P 与点
M 距离最大时函数 C2 的分析式．
【剖析】（1）函数图形与 x 轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞ 此可获取对于 m 的不等式组，从而可求得
0，故
m 的取值范围；
（ 2）先求得抛物线的对称轴，当 n≤x≤﹣ 1 时，函数图象位于对称轴的左边， 随 x 的增大而减小，当当 x=n 时， y 有最大值﹣ 3n，而后将 x=n， y=﹣3n 代入求解即可；
y
（ 3）先求得点 M 的坐标，而后再求适合 MP 经过圆心时， PM 有最大值，故此
可求得点 P 的坐标，从而可获取函数
C2 的分析式．
【解答】 解：（1）∵函数图象与 x 轴有两个交点， ∴ m≠0 且[ ﹣（ 2m﹣ 5） ] 2﹣4m（m﹣2）＞ 0，
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
解得： m＜
且 m≠0．
∵ m 为切合条件的最大整数，
∴ m=2．
∴函数的分析式为 y=2x2+x．
（ 2）抛物线的对称轴为 x=﹣
=﹣ ．
∵ n≤ x≤﹣ 1＜﹣ ，a=2＞ 0，
∴当 n≤x≤﹣ 1 时， y 随 x 的增大而减小．
∴当 x=n 时， y=﹣ 3n．
∴ 2n2+n=﹣ 3n，解得 n=﹣2 或 n=0（舍去）． ∴ n 的值为﹣ 2．
（ 3）∵ y=2x2+x=2（ x+ ）2﹣ ，
∴ M（﹣ ，﹣ ）．以下图：
当点 P 在 OM 与⊙ O 的交点处时， PM 有最大值．
设直线 OM 的分析式为 y=kx，将点 M 的坐标代入得：﹣∴ OM 的分析式为 y= x．
设点 P 的坐标为（ x，
x）．
k=﹣，解得：k= ．21
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
由两点间的距离公式可知： OP=
= ，
解得： x=2 或 x=﹣ 2（舍去）．
∴点 P 的坐标为（ 2， 1）．
∴当点 P 与点 M 距离最大时函数 C2 的分析式为 y=2（x﹣ 2） 2+1．
【评论】本题主要考察的是二次函数的综合应用， 解答本题主要应用一元二次方程根的鉴别式， 二次函数的图象和性质， 勾股定理的应用， 待定系数法求一次函数的分析式，找出 PM 获得最大值的条件是解题的重点．
22．（ 11 分）（2017?济宁）定义：点 P 是△ ABC内部或边上的点（极点除外） ，在△ PAB，△PBC，△PCA中，若起码有一个三角形与△ ABC相像，则称点 P 是△ ABC的自相像点．
比如：如图 1，点 P 在△ ABC的内部，∠ PBC=∠A，∠ PCB=∠ABC，则△ BCP∽△
ABC，故点 P 是△ ABC的自相像点．
请你运用所学知识，联合上述资料，解决以下问题：
在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 y=
（x＞0）上的随意一点，点 N 是 x 轴
正半轴上的随意一点．
（ 1）如图 2，点 P 是 OM 上一点，∠ ONP=∠ M，试说明点 P 是△ MON 的自相像点；当点 M 的坐标是（ ，3），点 N 的坐标是（ ， 0）时，求点 P 的坐标；（ 2）如图 3，当点 M 的坐标是（ 3， ），点 N 的坐标是（ 2，0）时，求△ MON 的自相像点的坐标；
（ 3）能否存在点 M 和点 N，使△ MON 无自相像点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明原因．
【剖析】（1）由∠ ONP=∠M，∠ NOP=∠MON，得出△ NOP∽△ MON，证出点 P
是△ MON 的自相像点；过 P 作 PD⊥x 轴于 D，则 tan∠POD=
，求出∠
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
AON=60°，由点 M 和 N 的坐标得出∠ MNO=90°，由相像三角形的性质得出∠ NPO=
∠ MNO=90° ，在 Rt△OPN 中，由三角函数求出
OP= ，OD= ， PD= ，即可
得出答案；
（ 2）作 MH⊥x 轴于 H，由勾股定理求出 OM=2
，直线 OM 的分析式为 y= x，
ON=2，∠MOH=30°，分两种状况：①作 PQ⊥x 轴于 Q，由相像点的性质得出 PO=PN， OQ= ON=1，求出 P 的纵坐标即可；
②求出 MN=
=2，由相像三角形的性质得出 ，求出 PN= ，
在求出 P 的横坐标即可；
（ 3）证出 OM=2 =ON，∠MON=60° ，得出△ MON 是等边三角形，由点 P 在△ MON 的内部，得出∠ PON≠∠ OMN，∠ PNO≠∠ MON，即可得出结论．【解答】 解：（1）∵∠ ONP=∠ M，∠ NOP=∠MON，
∴△ NOP∽△ MON，
∴点 P 是△ MON 的自相像点；
过 P 作 PD⊥x 轴于 D，则 tan∠POD= ∴∠ AON=60°， ∵当点 M 的坐标是（ ∴∠ MNO=90° ， ∵△ NOP∽△ MON，
，
， 3），点 N 的坐标是（ ，0），
∴∠ NPO=∠MNO=90° ，
在 Rt△OPN中， OP=ONcos60°= ，
∴ OD=OPcos60°= × =
， PD=OP?sin60°= × = ，
∴P（
，
）；
（ 2）作 MH⊥x 轴于 H，如图 3 所示：
∵点 M 的坐标是（ 3，
），点 N 的坐标是（ 2，0），
∴ OM=
=2 ，直线 OM 的分析式为 y=
x， ON=2，∠ MOH=30° ，
分两种状况：
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历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
①如图 3 所示：∵ P 是△MON 的相像点，
∴△ PON∽△ NOM，作 PQ⊥ x 轴于 Q，
∴ PO=PN， OQ= ON=1，
∵ P 的横坐标为 1， ∴ y= ×1= ， ∴P（1，
）；
②如图 4 所示：
由勾股定理得： MN=
=2，
∵ P 是△ MON 的相像点， ∴△ PNM∽△ NOM，
∴ ，即
，
解得： PN= ，
即 P 的纵坐标为 ，代入 y= 得：=
x，
解得： x=2，
∴P（2，
）；
综上所述：△ MON 的自相像点的坐标为（ 1， ）或（ 2，
）；（ 3）存在点 M 和点 N，使△ MON 无自相像点， M（ ，3），N由以下：
∵ M（ ，3），N（2 ，0）， ∴ OM=2 =ON，∠ MON=60° ，
∴△ MON 是等边三角形，
∵点 P 在△ MON 的内部，
∴∠ PON≠∠ OMN，∠PNO≠∠ MON，
∴存在点 M 和点 N，使△ MON 无自相像点．
2 ，
0）；理
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（
历年中考数学模拟试题(含答案)(222)
【评论】本题是反比率函数综合题目， 考察了相像三角形的性质、 相像点的判断
与性质、三角函数、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判断与性质、直
线分析式确实定等知识； 本题综合性强， 有必定难度， 娴熟掌握相像点的判断与
性质是解决问题的重点．
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