湖南省洞口县高三文科数学第五次月考试题

总分：150分 时间：150分钟 命题：邓昭练 审题：林目余

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={x|ln（x－l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=

（ C ） A．（2,3） B．[2,3） C．（2,3] D．[2,3]

2．设命题p：函数y= cos2ｘ的最小正周期为；命题q：函数f（ｘ）＝sin

2（ｘ一）的图象的一条对称轴是x，则下列判断正确的是

44 （ B ） A．p为真 B．ｑ为假 C．p∧q为真 D．p∨ q为假

3．已知向量a(x,1)，b(3,6)，且ab，则实数x的值为（ B ）

11A． B．2 C．2 D． 224.项数大于3的等差数列{an}中，各项均不为零，公差为1，且

1111.则其通项公式为（ B ） a1a2aaaa2313 A．n-3 B．n C．n+1 D．2n-3

5．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，

C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中

的学生甲被抽到的概率为 （ A ） A．

1911 B． C． D． 102202000x2y26．已知双曲线221a0,b0)的一个焦点与抛物线y212x的焦点重

ab合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的标准方程为（ A ）

A.x2y2136 B.x2y21 1224x2y2y2x21 D.1 C.271818277．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面

积是( B )

A．32 B．16＋162

C．48 D．16＋322

xy608．满足约束条件yex0的目标函数zexy的最大值是

x0 （ C ）

A．－6 B．e＋l C．０

D．e－l

9．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)f(y)f(xy)

成立，若a1，anf(n) (n为正整数)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是（ D ）

A．Sn2 B．Sn2 C．Sn1 D．Sn1 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在横线上

1212121212(1i)(1i)i10.复数在复平面内对应的点到原点的距离为__________2

11．在极坐标系中，点A的坐标为22,，曲线C的方程为4sin，则OA4（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为______ 22. 12．阅读右面的程序框图，则输出的S等于 ．50

13.在ABC中，三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知B60，

不等式x26x8 0的解集为{x|axc}，则

k100?否 开始 S0,k1是 输出S 结束 b ．23

xy14.点P是椭圆C1:221(ab0)与圆C2:x2y2a2b2的一个交

ab22SS(1)kkkk1（第12题）

点，且2PF1F2PF2F1,其中F1、F2分别为椭圆C1的左右焦点，则椭圆C1的离心率为 。31

15．已知正方形ABCD，PA平面ABCD，AB1,PAt(t0)，

当t变化时，直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是 ． (0,]

12PAB（第15题）

DC三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16（本题12分）已知函数f(x)=2msin2x－23msinxcosxn (m>0)的定义域为

]，值域为[－5，4]． 2 （1）求m，n的值；

3 （2|）求函数g(x) =msinx+ncosx(x∈R)的单调递增区间。

2[０，

17(本小题12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面

ABCD是直角梯形，AD∥BC，SACD，AB⊥平面

S M SAD，点M是SC的中点，且SAABBC1，AD（1）求四棱锥SABCD的体积； （2）求证：DM∥平面SAB；

1. 2B C A D 第19题（3）求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值. 解：∵ AB⊥底面SAD,SA底面SAD,AD底面SAD

∴ AB⊥SA, AB⊥AD ∵ SACD,AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线 ∴

A 侧棱

SA底面

………………… 2分

在四棱锥SABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

1 2（1）

AD∥BC，AB⊥AD，SAABBC1，AD(1 ∴ VSABCDSABCDSA13131)1121 …………………

244分

（2） 取SB的中点N，连接AN、MN。 ∵ 点M是SC的中点 ∴MN∥BC且MN1BC 21 2∵ 底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC1，AD ∴ AD∥BC且AD1BC 2 ∴ MN∥AD且MNAD

∴ 四边形MNAD是平行四边形

∴ DM∥AN ∵DM平面SAB，AN平面SAB ∴

S

DM∥平面

……………… 8分

（3）∵ 侧棱SA底面ABCD，BC底面ABCD

∴ BCSA

∵AB垂直于BC，AB、SA是平面SAB内的两条相交直线 ∴ BC平面SAB，垂足是点B ∴ SB是SC在平面SAB内的射影，BCSB

∴ BSC是直线SC和平面SAB所成的角 ∵ 在RtSBC中，BC1，SB2 ∴ SC3 ∴ sinBSCBC3 SC3∴ 直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是

3 ……………… 13分 318. （本小题满分12分）如图，正方形OABC的边长为2.

(1)在其四边或内部取点P(x,y)，且x,yZ，求事件：“OP1”的概率； (2)在其内部取点P(x,y)，且x,yR，求事件“POA,PAB,PBC,PCO的面2积均大于”的概率.

3

y C B O

A x 解：（1）P(x,y)共9种情形：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) 满足OP1，即x2y21，共有6种 因此所求概率为

62………6分 93122（2）设P到OA的距离为d，则S2d，即d

3232P到OA、AB、BC、CO的距离均大于

32(22)231………12分 概率为

22919(本小题满分13分 ) 已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn 的前三项. （Ⅰ）分别求数列an，bn的通项公式; （Ⅱ）设Tnaa1a2n(nN*),求证： Tnb1b2bn3

解：（Ⅰ）设d、q分别为等差数列an、等比数列bn的公差与公比，且d0

由a11,a21d,a312d,分别加上1，1，3有b12,b22d,b342d…2分

(2d)22(42d),d24,d0,d2,qb242 …………4b12分

an1(n1)22n1,bn22n12n …………

6分 （II）Tnaa1a21352n1n23,① nb1b2bn222211352n1Tn234n1.② 22222①—②，得

2n111111Tn(23n)n1. …………2222228分

11n122n1312n132n3.………………Tn1nn2nn122221210分

2n32n30.33 2n2n20（本小题满分13分）

x3210

已知函数f(x)＝2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，

a5函数g(x)＝f(x)－

3bx

＋3.(1) 若函数g(x)在x＝1处有极值，求g(x)的解a2

析式；

(2)若函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数,且b2－mb＋4≥g(x)在区间[－1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

3

解：∵ f′(x)＝2·x2，

a

3

∴ 由2·x2＝3有x＝±a，即切点坐标为(a，a)，(－a，－a)，

a∴ 切线方程为y－a＝3(x－a)或y＋a＝3(x＋a)， 整理得3x－y－2a＝0或3x－y＋2a＝0， |－2a－2a|210∴ ＝，解得a＝±1，

532＋－12∴ f(x)＝x3，∴ g(x)＝x3－3bx＋3.

(1) ∵ g′(x)＝3x2－3b，g(x)在x＝1处有极值，∴ g′(1)＝0， 即3×12－3b＝0，解得b＝1，∴ g(x)＝x3－3x＋3.

(2)∵函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数，∴g′(x)＝3x2－3b≥0在区间[－1,1]上恒成立，∴b≤0，又∵b2－mb＋4≥g(x)在区间[－1,1]上恒成立，∴b2－mb＋4≥g(1)，即b2－mb＋4≥4－3b，∴ mb≤b2＋3b在b∈(－∞，0]上恒成立，∴ m≥3.

综上，m的取值范围是[3，＋∞)． 21．（本小题满分13分） P、Q是抛物线C：y=x2上两动点，直线l1，l2分别是C在点P、点Q处的切线，

l1∩l2=M，l1⊥l2．

（1）求证：直线PQ经过一定点； （2）求△PQM面积的最小值。