基于二维TLM方法的TM波传播的传输线分析

Bhattu.HariPrasad Naik

Dept. of ECE, UCE

Osmania University

Hyderabad, India Hyderabad, India

bhattu.hariprasadnaik@gmail.com

Chandra Sekhar Paidimarry

Dept. of ECE, UCE

Osmania University

sekharpaidimarry@gmail.com

摘要：通常，用FDTD和TLM时域方法求解电磁场方程。TLM是用于分析波传播的数值模拟技术，它被广泛用于基于惠更斯原理的电磁波传播。TLM的实现分为两步：入射（以备下一时刻的输出电压）和散射。本文提出在2D分流节点传输线使用均匀和非均匀介质中的TLM方法TL参数来分析波的传播。波从一个馈电点节点传播

与入射光的电压和散射在三维空间中。在三维空间中，电磁波，入射电压和散射电压，

978-1-4799-6052-1/14/$31.00 ©2014 IEEE

从一个馈点传播。横波传波，则对应的入射信号的输出信号是平面波Ez，Hx，Hy。

关键词：传输线矩阵 (TLM)；时域有限差分 (FDTD)；时域微分方程 (TD-DE)；基尔霍夫电流定律 (KCL)；二维 (2D)；横向磁 (TMY)；横电 (TE)；电磁 (EM)；传输线 (TL)；时域 (TD)；频域 (FD)；

1.引言

有TD和FD等许多不同的数值方法用于解决电磁场方程。已经提出了许多针对麦克斯韦方程组的数值解法，仍有许多新的方案带来了新的方法。FDTD和TLM方法就是时域方法的例子。约翰于1974年将传输线矩阵（TLM）方法作为一种二维的方法[1]提出。TLM是一个迭代的TD-TE的方法，非常适合于EM分析解决电磁工程学的各种问题。基于模拟介质的准确性和复杂性，可以使用一维，二维或三维TLM建模。二维TLM建模与FDTD方法是最普遍的方法，因为它可以模拟大多数问题，且比起三维TLM更加有效。

TLM技术已被视为有效的场计算的动态和灵活的方法。TLM方法是基于波传播的惠更斯 - 菲涅耳原理，它认为波是各向同性的，球形的，二次源，且其能量在各个方向上均等分布。波的传输是基于从KCL推断的传播方程和麦克斯韦方程之间的类比建立的。从KCL推断的传播方程将网络的节点的分支中的电压和电流联系起来，麦克斯韦方程组则是将电场和磁场的分量联系起来。TLM方法求解TL矩形网格。线交叉形成结，从而阻抗不连续。

基本的TLM包括两个基本步骤：

i. 通过等效网络替代场的问题，并得到场和网络的数量之间的相似性。

ii. 用迭代法解决等效网络。

TLM法是离散的过程，是其场在空间和时间上的离散化。计算域是以节点相互连接的网状传输线。如果在中心节点处以1V的电压脉冲入射，根据传输线理论，部分脉冲被反射和传输。所发射的脉冲变成为下一个相邻节点的源脉冲，并再次被反射和传输，直到边界。主要步骤是脉冲的入射和到下一节点的脉冲的散射。脉冲的传播，以及被分散在网状传输线的脉冲都具有速度 (v)，长度 (L)，时间 (t)。

2.TLM过程

y，TLM是基于波传播惠更斯原理的迭代方法[2]。TLM使用空间和时间离散分量x，

时间间隔为t。图1表示一个二维TLM波散射的例子。

图1：二维TLM过程

l2，阻抗为Z。然后在任意节点 (x,y) 入射脉冲，则有三

L3，特征阻抗为。

假设每条传输线的长度为

L个具有三个相同的并联阻抗的TL。因此节点的总阻抗为

反射和传输系数为：

由 (1) 式可得反射和传输的能量为：

TLM方法可以用流程图 [4] 来表示图2中的算法。

图2：TLM流程图

TLM网络激励是指在沿着网络节点的一个或多个分支上应用狄拉克脉冲。此过程能够在无限的模拟频率范围内得到。在时域中，所有的激励组合都是可能的。

单频是必须的，最好使用高斯信号或通过高斯调制的正弦信号。

TLM的具体算法：

i. 划分空间，称为等维节点 (基本网络)。

ii. 计算传输线参数，，T，Sr，St。

iii. 用，T计算散射矩阵。

iv. 用单次输入、高斯脉冲或1v正弦波信号激发。

riv. 找出k=1，VSV时的反射电压。

vi. 通过所有节点的连接过程得到 (k+1) 处的入射电压。

vii. (k+1)处散射。

viii. 重复上述过程，直到到达边界。

ix. 应用傅里叶变化，从TD改到FD。

3. 二维分流节点 TLM

l2，由

用于TLM过程的TL基本模块是一个二维分流节点。节点具有四段TL长度电感

lLLl2和电容c2Cl的集总元件模型近似，如图3所示。图3表示了基本的二维波

方程。

图3：二维分流节点

只有所有的频率都远低于网络截止频率，二维TLM网络就可模拟各向同性介质。即，总的波的传播速度恒定且为

vc2。

在x-y方向上应用KVL：

在x-z方向上应用KCL：

结合式3和式4的网络参数，得到波动方程：

在二维空间中，式5称为亥姆霍兹波动方程。考虑麦克斯韦方程和扩大在直角坐标系的方程：

0ExEzHy0t当，，

对于TE模式，相对于Z轴， Ez0；

对于TM模式，相对于Y轴，Hy0。

利用电磁的对偶原理，二维分流节点既适用于TE模式，也适用于TM模式。

无损耗的TMy (y方向)麦克斯韦方程组是：

微分方程7,8 对应的方程：

式9称为二维空间的亥姆霍兹波动方程。比较亥姆霍兹波动方程5和9，可得到网络参数和场分量之间的等价性。

A. 二维分流节点的无损散射

当介质的各个部分都具有相同属性，则该介质称为均匀介质。模拟均匀介质时不需要考虑介质的属性。所以使用由多个节点组成的简单网络。一个节点的网络模型如图4所示。

离散自由空间分别在x和y方向上有相同的尺寸x和y。计算域是拥有TL自由空间参数的TLM空间。

图4：均匀介质中的二维分流节点

用戴维南等效替代TL的每个部分，如图5所示：

图5：二维分流节点戴维南等效模型

通过叠加定理，可得电压：

端口1反射电压

V1rVyV1i。

同理，可得端口2,3,4的电压分别为：

端口1,2,3,4的反射电压和入射电压的散射矩阵为：

第k时间段的反射脉冲作为相邻的第 (k+1) 时间段的入射脉冲。该过程即为连接过程，如图6所示。TLM网是这四个输入在整个空间中的互联网。

图6：节点 (x,y) 的连接过程

B. 二维分流节点的有损散射

当波传播经过均匀介质时，不考虑介质特性。但当模拟非均匀介质时，ε不是常量，则

G考虑模型中的介质特性。由于介电常数的增加，以及模型附加损耗，即并行的，故该节

点有集中在单电阻上的等效集总电路CC [4]。这些损失分别是由匹配的分流枝节和开放的分流枝节仿真的。

图7：非均匀介质的二维分流节点

由图7可得每个节点的分流总电容：

方程中的损耗节点为：

有损二维TMy (y方向) 的麦克斯韦方程组是：

建立网络参数和场分量之间的等价关系：

改变G0，Y4r1，可改变矩阵损耗。

在时间段 (k+1) 时的散射矩阵为：

电压V6由于损耗G0而消耗，不返回给矩阵。

4. 结论

在均匀介质中，二维分流节点的TLM方法如图8-11所示。自由空间参数为L，

2C，。介质的色散系数为0.7。输入一个适应均匀和非均匀介质的正弦信

号，其电压为1V，频率30MHz。TM模式的波沿y轴传播，输入节点为 (50,50)，相应的输出平面为Ez，Hx，Hy，输出节点为 (60,60) [5]。波在自由空间中自由传播，就像在完美的导体中一样。

图8：节点 (50,50) 输入30MHz正弦信号

图9：在均匀介质中传播的Ez

图10：节点 (60,60) 输出信号

图11：均匀介质中的Ez面的FFT图

在非均匀介质中，TL分流节点的TLM法实现如图12-15所示。用r4.6的介电材料FR4作为波的传播介质。介质的色散系数是0.7。用电压1V，频率30MHz的正弦波作为输入信号。TM模式的波沿y轴传播，输入节点为 (50,50)，相应的输出平面为Ez，Hx，Hy，输出节点为 (60,60)。

图12：节点 (50,50) 输入30MHz正弦信号

图13：在均匀介质中传播的Ez

图14：节点 (60,60) 输出信号

图15：均匀介质中的Ez面的FFT图

表1：传输线参数

表1表示在均匀和非均匀介质中模拟及波传播分析中所使用的传输线参数的分析表。

结论

本文表述了基于TLM方法的TL电磁波传播的分析。分别在均匀和非均匀介质中用TLM方法模拟二维分流节点。在任意节点，波以TM模式传播，并画出了输出平面在Ez，Hx，Hy的波。并用Matlab实现TLM算法。FFT图表示了波在均匀介质中传播与在非均匀介质中传播的不同。

参考文献

[1] G. Eason, P.B. Johns and R.L. Beurle. Numerical solution of 2-dimensional

scattering problems using a transmission-line matrix. Proc. IEE, 118(9):1203–1208, September 1971.

[2] Mathew N.O.Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics, CRC Press, 2009.

[3] W.J.R. Hoefer. The transmission line matrix method-theory and applications. IEEE Trans. Microwave Theory Techn., 33(10):882–3, October 1985.

[4] Christos Christopoulos, The Transmission-Line Modeling (TLM) Method in Electromagnetics, Morgan & Claypool, 2006.

[5] Pierre Saguet, Numerical Analysis in Electromagnetics, Wiley, 2012.