庐江县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A．M∪N

B．M∩N C．∁IM∪∁IN

D．∁IM∩∁IN

2． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A．fx=x，gx44x44x24,gxx2 B．fx=x2C．fx1,gx1,x033 D．fx=x，gxx 1,x03． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（ ） A．x3+2x2

B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2

B．增函数且最大值为3

4． 如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（ ） A．增函数且最小值为3

C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3

5． 已知集合AxN|x5，则下列关系式错误的是（ ）

A．5A B．1.5A C．1A D．0A 6． 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+2n（n∈N*），则A．

B．

C．

D．

+

+…+

=（ ）

7． 已知函数f（x）=log2（x2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ） A．8

B．5

C．9

D．27

8． 如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至

少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

9． 设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A．m⊥α，m⊥β，则α∥β B．m∥n，m⊥α，则n⊥α

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C．m⊥α，n⊥α，则m∥n

uuuuruuuruuur10．若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足CMxCAyCB，

uuuuruuur14则当取最小值时，CMCN（ ）

xyA．6 B．5 C．4 D．3 11．若，b0,1，则不等式ab1成立的概率为（ ）

22D．m∥α，α∩β=n，则m∥n

 B． C． D． 16128412．若函数yfx的定义域是1,2016，则函数gxfx1的定义域是（ ）

A．

A．0,2016 B．0,2015 C．1,2016 D．1,2017

二、填空题

213．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________.

【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.

14．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点； ③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点； ④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

15．设幂函数fxkx的图象经过点4,2，则k= ▲ ．

16．方程4xkx23有两个不等实根，则的取值范围是 ．

217．已知变量x，y，满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为

．

18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为 ．

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三、解答题

19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF； （Ⅱ）求证：BD⊥AE．

20．（本题满分12分）在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c，边c7，且 2tanAtanB3tanAgtanB3，又ABC的面积为SABC

33，求ab的值． 2第 3 页，共 17 页

21．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对

问题的概率分别为

．

（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．

22．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=（Ⅰ）求； （Ⅱ）若c2=b2+

23．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．

（Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若，求实数k的值； （Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

a2，求B．

a．

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24．（本小题满分12分）

如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．

（1）求证：BD⊥MC1；

（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．

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庐江县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M∪N={1，2，3，6，7，8}， M∩N={3}；

∁IM∪∁IN={1，2，4，5，6，7，8}； ∁IM∩∁IN={2，7，8}， 故选：D．

2． 【答案】D111] 【解析】

考

点：相等函数的概念. 3． 【答案】A

【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2， 又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）， 所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．

4． 【答案】D

【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3， 则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3， 故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．

5． 【答案】A

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【解析】

试题分析：因为AxN|x5 ，而1.5N,1N,.5A,1A，即B、C正确，又因为0N且

05，所以0A，即D正确，故选A. 1

考点：集合与元素的关系. 6． 【答案】D

【解析】解：∵Sn=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1． ∴∴==﹣

． +=

+…+

=

=

+

， +…+

故选：D．

【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7． 【答案】C

【解析】解：令log2（x2+1）=0，得x=0， 令log2（x2+1）=1，得x2+1=2，x=±1， 令log2（x2+1）=2，得x2+1=4，x=则满足值域为{0，1，2}的定义域有： {0，﹣1，﹣{0，1，{0，﹣1，﹣故选：C．

【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．

8． 【答案】

D

【解析】

古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计．

}，{0，﹣1，，

}，{0，1，﹣

，

}，

}，

，

}．

}，{0，﹣1，1，﹣

}，{0，﹣1，1，

．

}，{0，1，﹣ }，{0，﹣1，1，﹣

则满足这样条件的函数的个数为9．

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【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．

【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种； ∴所求的概率为故选D． 简单． 9． 【答案】D

【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β； B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；

C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m； 故选D．

=

【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较

D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．

【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．

10．【答案】D 【解析】

suuruvuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuuvuuuvuuuvuuBACACB；试题分析：由题知BMCMCBxCA(y1)CB，设BMkBA，则xk,y1k，

14y4x14144xy取最小值时，xy5时取到，此，最小值在xyxyxyxyyxuuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv21时y,x，将CMxCAyCB,CNCACB代入，则

332uuuuruuur1uuuv21uuuv2xyuuuvuuuv12CMCNxCAyCBCACB3xy33.故本题答案选D.

22233可得xy1，当

考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 11．【答案】D 【

解

析

】

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考点：几何概型． 12．【答案】B 【解析】

二、填空题

13．【答案】22.

【解析】分析题意得，问题等价于xax64只有一解，即xax20只有一解， ∴a80a22，故填：22. 14．【答案】 ①②⑤

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=定点，故②正确；

对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，

由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0 还有另外两解

不动点，故③④错误；

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0

，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，

，其中

是稳定点，但不是

或x=1，故①正确；

222对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳

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即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾； 假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾； 故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．

315．【答案】

2【解析】

13试题分析：由题意得k1,42k

22考点：幂函数定义 16．【答案】【解析】

如图所示，函数y4x2的图象是一个半圆，4x2和ykx23的图象，

303直线ykx23的图象恒过定点2,3，结合图象，可知，当过点2,0时，k，当直线

224k(02)305532，解得k，所以实数的取值范围是,.111] ykx23与圆相切时，即121241k2试题分析：作出函数y53, 124考点：直线与圆的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 17．【答案】

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【解析】解：作

易知可行域为一个三角形， 验证知在点A（1，2）时， z1=2x+y+4取得最大值8，

的可行域如图：

∴z=log4（2x+y+4）最大是， 故答案为：．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

18．【答案】

．

【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角 设边长为1，则B1E=B1F=∴cos∠EB1F=， 故答案为

，EF=

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

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三、解答题

19．【答案】

【解析】

【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF． （Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．

【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点， ∴O为BD的中点， 又∵F为BE中点，

∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF， 又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF， ∴DE∥平面ACF．

（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC， ∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD， ∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．

20．【答案】【解析】

11． 2

试

题解析：由tanAtanB3tanAgtanB3 可得

tanAtanB3，即tan(AB)3. 1tanAgtanB第 12 页，共 17 页

∴tan(C)3，∴tanC3，∴tanC3. ∵C(0,)，∴C3.

331331333，∴absinC，即ab，∴ab6.

2222227222222又由余弦定理可得cab2abcosC，∴()ab2abcos，

2372121112222∴()abab(ab)3ab，∴(ab)，∵ab0，∴ab.1 242又ABC的面积为SABC考点：解三角形问题．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 21．【答案】

【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列 【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为

， ，

分布列为：

．

（Ⅱ）设先回答问题

，再回答问题

， ， ，

分布列为：

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得分为随机变量，则的可能取值为．

．

应先回答所得分的期望值较高． 22．【答案】 即sinB（sin2A+cos2A）=∴sinB=

sinA， =

a2，得cosB=）a2，

sinA

sinA，

【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=

（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+

可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45° 题进行了互化．

23．【答案】

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问

【解析】

【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；

（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；

方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；

（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，

，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；

方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设则

，

，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN

面积的最大值．

【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．

因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r， 所以

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解得a=0，r=2，…（2分）

所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分） （II）方法一：因为所以

，∠POQ=120°，…（7分）

，…（6分）

所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分） 又

，所以k=0．…（9分）

方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 因为

，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）

由题意得：…（7分）

因为又

=x1•x2+y1•y2=﹣2，

，

，…（8分）

所以x1•x2+y1•y2=

化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0， 所以k2=0，即k=0．…（9分）

（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S． 因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分） 又根据垂径定理和勾股定理得到，而

，即

，…（11分）

…（13分）

当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分） 方法二：设四边形PMQN的面积为S．

当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时当直线l的斜率k≠0时，设

．…（10分）

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则所以

，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0

同理得到．…（11分）

=…（12分）

因为所以

， ，…（13分）

当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分） 24．【答案】

【解析】解：（1）证明：如图，连接AC，设AC与BD的交点为E， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，

又AA1⊥平面ABCD，

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BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD； 又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1， 又MC1⊂平面A1ACC1，∴BD⊥MC1.

（2）∵AB＝BD＝2，且四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AE＝2

AB2－BE2＝23，

又△BMC1为等腰三角形，且M为A1A的中点， ∴BM是最短边，即C1B＝C1M. 则有BC2＋C1C2＝AC2＋A1M2，

C1C2

即4＋C1C2＝12＋（），

2

46

解得C1C＝，

3

所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝S菱形ABCD×C1C 1146＝AC×BD×C1C＝×23×2×＝82. 223即四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为82.

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