2016-2017学年北京市海淀区初三第一学期期末数学试题及答案

数 学 2017.1

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置． ．．1．抛物线y(x1)3的顶点坐标是

A．(1，3) B．(1，3) C．(1，3) D．(1，3) 2．如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为 A．1:1 C．1:3 3．方程xx0的解是

A．x0 B．x1 C．x10，x21

D．x10，x21

C22

B．1:2 D．1:4

AD EB C 4．如图，在△ABC中，∠A=90°．若AB=8，AC=6，则cosC的值为

A． C．

3534

B． D．

4543

A B5．下列各点中，抛物线yx24x4经过的点是

A．(0，4) B．(1，7) C．(1，1) D．(2，8) 6．如图，eO是△ABC的外接圆，OCB40，则A的大小为

A．40 C．80

7．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是

A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm

B．50 D．100

OAB C8．反比例函数yA．y1y2

3x的图象经过点（1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是 B．y1y2 C．y1y2

D．不能确定

9．抛物线yx1t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是

A．1

B．2

C．3 D．4

210．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一

组实验数据：

V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3 P（单位：kPa） 96 48 38.4 32 P与V的函数关系可能是 A．P96V

2

B．P16V112 D．P96VyC．P16V96V176

5A'AB4321123二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．已知A为锐角，若sinA22，则A的大小为 度． 12．请写出一个图象在二，四象限的反比例函数的表达式 ． –4–3–2–1O–1x13．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定

的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD3.2cm，则AB的长为 cm．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段AB是位似图形，若A(1，2)，B(1，0)，A(2，4)，则B的坐标为 ．

15．若关于x的方程x2mxm0有两个相等实根，则代数式2m8m1的值为 ．

216．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．

如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线． BBCA 画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处， 使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB； （2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B， 画出另一条直角边所在的直线AD． 所以直线AD就是过点A的圆的切线． 请回答：该画图的依据是______________________________________________________．

三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） CEAAD 图1 图2 图3 A D B017．计算：(2)2sin30°(π3)3．

218．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D． 求证：△ABC∽△EBD．

1)和(1， 2)两点，求此二次函数的表达式． 19．若二次函数yxbxc的图象经过点(0，20．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数

关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；

（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻R应控制在

什么范围？请根据图象，直接写出结果 ．

21．已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10．

（1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求矩形面积S的最大值．

4O9R/ΩI/A222．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角

为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC． 23．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形． （1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tanBAP的值为 ；

（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tanBAP的值．

图1 图

24．如图，直线yax4(a0)与双曲线y

（1）求k与a的值；

（2）若直线yax+b(a0)与双曲线y

k

只有一个公共点A(1，2)． x

k

有两个公共点，请直接写出b的取值范围． x

y

FNMA1xO25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线． O（1）求证：AM是⊙O的切线； C DEB2A（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路． 26．有这样一个问题：探究函数y（1）先从简单情况开始探究：

① 当函数为y② 当函数为y（2）当函数为y12(x1)(x2)(x3)x的性质．

1212）； (x1)x时，y随x增大而 （填“增大”或“减小”(x1)(x2)x时，它的图象与直线yx的交点坐标为 ；

12(x1)(x2)(x3)x时，

下表为其y与x的几组对应值．

x y … … 1211316 0 3 1 1 3227 2 2 5237 3 3 4 7 92177 … … 161616①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；

②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： y ．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx24mx4m3的顶点为A． （1）求点A的坐标；

1110987654321（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OA． ①直接写出点O和A的坐标；

–1O1234567x–1②若抛物线ymx24mx4m3与四边形AOOA有且只有两个公共点，结合函数的图象，–2–3求m的取值范围．

–4 –5 –6 –7

28．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且PACPCAPA，PB，PC满足的等量关系．

2．连接PB，试探究

AP'PPB CB C图1 图2

A

（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP，连接PP，如图1所示．由△ABP≌△ACP可以证得△APP'是等边三角形，再由PACPCA30可得∠APC的大小为 度，进而得到

△CPP是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为 ；

（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明； （3）PA，PB，PC满足的等量关系为 ． 29．定义：点

P

为△ABC

内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，

△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点． 在平面直角坐标系xOy中，

（1）点A坐标为(2，23)， AB⊥x轴于B点，在E(2，1)，F (，A3322这三个点中，其中是△AOB的自相似点的是 （填字母）；

（2）若点M是曲线C：y个动点；

)，G (，1322)，

PB C图1

kx（k0，x0）上的一个动点，N为x轴正半轴上一

① 如图2，k33，M点横坐标为3，且NM = NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标； ② 若k1，点N为(2，0)，且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

321y图2 54y654321O123456x海淀区九年级第一学期期末练习

O12N345x图3

数 学 答 案 2017．1

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 B 8 A 9 D 10 D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．45； 14．（2，0）；

12．y（答案不唯一）；

x1 13．9.6；

15．1；

16．90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．解：原式=2213， -------------------------------------------------------------------------------4分

21 =3． ---------------------------------------------------------------------------------------------5分 18．证明：∵ED⊥AB，

∴∠EDB=90°． -------------------------------------------1分 ∵∠C=90°， -----------------------------------------------2分 ∴∠EDB=∠C． ------------------------------------------3分 ∵∠B=∠B， ---------------------------------------------4分 ∴△ABC∽△EBD． ----------------------------------5分

19．解：∵二次函数yx2bxc的图象经过（0，1）和（1，2）两点，

1c， ∴ ---------------------------------------------------------------2分

21bc．b4， 解得 -----------------------------------------------------------------4分

c1． ∴二次函数的表达式为yx24x1． ---------------------------------5分

20．（1）解：设反比例函数的表达式为I 由图象可知函数IUU0， RU， U0的图象经过点（9，4）

R∴4

U9

． ------------------------------------------------------------1分

∴U36． ---------------------------------------------------------------2分

36 ∴反比例函数的表达式为I（R0）． ----------------------------3分

R （2）R3.6．（答R3.6得1分，其它错误不得分） -------------------------------------5分 21．解：（1）Sx10x， -------------------------------------------------------------2分

其中0x10； ----------------------------------------------------3分

（2）Sx10x=x525． ---------------------------------------4分

2 ∴当x5时，S有最大值25． ---------------------------------------5分

22．解：∵ADBADC90°，BAD30°，CAD60°，AD=100， ------------2分

∴在Rt△ABD中，BDADtanBAD1003， --------------3分 3 在Rt△ACD中，CDADtanCAD1003. --------------4分 ∴BCBDCD4003． ------------------------------------------5分 323．（1）1． -------------------------------------------------------------------------------2分

（2）解法一：

A DB P C ------------------------------------------------3分

∵矩形ABCD， ∴B90°．

∵AP=AD=6，AB=3，

∴在Rt△ABP中，BPAP2AB233． -------------------------4分 ∴tanBAP 解法二：

A DBP3． --------------------------------------------5分 ABB P C ---------------------------------------------3分

∵矩形ABCD， ∴BC90°．

∵PD=AD=BC=6，AB=CD=3，

∴在Rt△CPD中，CPPD2CD233. ------------------------4分 ∴BPBCCP633．

∴在Rt△ABP中，tanBAP24．（1）∵直线yax4与双曲线yBP23． ---------------------5分 ABk只有一个公共点A（1，2）， x2a4， ∴ --------------------------------------------------------1分 k2．1a2，--------------------------------------------------------------------------------------------------2分 ∴

k2．----------------------------------------------------------------------------------------------3分

（2）b4或b4．（答对一个取值范围得1分） --------------------------------------------5分 25．（1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，

»BD»． ∴BCA12FNM1∴1CAD．

2OC DEB∵AM是∠DAF的角平分线，

1∴2DAF．

2∵CADDAF180°， ∴OAM1290°． ∴OA⊥AM．

∴AM是⊙O的切线．-----------------------------------------------2分

»BD»，»AC»AD， （2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得BC1312FCAD，ACAD；

A3125NM ②由D60°，AD=2，可得△ACD为

边长为2的等边三角形，1330°；

4OC DEB ③由OAOC，可得3430°； ④由CAN3OAN120°，可得

5430°，ANAC2；

⑤由△OAN为含有30°的直角三角形，可求ON的长．

（本题方法不唯一） -------------------------------------------------------------5分

26．（1）①增大； ----------------------------------------------------------------------1分 ②（1，1），（2，2）； ----------------------------------------------------------3分

（2）①

y1110987654321–1O–1–2–3–4–5–6–71234567x ----------------------------------------------4分

（2）该函数的性质：

①y随x的增大而增大；

②函数的图象经过第一、三、四象限； ③函数的图象与x轴y轴各有一个交点． ……

（写出一条即可） ----------------------------------------------5分

27．（1）∵ymx24x43mx23，

∴抛物线的顶点A的坐标为（2，3）． ----------------------------------------2分 （2）O（2，0）， -------------------------------------------------------------------3分

． -------------------------------------------------------------------4分 A（4，3）

（3）依题意，m0． --------------------------------------5分 将（0，0）代入ymx24mx4m3中，

3得m. --------------------------------------------6分

4y321–1O–1–2–3–412O'345xAA'23m0． --------------------------------------7分 428．（1）150， -----------------------------------------------------1分

∴PA2PC2PB2． ----------------------------------3分

（2）如图，作PAP120°，使APAP，连接PP，CP．过点A作AD⊥PP于D点． ∵BACPAP120°， 即BAPPACPACCAP， ∴BAPCAP． ∵AB=AC，APAP，

∴△BAP≌△CAP. --------------------------------4分

180oPAP30°． ∴PCPB，APDAPD2P'AD ∵AD⊥PP， ∴ADP90°.

3AP. ∴在Rt△APD中，PDAPcosAPD2PB C∴PP2PD3AP． ∵PACPCA60°，

∴APC180oPACPCA120°. ∴PPCAPCAPD90°． ∴在Rt△PPC中，PP2PC2PC2.

∴3PA2PC2PB2． ----------------------------------------------------------6分

 （3）4PA2sin2PC2PB2． --------------------------------------------------7分

229．（1）F，G．（每对1个得1分） -------------------------------------------------2分 （2）①如图1，过点M作MH⊥x轴于H点． ∵M点的横坐标为3，

333. ∴y3（3，3） ∴M.

y654321MNH3456O12x3x． ∴OM23，直线OM的表达式为y3图1

∵MH⊥x轴，

y654321∴在Rt△MHN中，MHN90°，NH2MH2MN2． MP1H 设NM=NO=m，则NHOHON3m. ∴3m232m2.

∴ON=MN=m=2． --------------------------------------------3分 如图2， △PON∽△NOM，过点P1作PQ⊥x轴于Q点， 111P ∴POON1． 11N，OQ2 ∵P1的横坐标为1，

∴y331. 333 ∴P1，13． ------------------------------------------------4分

y654321 如图3，△P2NM∽△NOM， ∴

P2NMN. ONMO23． 323， 3P212MH3456 ∴P2NONx图3

∵P2的纵坐标为233x. 33∴

∴x2.

23 ∴P22，3． -----------------------------------------------------5分

323 综上所述，P1，2，3． 3或 ②4． ----------------------------------------------------------------------6分

y54321M1M31M22N3M445Ox

（每标对两个点得1分） ----------------------------------------------8分