直角三角形的边角关系全章总结复习

2017—2018学年寒假辅导 第1讲 直角萨娇新的边角关系

一、 知识清单梳理 知识点一：锐角三角函数的定义 ∠A的对边a正弦: sinA＝＝ 斜边c关键点拨与对应举例 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 1.锐角三角函数 ∠A的邻边b余弦: cosA＝＝ 斜边c∠A的对边a正切: tanA＝＝. ∠A的邻边b 度数三角函数 30° 1 23245° 2 260° 3 21 22.特殊角的三角函数值 sinA cosA 2 2tanA 知识点二 ：解直角三角形 3 31 3

科学选择解直角三角形的方法口诀： 3.解直角已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 三角形已知直边求直边，理所当然用正切； 的概念 已知两边求一边，勾股定理最方便； 222(1)三边之间的关系：a＋b＝c； 已知两边求一角，函数关系要记牢； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 4.解直角aba(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝. 已知直边求斜边，用除还需正余弦. ccb三角形的例：在Rt△ABC中，已知a=5, 22常用关系 (4)相等的角 ①商的关系:tanA= ;②平方关系:sinA+cosA=1. ∠A=30°，则c= ,b= . (5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB, cosA=sinB. 知识点三 ：解直角三角形的应用 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下解直角三角形中“双直角三角形”的方的角叫做俯角．（如图①） 基本模型： (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡（1） 叠合式 （2）背靠式 比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，5.仰角、俯用α表示，则有i＝tanα. （如图②） 角、坡(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或度、坡角 铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） 和方向解题方法：这两种模型种都有一条公角 共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 6.解直角(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际三角形实问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； 际应用的。 1欢迎下载

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 一般步骤 (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 二、 专题讲座 精品文档 专题一：锐角三角函数的概念

注意：1.sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有 ，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关

2.取值范围 例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

①sinA(斜边)＝______， sinB(斜边)＝______；

②cosA③tanA例2. 锐角三角函数求值：

(斜边)＝______， cosB()＝______，

A的邻边＝______；

斜边B的对边＝______． tanB()()在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，

sinA＝__ ___，cosA＝___ ___，tanA＝____ __， sinB＝___ ___，cosB＝_____ _，tanB＝___ ___．

例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

类型一：直角三角形求值

3例4．已知Rt△ABC中，C90,tanA,BC12,求AC、AB和cosB．

4

例5.已知A是锐角，sinA8，求cosA，tanA的值 17

类型二. 利用角度转化求值：

例6．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2． 求：sinB、cosB、tanB．

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例7.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 sin ．

A D E

B F C

例7图 例8图 例9图 例13图

32

，则这个菱形的面积= cm． 5例9.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB8，AB=8,则tan∠EFCBC10，

3434的值为 ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

4355例8.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA类型三. 化斜三角形为直角三角形

例10.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．

例11．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，sinA1 3(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．

例12．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ABC的值．

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类型四：利用网格构造直角三角形

例13如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A．151025 B． C． D． 255105251 B． C． D．2 552对应训练： 1．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为（ ）A．

343432．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ） A． B. C. D.

555433. 如图，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D为AC上一点，若tanDBA1 ，则AD的长

5为( ) A．2 B．2 C．1 D．22

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=163求∠B的度数及边BC、AB的长.

3；

A D

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

C B

6．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

7. 在△ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是 （ ）

22 2

A.23 cm B.43 cm C.63 cm

D.12 cm

2

8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

AB。 4欢迎下载

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9．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到AC'B'，则tanB'的值为（ ） A.

111 B. C. D. 1 432A 10．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值是（ ）

A．

5

5

25 1

B. C. D. 2 52

O

专题二：特殊角的三角函数值

B

锐角 30° 45° 60° 当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而

sin cos tan 例1．求下列各式的值．

（1）2cos302sin45tan60 （2）tan60sin452cos30 （3）3+(2π－1)－

－1

0

23tan30°－tan45° 3

31 (5) tan45sin30； 2cos60sin45tan30(4)

221cos60

例2．求适合下列条件的锐角． (1)cos

0 (4)6cos(16)33 （5）已知为锐角，且tan(30)01 2(2)tan23 (3)sin2 323，求tan的值

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（）在ABC中，若cosA

例3. 三角函数的增减性

122(sinB)0，A，B都是锐角，求C的度数 221．已知∠A为锐角，且sin A <

1，那么∠A的取值范围是（ ） 2A. 0°< ∠A < 30° B. 30°< ∠A ＜60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°< ∠A < 90° 2. 已知∠A为锐角，且cosAsin30，则 （ ）

A. 0°<∠ A < 60° B. 30°<∠ A < 60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°<∠ A < 90° 例4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，sinA的周长．

012 求此菱形13

对应练习：

20131（1）211.计算：23tan45o(21.41)0 2.计算：

310sin30（3.14）

3.计算：

(2-3)0骣1+琪-琪桫2-2--2-2cos60°. 4计算：(2014－5)0－(cos60°)-2＋38－3tan30°；

5.计算：

6.计算：|1﹣

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|﹣（）﹣4cos30°+（π﹣3.14）．

﹣10

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317.已知α是锐角，且sin(α+15°)=． 计算84cos(3.14)0tan的值．

23

8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC3，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求： (1)∠BAD； (2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

9. 已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，tanB11，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD． 3

10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB

3，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD的值． 5A

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11.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，tanB3，AC43．求AB的长. 2

CAB专题三：解直角三角形的应用

例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）

例1图 例2图 A． 200米

B． 200

米

C． 220

米

D． 100（

）米

例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（ ） A．100m B．1003m C．150m D．503m 例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁，桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥。【来源：小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离。(结果精确到0.1m)(参考数据：cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)21*cnjy*com

C AB

例4.如图，一垂直于地面的灯柱， AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 45°夹角（∠CDB=45° ），在 C 点上方 2 米处加固另一条钢缆 ED， ED 与地面成 53° 夹角（∠EDB=53° ），那么钢缆 ED 的长度约为多少米？ （结果精确到 1 米。参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

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例5．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：（1）求出山坡BC的坡角∠ BCD的大小；

（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：

）

，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处

为一测量点，测得∠ DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠ FEA=60°．

对应练习：

1．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离DE32m，求点B到地面的垂直距离BC．

2.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．

3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

AC 9欢迎下载

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4．（如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）

第4题图 第5题图 A． 10

米

B． 10米

C． 20

米

D．

米

5．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，31.732)

专题四：三角函数的综合应用

1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC= (1) 求BD的长； (2) 求AD的长．

6． 3

2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=

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243，sinBAE，求CF的长． 55精品文档

3．如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：21.4，

） 31.7，结果保留整数．

M

A C 小明 小红

D B N

4．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

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