第２希望杯”全国数学邀请赛试题７届“
初中一年级 第１试
一、选择题
１．
下列计算中，正确的是（）
（Ａ）ｘ２＋ｘ３＝ｘ５． （
Ｂ）ｘ４－ｘ２＝ｘ２．（Ｃ）
ｘ２·ｘ３＝ｘ６．（Ｄ）ｘ３÷ｘ２＝ｘ．
２．
若ｎ个人完成一项工程需要ｍ天，则（ｍ＋ｎ）个人完成这项工程需要（
）天．
（Ａ）ｍｎｍ－ｍ＋ｎ． （
Ｂ）ｎｍ＋ｎ．（Ｃ）ｍ＋ｎ．（Ｄ）ｍｎｍｎｍ＋２
ｎ．
３．关于多项式１２ｘ３ ｙ＋５ｙ４ ｘ２
－２ｙ７＋４，
有以下叙述：
①该多项式是六次三项式；②该多项式是七次四项式；③该多项式是七次三项式；
④该多项式最高次项的系数是－２；⑤该多项式常数项是－４．
其中，正确的是（
）（Ａ）①④．（Ｂ）③⑤．（Ｃ）②④．
（Ｄ）②⑤．
４．Ｉｆ ａ，ｂ，ａｎｄ ｃ ａｒｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍ ｂｅｒｓｕｃｈ ｔｈａｔ ３ａ＝４ｂ＝５ｃ，ａｎｄ ｉｆ
ａ＋ｂ＝ｋｃ，ｔｈｅｎ＝（
）
（Ａ）１２
３５．
（Ｂ）５
７．
（Ｃ）７５
．
（Ｄ）３５１２
．
５．若非零自然数ａ，ｂ的最大公约数与最小
公倍数之和恰等于ａ，ｂ的乘积，则（ａ２ｂ２
ａ２＋ｂ２
）１０
（
）（Ａ）１．（Ｂ）１０２４．（Ｃ）２１０４．
（Ｄ）２０１６．
６．
如图１，在７×４的网格中，Ａ，Ｂ，Ｃ是三个格点，则∠ＡＢＣ＝（）（Ａ）１０５°． （
Ｂ）１２０°．（Ｃ）１３５°．图 （
Ｄ）１５０°．１
７．若ａ，ｂ，ｃ满足ａ２－６ｂ＝－１４，ｂ２
－８ｃ＝－２３，ｃ２
－４
ａ＝８，则ａ＋ｂ＋ｃ的值是（）（Ａ）６．
（Ｂ）７．
（Ｃ）８．
（Ｄ）９．
８．在１，２，３，…，９９，１００这１００个自然数中，
不是２，３，５的倍数的数有ｋ个，
则ｋ＝（）（Ａ）２５．
（Ｂ）２６．
（Ｃ）２７．
（Ｄ）２８．
９．
若定义ａ＊ｂ＝ａｂ＋ａ＋ｂ，从左到右依次计算ｘ＝１＊２＊３＊…＊（ｎ－１）＊ｎ，则满足ｘ＞２
０１６的最小正整数ｎ是（）（Ａ）６．（Ｂ）７．
（Ｃ）８．
（Ｄ）９．
１０．将２５个棱长为１的正方体积木摆成一
堆，则形成的几何体的表面积最小是（
）（Ａ）２５．
（Ｂ）５０．
（Ｃ）５４．（Ｄ）７０．
二、Ａ组填空题
１１．［（－２０）＋（－１６）］×［（２＋０）＋１×６
］×［２×０－（１＋６）］＝
．１２．数字和等于２０１６的最小自然数中含有数字９的个数是
．
１３．有一列数，第一个数是２０，
第二个数是１６，从第三个数开始的每个数都是前面所有数的平均数，则在这列数中，前２０１６个数的和等于
．
１４．三个不等于零的有理数ａ，ｂ，ｃ满足（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）＝０，则（ａ＋ｂ＋ｃ）
（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）（ａ５＋ｂ５＋ｃ５）（ａ７＋ｂ７＋ｃ７）
ｓｋ＝（ａ９＋ｂ９＋ｃ９）÷（ａ２５＋ｂ２５＋ｃ２５
）
＝．１５．若ｘ，ｙ都是正整数，ｘ是６的倍数，且ｘ２－ｙ２＝２０１６，这样的（ｘ，ｙ）共有组．
１６．关于ｍ的方程６ｍ＋ｎ＝２
１的根是ｎ－７，那么ｍ的值是．
１７．如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是ＡＣ，
ＡＢ，ＥＤ，ＢＦ的五等分点、四等分点、三等分点、二等分点．若△ＡＢＣ的面积是图２
２５，则△ＦＧＤ的面积是
．
１８．小明有１０分、１５分和２０分三种面值的邮票共３０张，面值的总和为５元，其中２０分邮票比１０分邮票多
张．
１９．Ｉｆ ｐ ａｎｄ ｑ
ｉｓ ｐｒｉｍｅｎｕｍ ｂｅｒｓ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｐ＝２ｑ２＋
１，ｔｈｅｎ ｐ３－２０１６ｑ２
＝
．２０．
如图３，两张４８×４０的长方形纸片有一个顶点重合，重叠放置的尺寸如图所标示．则图中阴影部分的面积图３
＝
．三、Ｂ组填空题
２１．对任意的四个有理数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，
定义ａ ｂ２０１５
２０１６运算ｃ ｄ＝ａｄ－ｂｃ，则（－１
）１（－
１）２０１４
２的相反数是；倒数的绝对值是．
２２．某公园的门票是１０元／人，
团体购票有如下优惠：
购票人数票
价
１～３０人无折扣
３１～６０人超出３０人的部分，票价打八折６０人以上
超出６０人的部分，
票价打五折某校七年级两个班到该公园秋游，其中甲班多于３０人，乙班不足３０人，如果以班为单位分别购票，两个班一共应付５９８元；如果两个班作为一个团体购票，一共应付５４５元，
则甲班有人，乙班有
人．
２
３．如图４，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ的中点，点Ｅ在边ＡＣ上，且ＡＥ∶ＥＣ＝２∶１，ＡＤ与ＢＥ交于点Ｆ，则ＡＦ∶
ＦＤ＝
，ＢＦ∶ＦＥ＝
．
图４
２４．如果质数ｐ和ｑ使得ｐ２＝２ｑ２
＋１，
那么ｐ＝，ｑ＝
．２５．
有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图５所示，如果把一个骰子点数是４的一面放在桌子上，那么其它五个可以看得到的面上的数字的和是１７．
现在把这三个骰子放在桌子上（
如图６），凡是能看得到的点数之和最大是，最小是
．
图５图６
答·提示
一、选择题
题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案
Ｄ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ
提示：
１．
按运算规则进行，得ｘ２＋ｘ３＝ｘ２（１＋ｘ）
，ｘ４－ｘ２＝ｘ２（ｘ２－１
），ｘ２×ｘ３＝ｘ５，ｘ３÷ｘ２＝ｘ．
故选（Ｄ）．
２．
因为ｎ个人完成一项工程需要ｍ天，则每人每天的工作量是１
ｍｎ，于是（ｍ＋ｎ）个人每天的工作量是１
ｍｎ×（
ｍ＋ｎ），所以完成这项工程需要ｍｎｍ＋ｎ天．
故选（Ａ）．
３．
说法正确的是②④．多项式里最高次项的次数就是多项式的次数，所以该多项式是七次四项式；易知该多项式最高次项的系数是－２．故选（Ｃ）．
４．译文：如果ａ，ｂ和ｃ是正数使得３ａ＝４ｂ＝５ｃ，ａ＋ｂ＝ｋｃ，则ｋ＝（ ）
（Ａ）１２３５． （Ｂ）５７． （Ｃ）７５． （
Ｄ）３５１２．解 由３ａ＝４ｂ＝５ｃ，
得ａ＝５ｃ５
ｃ３，ｂ＝４
，
所以ａ＋ｂ＝５ｃ５ｃ２０ｃ＋１５ｃ３５
ｃ３＋４＝１２＝
１２．因为ａ＋ｂ＝ｋｃ，所以ｋｃ＝３５
ｃ１２．
于是ｋ＝３５１２
．
故选（Ｄ）．
５．假设ａ＞ｂ，则［ａ，ｂ］被ａ整除，ａｂ被ａ整除，因为ａ，ｂ的最大公约数与最小公倍数之和恰等于ａ，ｂ的乘积，所以（ａ，ｂ）被ａ整除．但１≤（ａ，ｂ）≤ｂ＜ａ，矛盾．类似地ａ＜ｂ的情况也不可能．所以ａ＝ｂ．由条件得ａ＋ａ＝ａ２，即２ａ＝ａ２，
因为ａ＞０，所以ａ＝２．由此
ａ＝ｂ＝２．
（ａ２２
０
于是ｂａ２
＋ｂ２
）１０
（２＝２·２２
２２＋２
２
）１＝２１０
＝１
０２４．故选（Ｂ）．
另解 由题设可知
［ａ，ｂ］＋（ａ，ｂ）＝ａ·ｂ，又因为
（ａ，ｂ）［ａ，ｂ］＝ａｂ，所以（ａ，ｂ）＋［ａ，ｂ］＝（ａ，ｂ）·［ａ，ｂ］，则
［ａ，ｂ］＝
（ａ，ｂ）（ａ，ｂ）－１＝１＋１
（ａ，ｂ）－１
．因为［ａ，ｂ］必是自然数，则１
（ａ，ｂ）－１也是自然数，
所以（ａ，ｂ）＝２，［ａ，ｂ］＝２，
于是
ａ＝２，ｂ＝２．
１０
因此（ａ２ｂ２
ａ２
＋ｂ２
）＝（２２·２２
２２＋２
２
）１０
＝２
１０
＝１
０２４．故选（Ｂ）．
６．如图７所示，延长ＡＢ至格点Ｐ，连接ＰＣ，
点Ａ，，Ｐ在长方形ＡＰ的对角线上，因此Ａ，Ｂ，Ｐ三点共图７
线．直观发现，ＣＢ，ＣＰ作为
×２方格的对角线，ＣＢ＝ＣＰ．我们想像将直角三角形ＢＤＣ切下，移到ＣＥＰ的位置，由于∠ＢＣＤ＋∠ＰＣＥ＝∠ＢＣＤ＋∠ＣＢＤ＝９０°，则∠ＢＣＰ＝９０°．又ＣＢ＝ＣＰ．
所以三角形ＢＣＰ是等腰直角三角形，
因此∠ＰＢＣ＝４５°，所以
∠ＡＢＣ＝１３５°．７．
题目中的三式相加，有（ａ２－６ｂ）＋（ｂ２－８ｃ）＋（ｃ２
－４
ａ）＝－１
４－２３＋８，即（ａ２－４ａ）＋（ｂ２－６ｂ）＋（ｃ２
－８ｃ）＝－２９，则（ａ２－４ａ＋４）＋（ｂ２－６ｂ＋９）＋（ｃ２
－８
ｃ＋１６）０，
于是（ａ－２）２＋（ｂ－３）２＋（ｃ－４）２＝０．
要使上述等式成立，只能是
ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝４，
所以ａ＋ｂ＋ｃ＝９，
代入三个原式中，均成立，
故选（Ｄ）．
８．在这１００个数中，２的倍数有５０个，３的倍数有３３个，５的倍数有２０个，２×３的倍数有６个，２×５的倍数有１０个，３×３的倍数有６个，×３×５的倍数有３个．
如图８，从里至外依次求出相应的数，这些
Ｂ１＝１２数相加为
３＋（１３＋７＋３）＋（２７＋１４＋７）＝７４，１００－７４＝２６，故选（Ｂ）．
图８
９．因为ａ＊ｂ＝ａｂ＋ａ＋ｂ＝ａｂ＋ａ＋ｂ＋１－１＝（ａ＋１）（ｂ＋１）－１，
则１＊２＝（１＋１）（２＋１）－１＝６－１＝５，５＊３＝（５＋１）（３＋１）－１＝２４－１＝２３，３＊４＝（２３＋１）（４＋１）－１＝１２０－１＝１１９，１９＊５＝（１１９＋１）（５＋１）－１＝７２０－１＝７１９，１９＊６＝（７１９＋１）（６＋１）－１＝５
０４０－１＝５
０３９＞２０１６，所以ｎ＝６，
故选（Ａ）．
１０．２５块边长为１的正方体积木堆放成一个几何体．当小积木自相重合的面最多时表面积最小．设想２７块边长为１的正方体积木，其表面积为５４
（图９（１））．现在要去掉２块小积木成为２５块，其总表面积不会减少．要使得总表面积最小，发现在一个角处去掉相邻的两块小积木时（图９（２）），或在两个角上各去掉一块小积木时（图９（３）），总表面积不变，与边长为３的立方体的表面积相等，为
３×３×６＝５４．
所以堆放２５块小积木的最小表面积是５４．如图（２）或图９（３）所示．故选（Ｃ）．
图９
二、Ａ组填空题
题号１１ １２ １３ １４ １５答案
２０１６ ２２４ ３６２８８ １ ２１６
１７ １８ １９
２０
答案
２
５
１０
－１１２８５ ９
８４ 提示：
１１．［（－２０）＋（－１６）］×［（２＋０）＋１×６
） ×（
２×０－（１＋６）］＝（－３６）×８×（－７）＝２
０１６．１２．
要使数字和确定的自然数最小，必须数位尽量少且每位数字尽可能大，等于９．而
２０１６÷９＝２２４．
所以数字和等于２０１６的最小自然数是个２２４位数，每位都是数字９．
１３．因为第一个数是２０，第二个数是１６，第三个数就是这前两数的平均数，即１８．发现从第三个数开始，后面每一个数都是１８．所以前２０１６个数的和就是
２０＋１６＋１８×２０１４＝１８×２０１６＝３６２８８．１４．
三个不等于零的有理数ａ，ｂ，ｃ，满足（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）＝０，至少有两个数互为相反数．为确定起见，不妨设ｂ＋ｃ＝０，
则有ｂ２＋ｃ３＝０，ｂ５＋ｃ５＝０，ｂ７＋ｃ７＝０，ｂ９＋ｃ９＝０，
ｂ２５＋ｃ２５＝０，
于是（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）（ａ５＋ｂ５＋ｃ５）（ａ７ｂ７＋ｃ７）（ａ９＋ｂ９＋ｃ９）／（ａ２５＋ｂ２５＋ｃ２５
）＝（ａ）（ａ３）（ａ５）（ａ７）（ａ９）（ａ２
５
）ａ１＋３＋５＋７＋９
＝ａ２
５
＝ａ２５ａ２
５
＝１．
１５．由ｘ是６的倍数，设ｘ＝６ａ（ａ为正整数）．
由题设，有 （６ａ）２－ｙ２
＝２
０１６，整理得ｙ２
＝３
６（ａ２－５６），故ｙ２是３６的倍数，
可知ｙ是６的倍数．＋２１７９设ｙ＝６ｂ（ｂ为正整数）．于是有（６ａ）２－（６ｂ）２
＝２
０１６，整理得
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝５
６，因为ａ＋ｂ＞ａ－ｂ且ａ＋ｂ，ａ－ｂ同奇偶，有以下两种情况：
①烄烅ａ＋ｂ＝２８，烄ａ１＝１５，烄ｘ１＝９０，烆ａ－ｂ＝２，烅烆ｂ烅１＝１３，烆ｙ１＝７８；②烄烅ａ＋ｂ＝１４，烄ａ２＝９，烄ｘ２＝５４，烆ａ－ｂ＝４，，烅烆ｂ２＝５，烅烆ｙ２＝３０．得（９０，７８），（５４，３０
），共２组，故填２．１６．因为ｎ－７是方程６ｍ＋ｎ＝２１的根，则６（ｎ－７）＋ｎ＝２
１，整理，得７ｎ＝６３，解得
ｎ＝９，
把ｎ＝９代入６ｍ＋ｎ＝２１，
得ｍ＝２．１７．
由题可知Ｓ４３２△ＦＧＤ＝（１
５×４×３×
２）Ｓ△ＡＢＣ＝１
５Ｓ△ＡＢＣ＝
１
５
×２５＝５．１８．不妨设１０分、１５分和２０分三种面值的邮票分别买了ａ张、ｂ张和ｃ张，
那么有烄烅ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，①烆１０ａ＋１５ｂ＋２０ｃ＝５００，②
②－①×１
５，得到５（ｃ－ａ）＝５０，所以
ｃ－ａ＝１
０．１９．译文：如果质数ｐ和ｑ使得ｐ＝２ｑ２
＋１，那么ｐ３
－２０１６ｑ２
＝
．
解 正整数ｑ被３除，所得余数分为３类：
，１，２．若余数是１，即ｑ＝３ｋ＋１（ｋ＞０，
是整数），则 ｐ＝２（３ｋ＋１）２
＋１
＝２
（９ｋ２＋６ｋ＋１）＋１＝３
（６ｋ２＋４ｋ＋１），所以ｐ含有因数３，
这与ｐ是质数矛盾．若余数是２，即ｑ＝３ｋ＋２（ｋ＞０是整数）
，则 ｐ＝２（３ｋ＋２）２
＋１＝２（９ｋ２＋１２ｋ＋４）＋１
＝３
（６ｋ２＋８ｋ＋３），所以ｐ也含有因数３，这与ｐ是质数矛盾．所以，只能是余数是０，则ｑ＝３
ｋ．因为ｑ是质数，所以ｋ＝１，从而ｑ＝３，此时
ｐ＝１
９．于是 ｐ３－２０１６ｑ２＝１
９３－２０１６×３２
＝６
８５９－１８１４４＝－１
１２８５．２０．如图１０，标注字母Ａ，，Ｃ和Ｄ，连接ＡＣ．因为
ＡＤ＝４
８，ＣＤ＝４０－２６＝１４，所以Ｓ１
△ＡＣＤ＝
２
ＡＤ×ＣＤ图１０
＝
１
２
×４８×１４＝３
３６．因为
ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＤＣ２＝４８２＋１
４２
＝２
５００＝５０２
．ＢＣ２＝ＡＣ２－ＡＢ２＝５０２－４０２＝３
０２
，所以
ＢＣ＝３０．
１１
△ＡＢＣ＝２ＢＣ×ＡＢ＝２×３
０×４０＝６００．所以
Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝３３６＋６００＝９３６．因此
Ｓ阴影＝４８×４０－９３６＝９８４．三、Ｂ组填空题
题号２１ ２２ ２３ ２４ ２５
答案
３；１
３
３６；２５ ４∶１；３∶２ ３；２ ５
１；２６ 提示
２１．
由定义新运算可知，（－１）２０１５ １２０１６
（－１
）２０１４
２＝（－１）２０１５×２－１２０１６×（－１
）２０１４
ＢＳ０＝－１×２－１×１
＝－３．
２０１５２０１６所以（－１） １
（－１）２０１４
２的相反数是３；倒数是－
１３
，倒数的绝对值是１３．
２２．如果两班合起来恰为６０人，则６０人购团体票应付
３０×１０＋（６０－３０）×８＝５
４０（元）．实际一共付了５４５元，
多付５元，表明恰有一个人是按五折付的钱．所以两班共有学生人
６０＋１＝６１
（人）．设乙班人数为ｘ，则甲班人数为（６１－ｘ）．显然甲班人数不超过６０人，
则１０ｘ＋［３０×１０＋（６１－ｘ－３０）８］＝５
９８，解得ｘ＝２
５，所以甲班有６１－２５＝３６（人），乙班有２５人．
２３．如图１１，设△ＡＢＣ的面积为６，则
Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＣＤ＝３，Ｓ△ＡＢＥ＝４，Ｓ△ＢＣＥ＝２，Ｓ△ＥＢＤ＝Ｓ△ＥＣＤ＝１，图１１
Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ△ＡＤＣ－Ｓ△ＥＤＣ＝３－１＝２．
所以ＡＦＳ△ＡＢＦＤ＝ＥＳ＝４
，△ＥＢＤ１即
ＡＦ∶ＦＤ＝４∶１．ＢＦＦＥ＝Ｓ△ＡＢＤＳ＝３
，△ＡＤＥ２
故
ＢＦ∶ＦＥ＝３∶２．
另解２ 如图１２，
连接ＣＦ．
设Ｓ△ＦＣＤ＝ａ，因为点Ｄ为ＢＣ的中点，故Ｓ△ＦＤＢ＝Ｓ△ＦＣＤ＝ａ．
设图１２
Ｓ△ＦＥＣ＝ｂ，因为ＡＥ∶ＥＣ＝２∶１，故
Ｓ△ＡＥＦ＝２Ｓ△ＦＥＣ＝２ｂ．
设Ｓ△ＡＦＢ＝ｃ，
因为点Ｄ为ＢＣ的中点，故
Ｓ△ＡＤＢ＝Ｓ△ＡＣＤ．如图１２，
可知ｃ＋ａ＝２ｂ＋ｂ＋ａ，
可得ｃ＝３ｂ．因为ＡＥ∶ＥＣ＝２∶１，所以Ｓ△ＡＥＢ＝２Ｓ△ＣＢＥ，可知ｃ＋２ｂ＝２（ａ＋ａ＋ｂ）
，可得
ｃ＝４ａ．
ＡＦ∶ＦＤ＝Ｓ△ＡＦＢ∶Ｓ△ＦＤＢ＝ｃ∶ａ＝４∶１，ＢＦ∶ＦＥ＝Ｓ△ＡＦＢ∶Ｓ△ＡＥＦ＝ｃ∶２ｂ＝３
ｂ∶２ｂ＝３∶２．２４．将ｐ２＝２ｑ２＋１，改写为２ｑ２
＝（ｐ－１）（ｐ１），则ｐ一定是奇数，于是ｐ－１，ｐ＋１同为偶数，所以（ｐ－１）（ｐ＋１）被４整除，则２ｑ２
被
整除，ｑ２
被２整除，
于是ｑ为偶数．又因为ｑ为质数，所以ｑ＝２，
故ｐ＝３．２５．
骰子上点数的位置是有规律的，你可以发现相对的两个面上点数的和是７，所以一个骰子上点数之和是２１．为了使三个骰子上能看得到的点数之和最大，
应该尽可能把点数小的面放在桌面上和两个骰子相接的两个面上．当然在放置每个骰子时，也必须注意各个面上点数的位置．
要使点数的和最大，分析三个骰子的位置，可以知道放在里面的那个骰子有三个面上的点数是看不到的，所以这三个面上应该放１，２，３这三个点数．另两个骰子都有两个面上的点数是看不到的，所以这两个骰子的这两个面上的点数应该是１和２，这样就可以知道这三个骰子凡是能看得到的点数之和最大是
２１×３－６－３－３＝５１．
相反，要使点数的和最小，应该把点数大的面放在桌面上和两个骰子相接的两个面上．所以，这
三个骰子凡是能看得到的点数之和最小是
２１×３－１５－１１－１１＝２６．
＋４