山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

高二数学(理科)试题

一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1. 若全集U{1,2,3,4,5}，A{1，2，3},B{2，4},则ACUB= A. {2，4} B. {1，3} C. {1，2，3，4} D. {1，2，3，4，5} 2. 已知命题p：x0，总有(x1)ex1，则p为

A. x00，使得(x01)e01 B. x00，使得(x01)e01 C. x0，总有(x1)ex1 D. x0，总有(x1)ex1 3. 设z2i(13i)，则z的虚部为

A. 23 B. 23 C. 2i D. 2 4. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为 A.

xx3112517 B. C. D. 4241218lgx,xa05. 设f(x)，若f(f(1))1， 2x3tdt,x00则实数a的范围是

A. a1 B. a1 C. a1 D. a1

111n(nN*,n1),，第二步证明由“k到6. 用数学归纳法证明：1n2321k+1”时，左端增加的项数为 A. 2k1 B. 2 C. 21 D. 21

kkk7. 若f(x)12xbln(x2)在1,上是减函数，则b的取值范围是 2A. [1,) B. (1,) C. (,1] D. (,1)

2S”，类比上c8. 在平面几何中，有“若ABC的周长c,面积为S,则内切圆半径r述结论，在立体几何中，有“若四面体ABCD的表面积为S，体积为V，则其内切球的半径r A.

VV2V3V B. C. D. S2S3SS1

9. 若x轴为曲线f(x)xax1的切线，则a 43131A. B.  C. D. 

4242310. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

23 B. 4+ 3223C. 6+ D. 6+

32A. 4+

11. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是

y A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) -2 C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)

12. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形

边上再连接正方形„„，如此继续，若共得到1023个正方形，

O 1 2 x 2，则最小正方形的边长为 21111A. B. C. D.

81632设初始正方形的边长为

二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

xy113.设x,y满足约束条件xy3，则zx2y的最大值是 .

x0,y033x),b(sinx,),x[0,],则函数f(x)ab的最大值14.已知a(,cos222为 .

15.要做一个无盖型容器，将长为15cm，宽为8cm的长方形铁皮先在四角分别截去一个相同的小正方形后再进行焊接，当该容器容积最大时高为 cm. 16.设抛物线y2x的焦点为F，过点M

23,0的直线与抛物线相交于A,B两点，与

2

抛物线的准线相交于C，|BF|2，则∆BCF和∆ACF的面积之比为 . 三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分10分)

在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，sinAsinB2sinC,a2b （1）证明：ABC是钝角三角形； （2）若SABC415，求c的值. 3频率组距

18.(本小题满分12分)

某工厂对一批产品的质量进行了 抽样检测，右图是根据抽样检测 后的产品净重（单位：克）数据绘制 的频率分布直方图.已知样本中产品 净重在[70,75)克的个数是8个. （1）求样本容量；

（2） 若从净重在[60,70)克的产品中

0.060 0.050 x 0.020 0.010 0 60 65 70 75 80 85 90 克 任意抽取2个，求抽出的2个产品恰好是净重在[65,70)的产品的概率. 19.(本小题满分12分) 已知等比数列{an}满足：a111，a1,a2,a3成等差数列，公比q(0,1) 28（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn2nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

20.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面

ABCD，且PAPD2AD. 2（1）求证：平面PAB平面PDC

3

（2）在线段AB上是否存在一点G，使得二面角CPDG的余弦值为求

1.若存在，3AG的值；若不存在，说明理由. AB

21. (本小题满分12分)

x2y23已知椭圆E：221ab0过点1,，左右焦点为F1、F2，右顶点为A，

ab2上顶点为B，且|AB|7|F1F2|. 2（1）求椭圆E的方程； （2） 直线l:yxm与椭圆E交于C、D两点，与以F1、F2为直径的圆交于M、

N两点，且

7|CD|36，求m的值. |MN|71，曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴. x22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)alnx（1）求f(x)的最小值； （2）比较f(x)与f()的大小； （3）证明：x0时，xelnxex.

附加题（每小题5分，共15分）

xx31xx3,xa23. 已知函数f(x)2，若存在实数b，使函数yf(x)b有两个零点，则a

x,xa的取值范围是_________

x2y224. 已知点F1,F2分别为双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线左

ab|PF2|2支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是_______.

|PF1|25. 已知函数f(x)mex1.（其中e为自然对数的底数,），若f(x)0有两根

xxx1,x2且x1x2,则函数y(e2e1)(x1m)的值域为_______. x2x1ee4

忻州一中20152016学年度第二学期期中考试

高二数学(理科)参及评分标准

一．选择题(每小题5分，共60分)

1-5: BADBD 6-10: BCAAD 11-12:DC 二．填空题(每小题5分，共20分) 13. 3 14.

354 15. 16.

325三．解答题

17. (本小题满分10分)

（1）证明：因为sinAsinB2sinC，由正弦定理得ab2c，

2c， „„„3分 3422162ccc222bca199所以cosA0，

22bc42c23所以A为钝角，故ABC为钝角三角形． „„„6分

151（2）由cosA，得sinA， „„„9分

44又a2b，可得b所以SABC112154bcsinAc215，解得c4． „„„12分 2234318.(本小题满分12分)

（1）设样本容量为N，由频率分布直方图可知:(0.010.022x0.050.06)51,

8，解得N40 „„„6分 N （2）由频率分布直方图可知:净重在[60,65)克的产品有0.01540=2个；净重在[65,70)克的产品有0.02540=4个；所以净重在[60,70)克的产品有6个。

设净重在[60,65)克的2个产品编号为a,b；净重在[65,70)克的4个产品编号为c,d,e,f,则从净重在[60,70)克的产品中任意抽取2个的所有基本事件有15种：(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(a,b),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e), (d,f),(e,f)； „„„9分 其中事件A“抽出的2个产品恰好是净重在[65,70)的产品”包含6个基本事件：(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)；

62所以由古典概型知P(A)== „„„12分

155解得x0.04 因为5x19.(本小题满分12分)

（1）设等比数列an公比为q，

5

a1111，a1,a2,a3成等差数列，2a2a1a3， „„„2分 28812即2a1qa1a1q，

813整理得4q28q30，解得q或q， „„„4分

221111又q(0,1)，q，ann „„„6分

22222nn（2）根据题意得bn2nan=nn1，

223n1nSn112n2n1， ①

2223n1n2Sn22n3n2， ② „„„8分

222111n②－①得Sn212n2n1

2222111n=2(12n2)n1 „„„10分

222211n12n=4n2 „„„12分 2n112n121220.(本小题满分12分)

n1(1)AD2，PAPD2，PAPDADPDAP，

又平面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD且ABAD， AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD， 又APAPA，且AP、AB平面PAB，PD平面PAB，

又PD平面PDC，平面PAB平面PDC „„„6分 (2)如图,取AD的中点O,连接OP,OF,因为PA=PD,所以PO⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD,

而O,F分别为AD,BD的中点,所以OF∥AB,又ABCD是正方形,故OF⊥AD,

以O为原点，射线OA，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz， 则有A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,0,1), „„„8分

若在AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为

2221 ,连接PG、DG, 36

设G(1,a,0)(0≤a≤2), 则DP=(1,0,1),GD =(-2,-a,0),由(2)知平面PDC的一个法向量为PA=(1,0,-1), nDP0xz0设平面PGD的法向量为n=(x,y,z).则,即，. 2xay0nGD0令y=-2,得n=(a,-2,-a)， „„„10分 11AG11 ,解得a，a=，此时222AB4322a411AG1. 在线段AB上存在点G(1,,0)使得二面角C-PD-G的余弦值为，23AB4所以|cos|=2a „„„12分 21.(本小题满分12分) （1）椭圆E过点1,将该点代入椭圆方程得由已知|AB|32191，① „„„1分 a24b277|F1F2|，a2b22c，即a2b27c2② 22a2222又cab ③，将①②③联立得， „„„3分

b3x2y21 „„„5分 椭圆方程为4322（2）根据题意，以F1、F2为直径的圆方程为xy1，所以圆心(0,0)到直线l的|m|m2距离为d，所以|MN|=21， „„„7分

22yxm设C(x1,y1)，D(x1,y1)，联立x2y2，

134222化简得7x8mx4m120，△=48(7m)0，

8m4m212x1x2，x1x2 „„„9分

778m24m21242213m2， „„„10分 =|CD|2()4777213m236m27|CD|36由得742， 21772|MN|7112整理得m，即m，

42 7

经检验，当m11时，△=112(7m2)0成立，m. „„„12分 2222. (本小题满分12分) （1）f(x)a112(x0)，根据题意知f(1)0，即a1，f(x)lnx，

xxx„„2分

11x122，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减； xxx当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；f(x)minf(1)1. „„„4分

1111（2）令g(x)f(x)f()=lnx[ln()x]=2lnxx，

xxxx21(x1)2g(x)210，g(x)在（0，）上单调递减„„„6分

xxx21又g(1)0当0x1时，g(x)g(1)0，f(x)f()；

x1当x1时，g(x)g(1)0，f(x)f()；

x1当x1时，g(x)0，f(x)f(). „„„8分

x1x2xx3（3）要证xelnxex，即证:lnxx „„„10分

xex22xexexx22xx2令h(x)x，即证f(x)h(x)，h(x)= ， 2xxeee当0x2时，h(x)0，h(x)单调递增；

4当x2时，h(x)0，h(x)单调递减；h(x)maxh(2)21，

e又由（1）知f(x)min1，f(x)1，f(x)h(x)，得证. „„„12分

f(x)

附加题：（每小题5分，共15分）

（1,3] 25. （,0）23. a0或a1 24.

8