山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

高二数学(理科)试题

一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1．直线x3y10的倾斜角为

A. 30 B. 600 C. 1200 D. 1500 2．在ABC中，“ABAC0”是“ABC为锐角三角形”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

0（0，2）3. 在平面直角坐标系中，点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 （4,0） A. x2y40 B. x2y0

C. 2xy30 D. 2xy30

4．已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n,有下列四个命题:

①若m//n,m,则n; ②若m,m,则//; ③若m//n,n,则m//; ④若m//,α ∩ β = n ,则m//n. 其中正确命题的个数是 开始 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 执行如图所示的程序框图，若输入x的值为4， 则输出的结果是

输入x 1A. 1 B. 

2135C.  D. 

84226．直线kxyk0与圆xy2x0有公共点，

则实数k的取值范围是 A. [y1x1 2xy 否 |xy|1 ？ 是 输出y 结束 33,] 33

B. (,33][,) 33C. [3,3] D. (,3][3,)

7. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论错误的是 ．． A. AC∥平面A1BC1 B. BC1⊥平面A1B1CD

C. AC1BD D. 异面直线AD1与DC1所成的角为45

→→228. 已知直线xya与圆xy4交于A、B两不同点,O是坐标原点,向量OA、OB满足→→→→

|OA+OB|=|OAOB|,则实数a的值是 A. 2 B. 2 C. 6 D. 2

9．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中

0 长度最长的是

A.

6 B. 7

C. 22 D. 3

10. 过点M(1,2)的直线l将圆：(x2)2y29分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程为

A. x1 B. y1 C. xy10 D. x2y30 11. 已知函数f(x)下列说法正确的是 A. 在[3sinx2cos2x2（10)的最小正周期为.对于函数f(x)，

5对称 1226,3]上是增函数 B. 图象关于直线xC. 图象关于点(3,0)对称

个单位，所得函数图象关于y轴对称 612．在三棱锥SABC中，SA平面ABC,SA4,底面ABC是边长为3的正三角形，则

D. 把函数f(x)的图象沿x轴向左平移三棱锥SABC的外接球的表面积为

C. 43 D. 76

二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

A. 19 B. 28

13. 点P(x,y)是圆（x3)2(y4)21的任一点，则x2y2的最小值为_______. 14．命题p:x[0,],使sin(x315. 在梯形ABCD中，ABBC,AD//BC,BC2AD2AB4，将梯形ABCD绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为____________.

16．圆xy16的切线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则|AB|最小值为

_____________.

三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分10分)

*已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为S若S3a42，且a1,a3,a13（nnN)，

22)a成立，则实数a的取值范围为___________.

成等比数列

(1) 求{an}的通项公式； (2) 设bn1，求数列{bn}的前n项和为Tn.

anan1P

18. (本小题满分12分)

M C

如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,

AB∥DC,PAD是正三角形,已知BD2AD8,

AB2DC45

(1) 设M是PC上的一点,求证:平面MBD平面PAD; (2) 求四棱锥PABCD的体积. 19. (本小题满分12分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85

(1) 画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生甲成绩的中位数和学生乙成绩的众数； (2) 求学生乙成绩的平均数和方差；

(3) 从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的

概率.

20. (本小题满分12分)

在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若b(1) 求角A;

1cacosC 24bc)3bc，a23，求ABC的面积S. (2) 若（21. (本小题满分12分)

已知函数f(x)x|xm|4,mR

(1) 若g(x)f(x)4为奇函数，求实数m的值； (2) 当m3时，求函数f(x)在x[2,4]上的值域； (3) 若f(x)0对x(0,1]恒成立，求实数m的取值范围. 22. (本小题满分12分)

圆C满足：①圆心C在射线y2x（x0)上; ②与x轴相切; ③被直线

yx2截得的线段长为14

(1) 求圆C的方程；

(2) 过直线xy30上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时PEPF的值. 附加题（每小题5分，共15分）

2223．直线yxm与圆xy4交于不同的两点M、N，且|MN|3|OMON|,

其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是___________.

24．已知矩形ABCD顶点都在半径为R的球O的表面上，且AB3，BC3,棱锥 OABCD的体积为32，则R___________.

225．函数y1(x2)图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列，则以下

不可能成为公比的数是 ．．． A.

忻州一中20152016学年度第一学期期中考试

31 B. 22C.

3 D. 33

高二数学(理科)参及评分标准

一．选择题(每小题5分，共60分)

1-5: DBCBC 6-10: ADACD 11-12:DB 二．填空题(每小题5分，共20分) 13. 4 14. a403 15. 16. 8

32三．解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（10分）解：(1) 设等差数列{an}的公差为d,

由S3a42得：3a13da13d2 ∴a11 ………2分 又∵a1,a3,a13成等比数列 ∴a3a1a13

即(a12d)2a1(a112d) 得：d2 ………4分 ∴an1(n1)22n1 ………5分 (2) bn211111() ………7分

anan1（2n1)(2n1)22n12n1111111[(1)()()] 23352n12n111n] =[1 ………10分

22n12n1∴Tn18．解：(12分)(1)在△ABD中，AD=4，BD=8，AB=45

AD2BD2AB2 故ADBD ………2分

又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD ∴BD平面PAD ………4分 又BD平面MBD ∴平面MBD平面PAD ………5分 (2)过P作POAD交AD于O, 平面PAD平面ABCD ∴PO平面ABCD ∴PO为四棱锥PABCD的高,且PO=23 ………8分 又四边形ABCD是梯形,且Rt△ADB斜边AB上的高为

4885即为梯形ABCD的高 ∴545梯形ABCD的面积为S故VPABCD25458524 ………10分

2512423163 ………12分 319．（12分）解：（1）茎叶图如下：

„„„2分

学生甲成绩中位数为83，学生乙成绩众数为8 „„„4分 （2）x乙（758028385909295）=85 „„„6分

1812S乙[(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2

8(9085)2(9285)2(9585)2]=41 „„„8分

（3）甲同学超过80分的成绩有82 81 95 88 93 84，

任取两次成绩，所有基本事件为：（82,81），（82,95），（82,88），（82,93），（82,84），（81,95），（81,88），（81,93），（81,84），（95,88），（95，93），（95,84），（88,93），（88,84）， （93,84）共15个 „„„10分

其中至少有一次超过90分的基本事件为：（82,95）（82,93）（81,95）（81,93）（95,88），

（95，93），（95,84），（88,93）（93,84）共9个。 „„„11分

∴这两次成绩中至少有一次超过90分的概率为

93. „„„12分 155

1sinCsinAcosC „„„2分 21 又∵sinBsin(AC) ∴sin(AC)sinCsinAcosC

21即 cosAsinCsinC „„„4分

210又∵sinC0 ∴cosA 又A是内角 ∴A60 „„„6分

220．（12分）解：(1)由正弦定理得：sinB(2)由余弦定理得：a2b2c22bccosAb2c2bc(bc)23bc„„„8分 ∴（bc)24(bc)12 得：bc6 ∴ bc8 „„„10分

∴S113bcsinA823 „„„12分 22221．（12分）解：(1) g(x)f(x)4x|xm|，

若函数g(x)为奇函数,则g(x)g(x)

∴x|xm|x|xm| 即x(|xm||xm|)0对xR恒成立 ∴|xm||xm|0 （xm)2(xm)2 即mx0对xR恒成立 ∴m0 „„„4分

x23x4,x[3,4] (2) 当m3时,yf(x)x|x3|42

x3x4,x[2,3)当x[3,4]时，yx3x4在[3,4]上为增函数 ∴y[4,0] „„„6分

2（4,2] „„„7分 当x[2,3)时，yx3x4在[2,3)上为减函数 ∴y（4,2][4,0] „„„8分 ∴函数f(x)在x[2,4]上的值域[4,0](3) f(x)0即为x|xm|-40 x(0,1] 等价于|xm| 即24 x4444xm 即(x)mx对x(0,1]恒成立 „„„10分 xxxx4 令h(x)(x)，则h(x)在(0,1]上是增函数，h(x)maxh(1)5

x m5 „„„11分

4 再令令t(x)x，则t(x)在(0,1]上是减函数，t(x)mint(1)3

x m3

综上，实数m的取值范围是5m3 „„„12分

（a,2a)(a0)，半径为r. 22．（12分）解：(1) 圆心C的坐标为

r2aa1则有2 „„„4分 142a2a22 解得r（)()r222∴圆C的方程为（x1)2(y2)24 „„„5分

222(2) 由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|•r=r|PC|r=2|PC|4

∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小， „„„8分 即为圆心C(1,2)到直线x+y+3=0的距离d=32.

∴|PC|最小为32

∴四边形PEMF的面积S的最小值为214 „„„10分

→→r2 „„„11分 此时|PE|=|PF|=14,设∠CPE=∠CPF=α , 则sin|PC|322514→→

∴PEPF=|PE|2cos2=|PE|2 (1-2sin2)=14(12( „„„12分 ))39附加题：（每小题5分，共15分）

23. [2,2] 24. 3 25. B