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（1）此简谐振动的表达式；

（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度； （3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间． [解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = Acos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．

当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ = ±π/3． 物体的速度为v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)．

当t = 0时，v = -ωAsinφ，由于v > 0，所以sinφ < 0，因此：φ = -π/3．

简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)． （2）当t = T/4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．

加速度为：a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + φ)= -π2Acos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．

（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．

当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0，

可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为：Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．

方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得 t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程x = Acos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x0/A)，（-π< φ <= π），

初位相的取值由速度决定．

由于v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωAsinφ，当v > 0时，sinφ < 0，因此

φ = -arccos(x0/A)；

当v < 0时，sinφ > 0，因此φ = arccos(x0/A)π/3．

可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ = π．

24．4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x0.1cos(8t)3的规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求：

（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；

（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；

（4）画出这振动的旋转向量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的向

量位置．

[解答]（1）比较简谐振动的标准方程：x = Acos(ωt + φ)，

可知圆频率为：ω =8π，周期T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，振幅A = 0.1(m)，初位相φ = 2π/3．

（2）速度的最大值为：vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s-1)； t=1,2,10s 22-2

加速度的最大值为：am = ωA = 6.4π = 63.2(m·s)． A 22

（3）弹簧的倔强系数为：k = mω，最大回复力为:f = kA = mωA =

0.632(N)； O 222-2

振动能量为:E = kA/2 = mωA/2 = 3.16×10(J)， 222-2

平均动能和平均势能为:EkEp= kA/4 = mωA/4 = 1.58×10(J)． （4）如图所示，当t为1，2，10s等时刻时，旋转向量的位置是相同的．

34．16 已知两个同方向简谐振动如下：x10.05cos(10t)，

51x20.06cos(10t)．

5（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；

（2）另有一同方向简谐振动x3 = 0.07cos(10t +φ)，问φ为何值时，x1 + x3的振幅为最大？φ为何值时，x2 + x3的振幅为最小？

（3）用旋转向量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x以米计，t以秒计．

22A1A2cos(12)= [解答]（1）根据公式，合振动的振幅为：AA12A2x 8.92×10-2(m)．

A1sin1A2sin2= 68.22°．

A1cos1A2cos2（2）要使x1 + x3的振幅最大，则：cos(φ – φ1) = 1，因此φ – φ1 = 0，所以：φ = φ1 = 0.6π．

要使x2 + x3的振幅最小，则 cos(φ – φ2) = -1，因此φ – φ2 = π，所以φ = π + φ2 = 1.2π．

（3）如图所示．

初位相为：arctanA A1 A3 A2 x3 φ O A3 φ2 A2 φ1 φ φ2 x1 O x x2 x A1 φ 1x3 x1 O x x2 x

5．1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向；

（2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示．

y/cm 2x[解答（]1）与标准波动方程yAcos(t)比较得：5  0 0.1 0.2 t/s 0.3 2π/λ = 0.6，

因此波长为：λ = 10.47(m)；圆频率为：ω = 10π，

频率为：v =ω/2π = 5(Hz)；波速为：u = λ/T = λv = 52.36(m·s-1)． 且传播方向为x轴正方向．

（2）当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程： y = 5×10-2sin10πt = 5×10-2cos(10πt – π/2)， 振动曲线如图．

5．10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s-1沿x轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3cos4πt．

（1）如以A点为坐标原点，写出波动方程；

（2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程． [解答]（1）以A点为坐标原点，波动方程为

xx8m 5m 9m y3cos4(t)3cos(4t)．

u5B A x C D （2）以B点为坐标原点，波动方程为

图5.10

xxA y3cos4(t)3cos(4tx)．

u5（3）以A点为坐标原点，则xB = -5m、xC = -13m、xD = 9m，各点的振动方程为

xyB3cos4(tB)3cos(4t)，

ux3yC3cos4(tC)3cos(4t)，

u5x9yD3cos4(tD)3cos(4t)．

u5[注意]以B点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程． 5．8 一简谐波沿x轴正向传播，波长λ = 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示．

（1）写出时x = 0处质点的振动方程； y/m （2）写出波的表达式； 1 （3）画出t = 1s时刻的波形曲线． 0.5 -1

[解答]波速为u = λ/T = 1(m·s)．

O t/s （1）设x = 0处的质点的振动方程为

y = Acos(ωt + φ)， -1 其中A = 1m，ω = 2π/T = π/2． 图5.8 当t = 0时，y = 0.5，因此cosφ = 0.5，φ = ±π/3． 在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此

φ = π/3．

振动方程为：y = cos(πt/2 + π/3)． u y/m （2）波的表达式为：1 tx0.5 yAcos[2()]

TO 2/3 x/m cos[(tx)]． 23-1 （3）t = 1s时刻的波形方程为

5ycos(x)，

26波形曲线如图所示．

5.15 S1与S2为两相干波源，相距1/4个波长，S1比S2的位相超前π/2．问S1、S2联机上在S1外侧各点的合成波的振幅如何？在S2外侧各点的振幅如何？

[解答]如图所示，设S1在其左侧产生的波的波动方程为

txy1Acos[2()]，

x Tλ/4 x 那么S2在S1左侧产生的波的波动方程为

S1 S2 tx/4y2Acos[2()]T2txAcos[2()]，

T由于两波源在任意点x产生振动反相，所以合振幅为零．

S1在S2右侧产生的波的波动方程为

txy1Acos[2()]，

T那么S2在其右侧产生的波的波动方程为

tx/4txy2Acos[2()]Acos[2()]，

T2T由于两波源在任意点x产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍．

5.16 两相干波源S1与S2相距5m，其振幅相等，频率都是100Hz，位相差为π；波在媒质中的传播速度为400m·s-1，试以S1S2联机为坐标轴x，以S1S2联机中点为原点，求S1S2间因干涉而静止的各点的坐标．

[解答]如图所示，设S1在其右侧产生的波的波动方程为

xl/2y1Acos[2(t)]

ux l 5Acos(2tx)，

24x O S2 S1

那么S2在其左侧产生的波的波动方程为

xl/2y2Acos[2(t)]Acos(2tx)．

u24两个振动的相差为Δφ = πx + π，

当Δφ = (2k + 1)π时，质点由于两波干涉而静止，静止点为x = 2k， k为整数，但必须使x的值在-l/2到l/2之间，即-2.5到2.5之间．

当k = -1、0和1时，可得静止点的坐标为：x = -2、0和2(m)．

16．2 一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的夹角为θ，以水平速度v向右运动．求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？

[解答]在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的长

I xA A 度为 l θ dl⊥ = dlcosθ；

v r dl 线元到直线之间的距离为 r = xA + lsinθ，

o 图16.2

x B x 直线电流在线元处产生的磁感应强度为

I0I． B02r2(xAlsin)由于B，v和dl⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为

0Ivcosdl， dBvdl2(xAlsin)棒的动生电动势为

0IvcosL0IvcosLd(xAlsin)0IvdlxALsincotln2xAlsin2sinxAlsin2xA00，

A端的电势高．

[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势．

xLsinLsinLsinIvLln(1)（2）当θ→0时，由于lnA，所以0，xAxAxA2xA这就是棒垂直割磁力线时所产生电动势．

16．6 如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框架内的感应电动势εi．

（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变； （2）非均匀的交变磁场B = Kxcosωt．

[解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt， 杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t， 动生电动势为 εi = Blv = Bv2(tanθ)t．

M C （2）导体杆扫过的三角形的面积为

B S = xl/2 = x2tanθ/2 = v2t2tanθ/2，

v 通过该面的磁通量为

θ O kx3tankv3tan3BScost tcost N D x 22感应电动势为

kv3tan2d(3tcostt3sint)， idt图16.6

2kv3tan2即：it(tsint3cost)

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