设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在其延长线取
2012-05-26 09:13夏日灼眼的阳 | 分类：数学 | 浏览1100次
设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在其延长线取一点D,使得PD=EF,连结CD,求证:CD⊥AB
提问者采纳
2012-05-26 09:40
证明：因为三角形ACB是等腰直角三角形 所以角A=角B=45度 因为PE垂直AC于E, 所以角AEP=90度
因为角AEP+角A+角APE=180度（三角形内角和等于180度 所以角APE=45度 因为PF垂直BC于F 所以角PFB=90度
因为角PFB+角B+角BPF=180度（三角形内角和等于180度) 所以角BPF=45度 因为角ACB=90度
所以角ACF=角AEP=90度 角ACF=角PFB=90度 所以PE平行CF PF平行CE
所以四边形CEPF是平行四边形 因为角ACF=90度
所以四边形CEPF是矩形 所以EF=CP
角CEF=角CPF=角EFP
因为角APG=角APE+角EPG=45+角EPG 因为角CPB=角CPF+角FPB=45+角CPF 所以角APG=角CPB 因为角APG=角DPB 所以角CPB=角DPB
所以PB是三角形CPB的角平分线 因为PD=EF 所以PD=PC
所以三角形CPD是等腰三角形 所以PB是三角形CPB的垂线 所以CD垂直AB