高三每周高频考点错题归纳整理【5】(题特别好，针对这段时间
的错题整理的，特别具有典型性)
一．选择题（共15小题） 1．已知sin（
）=，则cos（2
）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区
域D有公共点，则实数a的取值范围为（ ） A．[﹣2，2]
B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
D．[﹣，]
3．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
4．下列四个结论中不正确的是（ ） A．若x＞0，则x＞sinx恒成立
B．命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0” C．“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件 D．命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0” 5．已知函数f（x）=
，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整
数解，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣C．（﹣
，﹣，﹣
） B．[
，
） ]
=
，则
•
的值
] D．（﹣1，﹣
6．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2是（ ）
第1页（共28页）
A．48 B．24 C．12 D．6
7．在三棱锥P﹣ABC中，PA=4，∠PBA=∠PCA=90°，△ABC是边长为2的等边三角形，则三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离是（ ） A．
B．
C．
D．
8．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（ ） A．
B．1
C．
D．
9．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧面积是（ ）
A． B． C．18 D．
10．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
第2页（共28页）
11．下列四个图中，函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
12．已知函数f（x）=cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数； ②函数f（x）图象的一条对称轴是x=③函数f（x）图象的一个对称中心为（④函数f（x）的递增区间为[kπ+则正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=
对任意的x
，kπ+
，0） ]，k∈Z．
∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ） A．
二．填空题（共4小题）
14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、
第3页（共28页）
B． C． D．
B使得=3，则点P的横坐标的取值范围是 ．
15．数列{an}中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1，则a20= ． 16．已知双曲线
的右焦点为F，双曲线C与过原点
，则
的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|=6，|BF|=8，该双曲线的离心率为 ．
三．解答题（共10小题）
17．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c． （1）求角C的最大值；
（2）当角C取最大值时，己知a=b=
，求x•y的最大值．
18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．
（1）求证：DE∥平面A1MC； （2）求点B到面MA1C的距离．
，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若
19．已知椭圆E：
的最小距离为
．
中，a=b，且椭圆E上任一点到点
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．
第4页（共28页）
20．已知函数f（x）=ex﹣1﹣
．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值； （Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
21．已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．
（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=
，求|PQ|得长；
（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．
22．如图，设椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x
．
的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．
23．已知函数
．
第5页（共28页）
（1）当a=1时，求函数在点（1，﹣）处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，求a的取值范围． （3）在（2）的条件下，求证：
+
＞2．
，
24．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线l1：
，射线
与曲线C
的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．
25．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2． （Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE； （Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．
26．已知函数f（x）=﹣（k∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求函数f（x）的最大值；
（2）若不等式x2f（x）+
≥0与k≥x2+（e2﹣2）x﹣ex﹣7在[1，+∞）上均
恒成立，求实数k的取值范围．
第6页（共28页）
高三每周高频考点错题归纳整理【5】(题特别好，针对
这段时间的错题整理的，特别具有典型性)
参与试题解析
一．选择题（共15小题） 1．已知sin（
）=，则cos（2
）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D． 【解答】解：∵sin（∴cos（∴cos（2=﹣cos（故选：A
）=，
）=， ﹣2α）]
﹣2α）=1﹣2sin2（
）=cos[π﹣（﹣2α）=﹣
2．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区
域D有公共点，则实数a的取值范围为（ ） A．[﹣2，2]
B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
D．[﹣，]
【解答】解：画出可行域（如图阴影部分所示），直线y=ax﹣2恒过点A（0，﹣2），
则直线与区域D有公共点时满足a≥kAB或a≤kAC． 而
，
，
则a≥2或a≤﹣2， 故选：C
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3．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象， 由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3， 由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=， ∵g（e）＞0，
∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个， 故选：C．
4．下列四个结论中不正确的是（ ） A．若x＞0，则x＞sinx恒成立
B．命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0”
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C．“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件 D．命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0” 【解答】解：对于A，令y=x﹣sinx，求出导数y′=1﹣sinx≥0， ∴y是单调增函数，∴x＞0时，x＞sinx恒成立，A正确； 对于B，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为 “若x﹣sinx≠0，则x≠0”，B正确；
对于C，“命题p∧q为真”，则命题p为真，q也为真， ∴“命题p∨q为真”，充分性成立，
“命题p∨q为真”则命题p、q一真一假或同为真， 则“命题p∧q为真”不一定成立，即必要性不成立； ∴是充分不必要条件，C正确；
对于D，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是 “∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，∴D错误． 故选：D．
5．已知函数f（x）=
，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整
数解，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣C．（﹣
，﹣，﹣
） B．[
，
） ] ，
] D．（﹣1，﹣
【解答】解：∵f′（x）=
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；
当a=0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；
当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足 f（3）≤﹣a＜f（2），得
＜a≤，
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故选：C．
6．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2是（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6 【解答】解：∵2∴===
••（•（•=++（+
••（） ﹣，
）） +=
，∴）
=
，
=
，则
•
的值
又∵∠ABC=90°，AB=6， ∴故
••
=36，
•
=0，
=×36=24．
故选B．
7．在三棱锥P﹣ABC中，PA=4，∠PBA=∠PCA=90°，△ABC是边长为2的等边三角形，则三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵∠PBA=∠PCA=90°， ∴PA为平面PAB所在圆的截面的直径， 同理PA也是PBC所在圆的截面的直径， ∴PA的中点为外接球的球心， 由勾股定理得PB=PC=取BC的中点D，连接AD，
则∠PAD为PA与平面ABC所成的角， 经计算得AD=
=2，
，PD=，
第10页（共28页）
∴cos∠PAD=∴sin∠PAD=
，
=，
∴球心O到平面ABC的距离d=PAsin∠PAD=故选A．
．
8．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（ ） A．
B．1
C．
D．
【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC， ∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC． ∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等． ∵SH=
，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC
的外接球球心． ∵SC=2，
∴SM=1，∠OSM=30°， ∴SO=
，∴OH=
，即为O与平面ABC的距离．
故选：A．
第11页（共28页）
9．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧面积是（ ）
A． B． C．18 D．
【解答】解：由三视图画出直观图如图所示：
O是定点V在底面的射影，且O是正三角形ABC的中心，D是BC的中点， 由三视图可得，侧棱VA=4，AB=BC=AC=2则AD=
=
=3， =2，OD=1，
=
， ，
∴底面△ABC外接圆的半径OA=则VO=
=2
，VD=，
∵VD⊥BC，∴斜高为则正三棱锥的侧面积S=故选：B．
，
第12页（共28页）
10．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； a=6102，b=2016，
执行循环体，r=54，a=2016，b=54，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0， 满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18． 故选：D．
11．下列四个图中，函数y=
的图象可能是（ ）A． B． C．
第13页（共28页）
D．
【解答】解：设y=，则函数为奇函数，则其图象关于原点对称，
当x＞1时，y＞0，当0＜x＜1时， y＜0， 而y=y=故选：C
的图象是由
的图象向左平移一个单位得到的，
12．已知函数f（x）=cos（2x+
）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数； ②函数f（x）图象的一条对称轴是x=③函数f（x）图象的一个对称中心为（④函数f（x）的递增区间为[kπ+
，kπ+
，0） ]，k∈Z．
第14页（共28页）
则正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：∵f（x）=cos（2x+
=
∴但∵
∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=∵
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（由
．
∴函数f（x）的递增区间为[kπ+∴正确结论的个数是3个． 故选：B．
，kπ+
]，k∈Z．命题④正确．
，得： ）﹣cos2x=
=﹣
．
=
，即函数f（x）的最小正周期为π，
，函数f（x）不是奇函数．命题①错误；
，
．命题②正确； ，
，0）．命题③正确；
13．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x
∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）． ∴函数f（x）的周期是4，
∵在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点， 即函数f（x）与函数h（x）=mx﹣m在区间[﹣5，3]上有三个不同的交点，
第15页（共28页）
在同一直角坐标系上画出两个函数的图象： 得到
≤m＜
即﹣≤m＜﹣， 故选B．
二．填空题（共4小题）
14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、B使得
=3
，则点P的横坐标的取值范围是 ．
【解答】解：由题意可得圆心C（2，0），
∵点P在直线l：y=x+3上，圆C上存在两点A、B使得如图，|AB|=2|PB|，|CD|=|CE|=r=2，
∴点P到圆上的点的最小距离|PD|应小于或等于半径r=2． 设点P的坐标为（m，m+3）， 则
﹣2≤2，
≤m≤
，
=3，
化简可得2m2+2m﹣3≤0，解得∴点P的横坐标的取值范围是：故答案为：
．
第16页（共28页）
15．数列{an}中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1，则a20= 46 ． 【解答】解：由a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，得a2n﹣a2n﹣1=（﹣1）n， 由a2n+1=a2n+n，得a2n+1﹣a2n=n，
∴a2﹣a1=﹣1，a4﹣a3=1，a6﹣a5=﹣1，…，a20﹣a19=1． a3﹣a2=1，a5﹣a4=2，a7﹣a6=3，…a19﹣a18=9． 又a1=1，
累加得：a20=46． 故答案为：46．
16．已知双曲线
的右焦点为F，双曲线C与过原点
，则
的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|=6，|BF|=8，该双曲线的离心率为 5 ．
【解答】解：在△AFB中，由余弦定理可得 |BF|2=|AB|2+|AF|2﹣2|AB|•|AF|cos∠BAF， 即有=|AB|2+36﹣12|AB|• 化为|AB|2﹣
|AB|﹣28=0，
解得|AB|=10．
由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°， 设F'为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．
第17页（共28页）
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
结合矩形性质可知，2c=10，利用双曲线定义，2a=8﹣6=2， 所以离心率e==5． 故答案为：5．
三．解答题（共10小题）
17．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c． （1）求角C的最大值；
（2）当角C取最大值时，己知a=b=
，求x•y的最大值．
【解答】解：（1）在△ABC中由余弦定理得，∵a+b≥2c； ∴∴∴∵∴即
；
第18页（共28页）
，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若
；
； ； ；
，当且仅当a=b时取“=”；
；
∴；
；
时，∵
；
∴角C的最大值为
（2）当角C取最大值
∴△ABC为等边三角形；
∴O为△ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则： OD⊥AB，且
；
∴OA=1，即外接圆半径为1，且∠AOB=120°； ∴∴对
∴1=x2+y2﹣xy；
∴x2+y2=xy+1≥2xy，当且仅当x=y时取“=”； ∴xy≤1；
∴x•y的最大值为1．
；
两边平方得，
；
18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．
（1）求证：DE∥平面A1MC； （2）求点B到面MA1C的距离．
第19页（共28页）
【解答】（1）证明：如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点， 由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD， ∵MD，OE分别为△ABC，△ACC1中的AC边上的中位线， ∴
=
，
=
，∴
，
∴四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO． 又∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC， ∴DE∥平面A1MC．
（2）解：∵M是线段AB的中点，∴点B到面MA1C的距离，就是点A到面MA1C的距离，设为：h；正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AB=4，可得AM=1，MA1==
，CM=
，A1C=，
可得解得h=
．
=
，
=2
，可得三角形A1MC是直角三角形，
19．已知椭圆E：
中，a=
b，且椭圆E上任一点到点
第20页（共28页）
的最小距离为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．
【解答】（1）解：设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，
则椭圆E的方程可化为，
从而
． 由于a＞b＞1，则当x=﹣1时，，
故椭圆E的标准方程为
． （2）证明：由于直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在， 设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）． 易
知
直
线
l2
：
y=
﹣
k
（
x
﹣
1
），由
得（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k）2﹣4=0，
由韦达定理有：，，
则；
第21页（共28页）
+1.
同理可得
从而有|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．
20．已知函数f（x）=ex﹣1﹣
．
，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值； （Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）解由x﹣1≠0得：函数f（x）=ex﹣1﹣∞，1）∪（1，+∞）， f（2）=e2﹣1﹣2a，∴f'（2）=e2+a，
∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线y﹣（e2﹣1﹣2a）=（e2+a）（x﹣2） 将（0，﹣1）代入，得﹣1﹣（e2﹣1﹣2a）=﹣2e2﹣2a， 解得：证明：（Ⅱ）
的定义域为x∈（﹣
，
若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立． 只需证：
∵x∈（0，1）∪（1，+∞）时，
在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，
恒成立，
∴只需证：（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立 设g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞） ∵g（0）=0恒成立
∴只需证：g（x）≥0在[0，+∞）恒成立 ∵g'（x）=x•ex﹣1﹣a，
g''（x）=（x+1）•ex＞0恒成立， ∴g'（x）单调递增，
∴g'（x）≥g'（0）=﹣1﹣a≥0
第22页（共28页）
∴g（x）单调递增， ∴g（x）≥g（0）=0
∴g（x）≥0在[0，+∞）恒成立 即
21．已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．
（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=
，求|PQ|得长；
在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．
【解答】（1）解：θ=∴|PQ|=2
﹣2；
，1），B（
，1），D（0，﹣2）， ）2+（y﹣1）2+（x﹣
）2+（y﹣1）
代入ρ=4sinθ，可得ρ=2
，
（2）证明：由题意，A（﹣
设P（x，y），则|PA|2+|PB|2+|PD|2=（x+
2
+x2+（y+2）2=3（x2+y2）+12=24，为定值．
22．如图，设椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x
．
的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．
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【解答】解：（1）∵椭圆C1：y2=8x的焦点F重合，∴a=2， 又∵椭圆C1的离心率是
+
=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：
．∴c=
，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：
．
（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2） 联立
得y2﹣8my﹣16=0．
=8（1+m2）．
y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|=
过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2） 联立
得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，
xC+2=∴|CF|=
，⇒xC=． •
．
．
△ABC面积s=|AB|•|CF|=
令，则s=f（t）=，f′（t）=，
令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小． 即当m=±
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时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．
23．已知函数．
（1）当a=1时，求函数在点（1，﹣）处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，求a的取值范围． （3）在（2）的条件下，求证：
+
＞2．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=xlnx﹣x2， 则f′（x）=lnx+1﹣x， 则f′（1）=0，
故切线方程是：y+=0（x﹣1）， 即y=﹣；
（2）函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异的极值点x1，x2， 即g′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实数根， ①当a≤0时，g′（x）单调递增， g′（x）=0不可能有两个不同的实根； ②当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，当当∴
时，h′（x）＞0，h（x）单调递增； 时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
，∴
，
， ，
（3）不妨设x2＞x1＞0，∵
∴lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣lnx1=a（x2﹣x1）， 要证
，即证
，
即证，
令，即证，设，
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则，
函数φ（t）在（1，+∞）单调递减， ∴φ（t）＜φ（1）=0， ∴
24．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线l1：
，射线
与曲线C
，
．
的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：程为（x﹣1）2+y2=7，
x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0； （Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有
，解得ρ1=3，θ1=
，即P（3，，普通方
）．
设Q（ρ2，θ2），则有所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．
，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），
25．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2． （Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE； （Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．
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【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE， ∴AE⊥CD，
又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A， ∴CD⊥平面ADE，
又在正方形ABCD中，AB∥CD， ∴AB⊥平面ADE．…（6分）
解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h， ∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，
∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE， ∴h=AE=1，又∴又
=
， =
=
，
．…（12分） =
，
∴凸多面体ABCDE的体积V=VB﹣CDE+VB﹣ADE=
26．已知函数f（x）=
﹣（k∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求函数f（x）的最大值；
（2）若不等式x2f（x）+
≥0与k≥x2+（e2﹣2）x﹣ex﹣7在[1，+∞）上均
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恒成立，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）f′（x）=
，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10， ∴1+k=10，∴k=9， ∴f′（x）=
，
0＜x＜e10，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞e10，f′（x）＜0，函数单调递减， ∴x=e10，函数f（x）的最大值为（2）不等式x2f（x）+令h（x）=lnx+递增，
∴k≤h（1）=；
令g（x）=x2+（e2﹣2）x﹣ex﹣7，则在[1，2）上g′（x）=x+（e2﹣2）﹣ex＞0，函数单调递减，
（2，+∞）上函数单调递增，∴k≥g（2）=e2﹣9， 综上所述，e2﹣9≤k≤．
；
，
＞0，函数单调
≥0，可化为k≤lnx+，则在[1，+∞）上h′（x）=
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