所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.6.10件产品中有2件次品,从中随机抽取3件,则恰有1件次品的概率是 . 答案 解析设事件A为“从中随机抽取3件,则恰有1件次品”,则P(A)=
1C28·C24-𝑘C𝑘7C3
12
C122C4+C22
C226
的是( )
3
10C410
(k=1,2,3,4).
1
303101216
715C310
=
7
. 1515
7.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a= . 答案2或8
16
解析根据题意,得
451
C110-𝑎C𝑎
=
C210
,
解得a=2或a=8.
8.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
答案133 105102
C03C2
解析P(ξ=0)=
P(ξ=1)=P(ξ=2)=
C25
=
1
, 101C13C2
C25
==
6
10=, 350C23C2
C25
3
. 109.某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况:有20人参加1次活动,有50人参加2次活动,有30人参加3次活动.
(1)从这些学生中任选两名,求恰好有一名参加1次活动的概率;
(2)从这些学生中任选两名,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列. 解(1)由题意知,若设X为任选两名学生中参加1次活动的人数,则X服从参数为N=100,M=20,n=2的超几何分布,故P(X=1)=
1C120C80
C2100
=99.
32
(2)ξ的可能取值为0,1,2.
从这些学生中任选两名,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C,易知P(ξ=1)=P(A)+P(B)=P(ξ=1)-P(ξ=2)=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 37504P 9999333799
1C120C50C2100
+
1
C150C30
C2100
=
1
50C120C30,P(ξ=2)=P(C)=299C100
=33,P(ξ=0)=1-
4
关键能力提升练
10.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是7,则语文课本共有( ) A.2本 答案C 解析设语文课本n(n≥2)本,则数学课本有7-n本,则2本都是语文课本的概率为公式得n2-n-12=0,解得n=4(负值舍去).
11.某国科研合作项目成员由11个美国人,4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一国家的概率为 .
0
C2𝑛C7-𝑛
5
B.3本 C.4本 D.5本
C27
=7,由组合数
2
答案119 190211
解析成员有11+4+5=20人,从中任选2人的不同选法有C20种,其中不属于同一国家的有C11·C4+1C11
·
1C5
+
1C4
·
1C5种,根据等可能性事件发生的概率计算公式,可得所求概率为
P=
11111
C111C4+C11C5+C4C5
C220
=
119
. 19012.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)= . 答案 解析根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)
=
C35C3857+
1C25C3
C38
=56+56=7.
10305
13.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,则P(X=2)= . 答案12 解析设10个球中有白球m个,则
C210-𝑚
1
7C25C5=1-9,解得m=5或m=14(舍去).所以P(X=2)=3C2C1010
7
95=12.
5
14.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率; (2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由. 解(1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,
45
45
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率
21224P=C4(5)(5)
=625.
2
C22C8
96
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=
3
C12C8
C410
=
28
210=
2, 15C410
=210=15, 70
1
1128
C410
C48
=210=3, 故X的分布列为
X 2 3 4 281P 15153
(3)乙平均答对的题目数E(X)=2×
4
281+3×+4×15153
=
16
. 5
∵甲答对题目数Y~B4,5, ∴甲平均答对的题目数E(Y)=4×5=
4
16. 5
∵E(X)=E(Y),∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.
学科素养创新练
15.一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分,若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分,若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得-10分). (1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X,求X的分布列;
(2)玩过这款游戏的许多人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象. 解(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为P=
X可能的取值为0,1,2,3, 则
130
P(X=0)=C3(1-)1012
C22C25
=10.
1
=
1
7291211,P(X=1)=C3·(1-)
1 000101027
13
=
1
243
, 1 00032
P(X=2)=C3(10)·(1-10)=1 000,P(X=3)=C3(10)=1 000, 所以X的分布列为
X 0 1 2 3 729243271P 1 0001 0001 0001 000
(2)设每轮游戏得分为Y. 由(1)知,Y的分布列为
X -10 20 200 7292701P 1 0001 0001 000
E(Y)=-10×1 000+20×1 000+200×1 000=-1.69.
这表明,获得分数Y的均值为负.因此,多次游戏之后大多数人的分数减少了.
729
270
1