浅谈利用等价无穷小量代换求函数的极限

科技信息　０职校论坛０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００９年第３ｌ期　浅谈利用等价无穷小量代换求函数的极限　房广梅　（扬州工业职业技术学院基础部江苏【摘明。　扬州２２５１２７）　要】阐述了利用等价无穷小量代换求函数的极限是极限计算中的一个简便方法，同时列出了一些常用的等价无穷小量，并给出了证　【关键词】等价无穷小量；函数；极限　极限是高等数学中的重要工具和方法之一．熟练地掌握极限的计　算是学好高等数学的一个必备条件。而极限的计算方法有很多。这里　仅就利用等价无穷小量代换求极限做一些讨论和总结。　（１）由第一重要极限公式ｌｉｍ　＝ｌ知　ｓｉｎｘ；　（２）ｌｉａｒ　以有　～ｔａｎ　：　１．无穷小量与等价无穷小量　定义ｌ　若函数儿　的极限等于零，则称这个函数为无穷小量。　定义２　量，记作厂（　）　ｌｉｍ　＝ｌ，则称　—‰时　与　）为等价无穷小　ｒ　戳ｘ｝　＝ｌｉｍ　ｆ　ｌ旦·　—ｌ－ｌｉｍ曼ｌ旦．１ｉｍ　ｊ一：１．１＝１，所　厂．Ｄ＼　ｃＯｓ　／　ｃ０　（　ｌ翔）　（４）令ａｒｃｔａｎｘ＝ｔ，则ｘ—＋０时有ｔ　０，从而ｌｉｍ—ａｒｃｔａ—ｎ￣＝ｌｉｒａ　一＝　２．利用等价无穷小量代换求极限　定理１　设，（　）刊（ｘ—　，　（ｉ）若ｌｉｍｆ（ｘ）ｈ（ｘ）－＝Ａ，则ｌｉｍｇ（ｘ）ｈ（ｘ）＝Ａ；　（ｆ１）若ｚ　ｍ皂　：Ａ，则ｚ　鱼　：Ａ。　一ｏ　１　）　一。　）　例ｌ计算ｚ　ｍ曼　解方法一利用第一个重要极限公式ｌｉｍ里　一＝１　㈣　＝　等　‘｝　ｆ【芋ｌＪ　（６）ｌｉ　１　ｉ　ｍ　ｓｉｓｉ　ｎＳｘ　ｌ：１，　里　·５　ｌｉ　ｍ警５　ｘ　＝　ｊ　ｉ　誊号　｝；　可改为其它的极限过程。　５　５±盟＝ｌ　１ｎ（１十　）　＝１ｎ【ｌｉ　（１｛却　】：１ｎｅ：１所以有　－Ｉｎ　（７）令ｅ　１＝ｔ，则　：ｌＩｌ（１＋０且当　—＋０时有ｔ—＿Ｈ０，从而ｌｉｍ旦　Ｌ：　ｔ方法二利用等价无穷小量代换ｓ　ｌＪ｝　矗　（｜ｒ＋０）　ｌｉｍ　＝ｌｉｍ　Ｓｌｌ１．ＳＸ　州而　ｌ，所以有ｅ。ｌ一。　．ＪＸ　显然方法二比方法一简便。　注１）定理ｌ中的极限过程　注若当　＿＋０时，有　＿＋ｏ，定理２中公式中的ｘ可以替换成，　２）此定理１说明等价无穷小量代换只能在乘除运算中进行。　例２日计算ｌｉｍ．ｔａｎｘ－￣ｍｘ—　ｓｉ—ｎ　解利用等价无穷小量代换得ｌｉｍ　二　：ｌｉｍ　Ｌ：２。　解方法－－ｌｉｍ旦　ｓｉｎ　＿１ｉｍ墨　ｘ＿＝∞　ｘ　这显然是错误的，正确的方法为　便，读者不妨一试忿　１　２　方法二　警Ｓｒ叶口　ｉｎ　ａｒｃｔａｎ￣；（５）ｌ—ｃ０ｓｘ～－　ｓｉｎ　芋＝｝。ｚ　　【参考文献】　［１］华东师范大学数学系．数学分析（上）【Ｍ】．北京：高等教育出版杜，１９９７（２）　７７－８０．　３．常用的等价无穷小■公式　在利用等价无穷小量代换求极限时，常用的公式有：　定理２当ｘ—　时，（１）ｘ￣ｓｉｎｘ；（２ｈ～ｔａｎｘ；（３　—ａｒｃｓｉｍ；（４）ｘ－　［２］李德才等．高等数学［Ｍ］．北京：中国大地出版社，２００５：３７．　作者简介：房广梅（１９７９一），女，硕士研究生，讲师，主要从事代数学和高等　数学的教学与研究。　；（６）ｘ～ｌｎ（１＋】（）；（７）ｅＬｌ·　．　［责任编辑：张新霄】　杜时忠．师德建设的指导思想圾方式探新［Ｊ］．高等工程教育研究　（上接第２７６页）性、主动性，确保高校充分发挥培养人才、引领潮流、　［４］杨炎轩，　－　．　服务社会的功能。在全社会形成尊师重教的良好环境，才能逐步使教　２００５，０５．［５］教育部人事司组编．高等学校教师职业道德修养［Ｍ］一Ｅ京：北京大学出版社　师把职业道德内化为自觉行动，成为真正的“人师’’的典范。　２０ｏＯ．　［１］刘爱兰　２００７，０５．　新形势下高校师德建设的内涵与对策探析［三篓　兰　一～……Ｊ］址皓　ｍ　ｉｔ－枣簪　：－ｔａｉ＝ｕ￣１　￣（１９８２－），ｑ￣西新余人，硕士，助教，江西蓝天学院机械　湖南商学院学报，　工程与电子系主要从事电子工程专　的　学　二．’　一’　一　～一一　【责任编辑：汤静】　［２］平沪生　高校师德建设的缺失与重构［［Ｊ］．河北青年管理干部学院学报　２００７，０４．　［３］刘茄．提高高校教师素质的方法与途径［Ｊ］．中国建设教育，２００６，０４