2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试卷(全国Ⅰ)解析版

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试。 ．．题卷上作答无效．．．．．．．3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B) S4R2

如果事件A、B相互，那么 其中R表示球的半径 P(AgB)P(A)gP(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V3R3 4n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkPn(k)Cnp(1p)nk(k0,1,2,…n)

一．选择题 (1)复数

32i 23i(A)i (B)i (C)12-13i (D) 12+13i

32i(32i)(23i)69i4i6i. 23i(23i)(23i)131．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】

(2)记cos(80)k,那么tan100

1k21k2kkA. B. - C. D. -

22kk1k1k2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这

一转化思想的应用.

【解析】sin801cos801cos(80)1k,所以tan100tan80

o2o2o2osin80o1k2.

cos80oky1,(3)若变量x,y满足约束条件xy0,则zx2y的最大值为

xy20,(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，

z最大，且最大值为zmax12(1)3.

xy0

y A yx l0:x2y01 O A 2 x xy20 2 （4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

335，a7a8a9(a7a9)ga8a810,所以 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3)ga2a2a2a850,

13所以a4a5a6(a4a6)ga5a(a2a8)(50)52 (5)(12x)3(13x)5的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

353163355【解析】(12x)(13x)(16x12x8xx)(13x)

30故(12x)3(13x)5的展开式中含x的项为1C5(3x)312xC510x12x2x,所以x

的系数为-2.

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析】:可分以下

12C4种不同的2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C4种不同的选法.所以不同的选法121C4+C32C4181230种. 共有C3(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A 3622 B C D 33337.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面

D1 A1

D

A

O

C B B1

C1

ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等,设DO⊥平面

131ACD1，由等体积法得VDACDVDACD,即SACDDOSACDDD1.设DD1=a,

1113则SACD11133211ACgAD1sin60o(2a)2a,SACDADgCDa2. 222222SACDgDD1a33DO3所以DO,记DD,所以a1与平面ACD1所成角为,则sin2SACD13DD133acos6. 312（8）设a=log32,b=In2,c=5,则

A a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=log32=

1211, b=In2=,而log23log2e1,所以a为 (A) 36 (B) (C) 3 (D) 6 229.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析】不妨设点

P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线

的第二定义得

a2a2|PF1|e[x0()]aex012x0，|PF2|e[x0)]ex0a2x01.由余弦定理得

cc|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(12x0)2(2x01)2(22)20cos∠F1PF2=,即cos60,

2|PF1||PF2|2(12x0)(2x01)解得x0265322,所以y0x01，故P到x轴的距离为|y0|

222（10）已知函数F(x)=|lgx|,若010.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2ba处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b又0f(1)=1+

2=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞). 1uuuvuuuv（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA•PB的最小值为

(A) 42 (B)32 (C) 422 (D)322

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x(x0),∠APO=,则∠APB=2，PO=1x2，sinA 11x2，

O P uuuvuuuvuuuvuuuvx2(x21)x4x222PA•PB|PA||PB|cos2=x(12sin)==2，

x21x1uuuvuuuvx4x2422令PA•PBy，则y2，即x(1y)xy0，由x是实数，所以

x1B [(1y)]241(y)0，y26y10，解得y322或y322.故

uuuvuuuv(PA•PB)min322.此时x21. （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A) 234383 (B) (C) 23 (D) 33312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

43112. V四面体ABCD22hh,当直径通过AB与CD的中点时,hmax2221223,故Vmax3323

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理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考

证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2x21x1的解集是 .

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.

2x21(x1)2,解析:原不等式等价于解得0≤x≤2.

x10(14)已知为第三象限的角，cos214．3,则tan(2) . 541【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时73<0, 所5考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

【解析】因为为第三象限的角,所以2(2(2k1),2(2k1))(kZ)，又cos2以2(4,

254tantan21sin2431. 4tan2,所以tan(2)4cos23471tantan21432(2k1),2(2k1))(kZ),于是有sin22(15)直线y1与曲线yxxa有四个交点，则a的取值范围是 .

15.(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.

【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线y1与曲线yxxa,观25411y x x 22yx2xaa y=1 x O a15,解得1a. 图可知，a的取值必须满足4a1414y4a1 4uuruur(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FD，

则C的离心率为 .

216.

3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本

y B O D1 F D x题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，|BF|b2c2a,

uuruur作DD1y轴于点D1,则由BF2FD，得 |OF||BF|233,所以|DD1||OF|c,

|DD1||BD|322a23c3c23c即xD,由椭圆的第二定义得|FD|e()a

c22a23c222又由|BF|2|FD|,得c2a,整理得3c2aac0.

a2. 3三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．．

两边都除以a,得3ee20,解得e1(舍去)，或e22 已知VABC的内角A，B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求内角C．

17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.

(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、事件、相互试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x)(x1)lnxx1.

（Ⅰ）若xf'(x)xax1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x1)f(x)0 .

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y4x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

22uuuruuur8（Ⅱ）设FAgFB，求BDK的内切圆M的方程 .

9【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.. （22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列an中，a11,an1c1 . an（Ⅰ）设c51,bn，求数列bn的通项公式； 2an2（Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值范围 .

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技

能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.