函数单调性教案

一、教材分析：

本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。

二、教学目标：

(一)知识目标：

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 (二)水平目标：

1、培养学生利用数学语言对概念实行概括的水平；

2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的水平和语言表达水平；通过对函数单调性的证明，提升学生的推理论证水平。 (三)情感目标

1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；

2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

三、教学重难点：

重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。 难点：函数单调性的判断与证明。

四、课型：新授课 五、教学方法、手段：

方法：启发引导与自主探究讨论相结合。 手段：多媒体辅助课堂教学。

六、教学设计思想：

我从生活中的实例导入，层层设疑，引导学生观察图像，数形结合，为了进一步研究单调性，接着给出了学生熟悉的函数 y2x，y2x，yx2图像，以这些基本图形为素材，逐步由形到数引导学生发现图像上升或下降时函数值的变化规律，再推广到一般函数，从而得出增减函数定义。学生归纳出判断的方法及步骤并实行简单的应用。 应用上：使用课本例2对应练习及思考题目利用讲练结合启发联想形式，例题讲解以启发引导为主，练习时放手让学生完成，体现自主特点。思考题让

学生能够举一反三，体会由特殊到一般的数学思想。

为了让学生掌握定义及判断方法培养严密的数学语言表达水平，我让学生自己总结，利于理解本节知识体系。

作业布置体现层次性，照顾各层次的同学。 教学 教学内容 教师活动 学生活动 教学 流程 意图 (一)以实际生引例1：招远市昨天24小同学们每天从早上 情 景 导 课 时内的气温变化图．观察这张气温变化图 到中午又到晚上，我们都会明显感觉到气温在持续发生变化，其实，生活中处处有数学，这其中就蕴含了丰富的数学知识——函 你能看出一天中温度的变化趋势吗？ 这种某一区域内函数上升或下降的趋势叫函数的单调性 怎么用数学语言来表述呢？ 数的单调性。什么是函数的单调性呢？我们先从气温图中来体会一下 来看上节课的作业：3个函数图像 问题（1）：观察图像：你能说出这三个函数图像的变化趋势吗？ 问题（2）：观察变量：x自左向右增大y值如何变化？ 此问题比较简单，多数同学都能回答上来： 我能看出从4点到7点，7点到14点温度是升高的；从0点到4点，14点到24点温度是下降的。(学生举手回答，提问2个) 思考并回顾上节课留的作业题目。 观察回答： 积极思考 （小组讨论后，派代表抢答。此问题不难，同学们积极性会比较高，抢答同学也会如雨后春笋……提问2个同学） 同桌讨论后（自由回答，相对来说这个问题更简单，先起立的同学回答。提问1个同学） 活为例让学生感受到生活中处处蕴含着数学，激发学生的学习热情，学以致用。 引出下个引例 单调性表述的范围 引例2： y2x ,y2x上升 ,y2x是y随着x的增大而增大。 y2x ,y2x下降 ,y2x是y随着x的增大而减小。 以学生较熟悉的函数图像入手会让同系旧知，熟悉感也倍增学习新知浓烈。 课件演示同学观察回答变化趋势，生动形象。 层层设问 逐步引导 合作探究 得出初论 教学 教学内容 流程 从图像和变量两个角度说明单调性的特征 教师活动 我们能够看出要更清楚的表述函数的单调性必须在一个区间范围内，单调性具有局部性。 谁能尝试用这两种方法给出通常定义？ 而不管从图像上还是从变量上一般都要借助于图像来观察。 当不给图像的时候我们怎么判断函数的单调性呢？用增减函数的概念就能够解决了。 学生活动 为了检查一下听讲情况 举手回答（提问2-3个） 通过表格下通俗定义： 教学 意图 yx2 ,0yx2下降0,yx2上升 ,0yx2是y随着x的增大而减小。 ,0yx2是y随着x的增大而增大。 我们通常定义具有以上这些特点的函数为增函数或是减函数。 由此能够发现我们所说的函数的单调性就是函数的增减性。 从气温变化图上截取了 (二)yfx图像进一步研究增减函数的性质： 课 程 新授 ① 任取 Ax1,fx1Bx2,fx2x的增量xx2x1 同理学生小组合作讨论，培养血色很给你的合作精神和语言的表达水平。 提出局限性，激发学生思考其他方 法。 提出高难 度的问题 让给学生 感到富有 挑战，集 中听讲。 引出函数 单调性的 另外的特学生跟着老师的思路思点。 考增函数的定义的推导 学生跟着为减函数定义的推导作老师的思铺垫。 路走。 y的増量 教学 教学内容 流程 分析增减函数的性质 增减函数的定义 例题 教师活动 你能仿照增函数分析减函数吗？ 注意比值是什么比什么！ 教师引导 根据分析你能否总结出增减函数的概念呢？ 函数在某点处无单调性可言，我们用开区间就能够。 例题讲解 学生活动 （讨论，找1个同学分析） 生分析减函数概念。 ①任取Ax1,fx1，教学 意图 再加上刚才对解析式的分 析，此时再让学生给增减函数下定义应该是水到渠成。 接着引导学生给出用定义判断函数增减性的步骤也是游刃有余。这是本节课的重点与难点，培养学生的团结合作精神和概括水平。 学生学会用数形结合法分析问题体现数学上的转化思想 通过例题的讲解，学生了解单调区间与单调性的联系 yfx2fx1 ②y0 x③ 函数yfx在该区间为增函数。 Bx2,fx2 xx2x1 yfx2fx1 ②y0 x 一般地，对于函数yfx在给定的区间上任意两个不相等的值x1，x2，当③yfx在该区间为减函数。 思考如何下定义。 （自愿回答，2个同学分别回答增函数和减函数的定义） 识记理解定义，并检查效果。硬性定义的提问一般都会有很多同学的踊跃参与，起立的同学以组为单位或是教师找代表实行检查（n个同学） 师生一起做例题。 单调增区间 y0时，函数yfxx在这个区间上是增函数；当y0时，函数xyfx在这个区间上是减函数；这个区间就是函数的单调区间。 例1：定义域是10,10，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性。 4,1，2,8函数为增函数 单调减区间10,4，1,2，8,10 函数为减函数 教学 教学内容 流程 跟进练习 教师活动 引导 学生活动 学生完成（提问1个同学） 单调增区间4,14 单调减区间 教学 意图 进一步熟练了区间与单调性的联系，锻炼了学生的观察水平 练习：函数yfx的 通过刚才的探究你能找出气温图中的单调区间吗？ 0,4，14,24 应用例题讲解 例2：证明函数fx2x1在区间,上是增函数。 证明：①设x1，x2是脱离图像我们就最好用什么方法来判断函数的单调性？ 教师根据定义一步一步实行分析 ,任意两个不相等的实数。xx2x1， yfx2fx1 =2x212x11 =2x2x1=2x ②k 集体回答：定义法 认真听讲思考定义法判断函数单调性的一般步骤 y2x20 xx③fx2x1在,上是增函数。 判断 函数增减性的步骤 ①取点作差 ②算比值k通过例题的讲解解决如下问题：1、定义域上任取两个不相等的值。 2、作差后的变形常常综合使用到不等式、配方等方法即时复习。 3、判断符号和增减性要对应好不要弄混淆 4、下论时一定带上范围 巩固所学 y x ③判断 当k0函数在某区间为增函数； k0函数在某区间为减函数。 从刚才我们的分析能够看出由定义法即由解析式判断函数单调性——增减性的步骤：（小组讨论） 讨论得出步骤，互相补充得出最后的步骤（3个同学） 同学们看课本理解本节所学内容，理清思路。 教学 教学内容 流程 练习跟进 教师活动 巡视观察 了解问题 找同学上黑板批阅后教师订正答案。 下面的同学同桌换过来批阅。 学生活动 黑板练习（2个同学） 解①在,上任练习：判断函数fx2x1在区间教学 意图 引申思考 课堂检测 ,上是增函数还是减函数？ 思考：由上述例2和练习讨论一次函数ykxb的单调性. 判断函数fx5x3在,上的单调性。 通过练习体会定义法判断函取两个不等的值x1，x2 数的单调性 xx2x1， yfx2fx1 2x21(2x11) 小结一次2x212x11 函数的单调性，复2(x2x1) 习巩固初中知识. 2x ② y2x 2<0 xx争取当堂③函数fx2x1的类型题当堂消化在区间,上是同桌换着减函数 批阅 谈收获 根据表格谈谈自己本节课所学习到的内容 （同学们以自愿的形式谈收获，多个同学进行补充直至完整。） 教师出示完整表格形式。 用表格形式总结，本节课的重点知识一目了然，体现一一对应的关系，并标明了注意事项，对易出错的问题进行了重点强调。 (三)课 堂 小 结 ①图像法 区间内，图像上升为增函数；区间内，图像下降为减函数 ②变量值法 y随着③定义法 取点作差， 算比值， 判断 x的增大而增大是增函数；y随着x的增大而减小是减函数 同学们回顾一下本节课你都学到了什么收获到了什么。 本节课我们学习了判断函数的3种方法 注意 ①函数的单调性也叫增减性 ②函数的单调是对定义域内的某个区间而言 教学 流程 (四)布 置 作 业 教学内容 教师活动 学生活动 巩固练习 （学生有选择性的练习有能力的同学全做。） 教学 意图 打铁要趁热，及时巩固，作业分层次满足各个层次的需求让优生有事做，潜能生吃得饱。 结合板书对本节课的重点一目了然 1、 课后P54 2、（1）（2）， 布置作业 2、课后P54 3（有能力的分层次进行 同学并结合2(2)思考能否说 1 fx的增区间为 x ,00,）？ (五) 3.3函数的单调性 增量：（可正可负不为零） 板 1、书 xx2x1 设 计 yfx2fx1 2、 定义： 一般的，对于函数yfx在给定区间上任意两个不相等的值x1，x2，当 教师边授新课边板书 根据板书了解本节的重点 y> x0时，我们就说函数在这个区间上为增函数，当y<0x时，我们就说函数在这个区间上为减函数。