2006年高考试题与答案-全国卷1数学理

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚，并

贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．本卷共12小题，每小题5分， 共60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件A、B相互，那么

P（A·B）=P（A）· P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

其中R表示球的半径 球的体积公式

V433R

n次重复试验中恰好发生k次的概率

Pn(k)CnP(1P)kknk其中R表示球的半径

一．选择题

（1）设集合M{x|xx0},N{x||x|2}，则

（A）MN （C）MNM

x2 （B）MNM （D）MNR

（2）已知函数ye的图像与函数yf(x)的图像关于直线yx对称，则

（A）f(2x)e2x(xR） （B）f(2x)ln2·lnx（x0） （D）f(2x)lnxln2（x0）

（C）f(2x)2e(xR）

2x（3）双曲线mx

（A）14y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m=

2（B）－4 （C）4 （D）

14

（4）如果复数(mi)(1mi)是实数，则实数m=

（A）1

（B）－1 4)的单调增区间为 ),kZ ),kZ

（C）2 （D）－2

（5）函数f(x)tan(x

（A）(k（C）(k234,k2（B）(k,(k1)),kZ （D）(k4,k34),kZ

,k4（6）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 若a、b、c成等比数列，且c2a,则cosB

1434 （A） （B） （C）

24 （D）

23

（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

（A）16

（B）20

（C）24

（D）32

（8）抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是

（A）

43 （B）

75 （C）

85 （D）3

（9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0. 如果平面向量b1、b2、b3满足

|bi|2|ai|,且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则

（A）b1b2b30 （C）b1b2b30

（B）b1b2b30 （D）b1b2b30

（10）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1a2a315,a1a2a3=80，则

a11a12a13=

（A）120 （B）105 （C）90 （D）75

（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但

不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 （A）85cm2 （C）355cm2

（B）610cm2 （D）20cm2

（12）设集合I{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中

最大的数，则不同的选择方法共有 （A）50种 （B）49种

（C）48种 （D）47种

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后2．第II卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 答无效。 3．本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在横线上.

（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 .

（14）设z2yx，式中变量x、y满足下列条件

2xy1,3x2y23, y1, 则z的最大值为 . （15）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）

（16）设函数f(x)cos(3x)(0). 若f(x)f(x)是奇函数，则= .

三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时,cosA2cosBC2取得最大值,并

求出这个最大值.

（18）（本小题满分12） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为

23，服用B有效的概率为

12.

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数. 求的分布列和数

学期望.

（19）（本小题满分12分）

如图，l1、l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段. 点A、B在l1上，C在

l2上，AM = MB = MN.

（Ⅰ）证明ACNB；

（Ⅱ）若ACB60，求NB与平面ABC所成角的余弦值.

（20）（本小题满分12分） 的椭

圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB. 求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,3)和F2(0,3)为焦点、离心率为

32

（Ⅱ）|OM|的最小值. （21）（本小题满分14分）

已知函数f(x)1x1xeax.

（Ⅰ）设a0，讨论yf(x)的单调性；

（Ⅱ）若对任意x(0,1)恒有f(x)1，求a的取值范围.

（22）（本小题满分12分）

设数列{an}的前n项的和

43an132n1 Sn

23,n1,2,3,

（Ⅰ）求首项a1与通项an；

（Ⅱ）设Tn2nnSn,n1,2,3,,证明：Tii132.

2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参

一．选择题 （1）B

（7）C

3（2）D （8）A

（3）A （9）D

（4）B （10）B

（5）C （11）B 6（6）B （12）B

二．填空题 （13）

（14）11 （15）2400 （16）

三．解答题

（17）解：由ABC,得BCA,

222 所以有 cosBC2sinA2.

cosA2sinA2 cosA2cosBC2

12sin2A2sinA

22 2(sin2A12)23232.

当sinA212,即A3时,cosA2cosBC2取得最大值.

（18分）解：

（Ⅰ）设A1表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2， B1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2，

依题意有

P(A1)2.

339339111111 P(B0).P(B1)2.

224222,P(A2)124224 所求的概率为

14494914491249 P = P（B0·A1）+ P（B0·A2）+ P（B1·A2） = .

49

（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B（3，）

P(0)()39P(1)C315125729,

52100(), 99243425802P(2)C3(),

99243443P(3)().

9729ξ的分布列为 ξ p

数学期望E3（19）解法：

（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MNl1 = M，

可得l2⊥平面ABN.

由已知MN⊥l1，AM = MB = MN， 可知AN = NB 且AN⊥NB又AN为 AC在平面ABN内的射影， ∴ AC⊥NB （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB， ∴ AC = BC，又已知∠ACB = 60°，

因此△ABC为正三角形。

4943.

0 1257291 1002432 802433 729

∵ Rt △ANB = Rt △CNB。

∴ NC = NA = NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠

NBH为NB与平面ABC所成的角。

在Rt △NHB中，cosNBH解法二：

如图，建立空间直角坐标系M－xyz， 令 MN = 1，

则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。 （Ⅰ）∵MN是l1、l2的公垂线，l2⊥l1，

HBNB3322ABAB63.

∴l2⊥ 平面ABN， ∴l2平行于z轴， 故可设C（0，1，m）

于是AC(1,1,m),NB(1,1,0),

ACNB1(1)00,

∴AC⊥NB.

（Ⅱ）AC(1,1,m),BC(1,1,m).|AC||BC|. 又已知∠ABC = 60°，∴△ABC为正三角形，AC = BC = AB = 2. 在Rt △CNB中，NB =2，可得NC =2，故C(0,1,2). 连结MC，作NH⊥MC于H，设H（0，λ，2）（λ> 0）. HN(0,1,2),MC(0,1,2).

HNMC120,123232313.

1323 H(0,,3),可得HN(0,,),连结BH,则BH(1,,).

HNBH029290,HNBH,又MCBHH,

∴HN ⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角. 又BN(1,1,0). cosNBH（20）解：

（Ⅰ）椭圆的方程可写为

ya22BHBN|BH||BN|4323263.

xb221，

a2b23式中ab0, 且33

2a得a4,b1，所以曲线C的方程为

y222x241 (x0,y0)

2y21x (0x1),y2x1x2

设P(x0,y0)，因P在C上，有0x01,y021x0,y|xx024x0y0，得切线AB

的方程为 y4x0y0(xx0)y0.

设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得

x1x0,y4y0.

由 OMOAOB的M的坐标为（x，y），由x0,y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为

1x24y21(x1,y2).

（Ⅱ）∵|OM|2x2y2

2y141x244x12

2∴|OM|x1且当x1224x1,即x25459

31时，上式取等号，

4x12故OM的最小值为3。 （21）解：

（Ⅰ）f(x)的定义域为(,1)(1,). 对f(x)求导数得

ax2f(x)2a2(1x)eax

2x(1x)22x（i）当a=2时，f(x)e,f(x)在(,0),（0，1）和（1，+∞）均大于0，

所以f(x)在(,1), (1,)为增函数。

（ii）当0a2时,f(x)0,f(x)在（－∞，1），（1，+∞）为增函数。 （iii）当a2时,0a2a1.

令f(x)0, 解得x1a2a,x2a2a

当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：

a2aa2aa2aa2ax (,) (,) (,1) （1，+∞）

f(x) f(x) + ↗ a2aa2a－ ↘ + ↗ + ↗ f(x)在(,), (,1),（1，+∞）为增函数，

f(x)在(a2a,a2a)为减函数。

（Ⅱ）（i）当0a2时，由（Ⅰ）知：对任意x(0,1)恒有 f(x)f(0)1.

12a2a（ii）当a2时，取x0(0,1)，则由（Ⅰ）知 f(x)f(0)1.

1x1xax（iii）当a0时，对任意x(0,1)，恒有

f(x)1x1xeax1且e1，得

1x1x1.

综上当且仅当a(,2]时，对任意 x(0,1)恒有f(x)1. （22）解：

（Ⅰ）由Sn4333412得 a1S1a14

333an12n12, n1,2,3, ①

所以 a1=2 再由①有 Sn143an1132n23, n2,3, ② 43(anan1)13(2n1将①和②相减得 anSnSn12), n2,3,

nnn1 2,3,， 整理得 an24(an12), nn因而数列{an2}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即

nn1n4，n=1，2，3，„， an244nn因而 an42, n=1，2，3，„，

nn（Ⅱ）将an42代入①得

Sn43(42)1323(2(22nn1nn132n1n1231)(21)(22)

n1n11)TnSnn32322(2n1nn1)(21)12n1(1213n

n1)所以，Tii12i1(1211i12i11)

3232(.

21i12n11)