特征分解型离散分数阶Fourier变换

硼ＰＡ　＆ＡＰ霞　【本文献信息】樊孝明，阎鹏，王玫．特征分解型离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换［Ｊ］．电视技术，２０１２，３６（１５）．　■　教蠢　ｉ　ｄｔｏ屯＾ｑｉ　ｔ　ｃｆｔ“　特征分解型离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换　樊孝明，阎鹏，王玫　（桂林电子科技大学信息与通信与学院，广西桂林５４１００４）　【摘要】分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换作为Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的广义形式，广泛应用于科学计算和研究，离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换是其得以应用　的关键。特征分解算法是由可交换对角矩阵得到近似连续Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｇａｕｓｓｉａｎ函数的特征向量，再对Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数进行　加权和运算。对一种基于数特征分解的方法进行了改进，并进行计算机仿真。仿真结果表明所得的Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数与连　续函数的近似度更为优异，从而提高了离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的近似度。　【关键词】分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换；离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换；特征分解　【中图分类号】ＴＮ９１１　【文献标识码】Ａ　Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｎｅｗ　Ｅｉｇｅｎｄｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ＦＡＮ　Ｘｉａｏｍｉｎｇ，ＹＡＮ　Ｐｅｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｍｅｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｇｕｉｌｉｎ５４１００４，Ｃｈｉｎａ）　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＲＦｒ）ａｓ　ａ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒｌａｉｚｅｄ　ｆｏｒｍ　ｉｓ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ａｎｄ　ｅｎｇｉｎｅｅｉｒｎｇ　ｒｅ－　ｓｅａｒｃｈ，ａｎｄ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＤＦＲＦＦ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｋｅｙ　ｆｏｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｅｉｇｅｎｄｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｔｒｉｄｉａｇｏｎａｌ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　ｍａｔｒｉｘ　ｗｈｉｃｈ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ｓａｍｐｌｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｌｉｋｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ＤＦＲＦｒ　ｉｓ　ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ　ａｓ　ａ　ｗｅｉｇｈｔｉｎｇ　ｓｕｍｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｍ　ｉｈｓ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｇａｎｓｓｉａｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｉｎ・　ＵＯＵＳ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｄｅｇｒｅｅ　ｍｏｒｅ　ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ．ＳＯ　ａｓ　ｔｏ　ｉｎｃｒｅａＳｅ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｏｒｄｅｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｄｅｇｒｅｅｓ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ】ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｒｔａｎｓｆｏｒｍ；ｅｉｇｅｎｄｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　近年来，分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＦＲＴ）在光信号处理、量　子力学、时频域分析、光滤波器等领域得到广泛应用，离散　化是其应用的关键。当前主要的离散算法有直接型算法、　ｒ　＿二　ｅＪ州　“　”“　（　，ｕ）＝｛６（　一Ｍ），　＝ｎ１ｒ　Ｌ６（ｔ＋Ｍ），　＝（２ｎ＋１）啊　（２）　线性加权型算法和特征分解型算法。线性加权性算法不　能逼近连续分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，采样型算法不能满足分　数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换特有的旋转相加性，因此不是严格的离　散化算法。特征分解型是目前唯一严格定义了ＤＦＲＦＦ的　算法，这种算法与连续分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换十分相近，同时　还有“分数阶”的特有性质：旋转相加性。这样正逆变换　就可以用相同的表达式描述，只是相差一个参数，用一个　（ｔ，“）可以写成以下形式　（￡，“）：∑ｅ。ｊ　Ｈｎ（ｔ）Ｈｎ（ｕ）　，’（３）　（ｔ）为ｎ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数（ＨＧＦ），公式为　÷　．　（ｔ）＝　￣／２　ｎ！　（　￡）ｅ　（４）　ｈ　（ｔ）为／／，阶Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ多项式。ＦＲＦＴ在数　统一的程序可以把分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域应用到时域。本文对　学上是普通Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的广义形式，并且ＦＲＦＩ＂是Ｈｅｒ－　种特征分解型算法进行改进，仿真结果表明新算法具有　ｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数的加权和，加权系数为输入信号和　一更高的近似性。　Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数内积与相位因子ｅ＿ｊ　的乘积。　１　连续分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换　Ｘ。为ＦＲＦＦ算子，时域连续信号　（ｔ）的ａ阶ＦＲＦｒ定　义为　２　特征分解型ＤＦＲＦＦ算法　特征分解型ＤＦＲｂｑ＇定义为　ｘｏ（“）＝　（　）　（　）ｄ￡　（１）　。　ＶＤ。ｖＴ＝｛ｋｌ　Ｎ＝．　Ｏ２　＝ｆ∑ｅ。。ｌ，　Ｔ　，Ⅳ为奇数　（、　５）　式中：Ｋａ（ｔ，Ｕ）为核函数，以２订为周期。　【∑ｅ～＇，　Ｔ＋ｅ～　ｌ，Ｔ　，Ⅳ为偶数　基金项目：国家自然科学基金项目（６１１７２０５４；６１０７１０８８）　５４　《电视技术》第３６卷第１５期（总第３９１期）Ｉ投稿网址ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ＶｉｄｅｏＥ．ｃｎ　囊秘教堪ｉｄｔ　ｏｑＥｎｇｉ　ｎ　ｅ　ｃｒｉｎｇ　ｌｐ　　ＡＲＴＳ　＆　Ｕ晃　Ｃ　Ａ与ＴＩＯ应Ｎ用Ｓ　ｌ器ｌＩ　■　＆ＡＰＰ式中：　：　。　。…‘ｌ，　‘ｌ，　］，Ⅳ为奇数Ｌ；ｌ，　是　［＇，ｏ　Ｉ＇，ｌ　ｌ…ｌ＇，　Ｉ　ｖ，ｖ］，Ｎ为偶数　个零交点的ｋ阶近似离散ＨＧＦ，通过与Ｆ的可交换对角　量更接近采样的ＨＧＦ，故ｋ。要比ｋ　小很多。当ｋ。非零　时，ｋｌＳ＋．ｉ｝　Ｔ和Ｓ＋（　）　有相同的特征值，所以用　＋　　矩阵Ｓ特征向量的标准正交化得来；Ｄ是对角矩阵，其对　ｋＴ，ｋ≥０来求取Ｆ的特征向量。由Ｓ＋．ｊ｝　求取特征向量的相似度要优于由Ｓ求出的　角线元素与　中的列向量相对应。　。＝　（ｄｉａｇ　１　（，ｅ～，０≯…，ｅ　一　，ｅ一），为Ｎ’　偶数　㈤　特征向量，近似均方根误差（ＲＭＳＥ）比较小。所得到的　ＤＦＴ特征向量与连续Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的特征函数的近似程度　ＤＹＦ变换矩阵特征值的赋值规则如表１所示　很高。基于　（或　＋ｋＴ）的ＤＦＲＦＴ定义如下　表１　ＤＦＲｂ３＂特征值赋值规则　ｆ∑ｅ　ｇ　ｇ　，Ｎ为奇数　＝ＧＤ。Ｇ　＝Ｊ　。　Ｉ　４ｍ毫　—　Ｉ　｜　Ｉ　ｅ　；ｋ＝ｏ　３Ｉ“　每　≥　薯毫Ｉ　【∑ｅ　ｇ，ｇ　Ｔ＋ｅ　ｇ，ｇＴ，Ⅳ为偶数　４ｍ“　｜　，ｋ　＇２　ｌ４ｍ　Ｉｌ４ｍ　［ｇｏＩ　ｇ￣　＂＇＂Ｉ　ｇ　Ｎ－２　Ｉ　ｇ￣＿’　是　ｎ　Ｉ｜　＾　２１　…。　…．。。ｌ…Ｉ　ｇ　ｌ　ｇ　］，为偶数　Ｎ（或　＋　）的ｒ阶归一化ＤＦＴ向量。　＿　一一一一．　坚　值得注意的是当Ⅳ为偶数时，最后一个特征值有跳　４　实验仿真　２　１　Ｏ　９　８　７　６　跃，这与特征值的多样性是一致的。　实验１：为了求取Ｓ＋ｊ｝　中ｋ的最佳取值，首先计算　Ｓ＋ｋＴ的特征向量，然后对取得的Ⅳ个特征向量分别与连　３　改进型特征分解算法　续ＨＧＦ进行比较，计算其均方差的总和。分别对Ⅳ取值　为了改进特征分解算法，引入一个新的可交换对角　２５，５０，７５，１００，ｋ的取值为０～５４。仿真结果表明当ｋ＝１５　镇阵　．公式为　的时候均方差最小，如图１所示。　０．５　ｓ寺，　夏孚　。　。　…　Ｎ　ｃｏｓ－ｏ　８。—－￣Ｔ＿＿一　ｓ导）　。　。　ｌ　＼　Ｉｃ０ｓ　】　＼　ｃｏｓＩＮ２）７ｔｃ　ｏｓＩＮ１）￣ＴＮＮ——２　—【　】　ｅｍ寺　９　～　●　Ｈ－　＋　●●●●　—　（７）　Ｏ　５　１Ｏ　ｌ５　２０　２５　３Ｏ　３５　４０　４５　５０　的特征向量也是Ｆ的特征向量。由于Ｓ和　的特　ｋ　征向量都是近似ＨＧＦ，而Ｓ与　是线性无关的，所以　和　图１　Ｎ＝２５时的均方差　的线性组合ｋ　ｍＳ＋｜ｉｃ：　的特征向量也是近似离散ＨＧＦ。　ｌ＋『　实验２：对函数　（ｆ）：ｌ一　，Ｉ　ｔ　ｌ≤２分别进行连　通过实验，发现：　０，其他　］＜　Ⅲ　］＞　）．　续ＦＴＲ和基于Ｓ，　，　＋１５Ｔ的ＤＦＲＴ。Ｎ＝６４，取样间隔　［凡］＞　（　Ⅲ　＜　（　）。　为÷，对变换阶数取０．１～１。然后计算其均方根误差　（ＲＭＳＥ），仿真结果如图２所示。　式中：　［　］和　［ｒｔ］是分别由Ｓ和　生成的特征向量；　ｈ（ｔ）是连续ＨＧＦ。如果将Ｊｓ和　进行适当的线性组合，　通过这两个仿真可以发现这种方法求得的特征向量　与连续ＨＧＦ的近似度要优于以往的方法。　将得到十分近似　（　）的特征向量。由于Ｔ的特征向　（下转第６３页）　投稿网址ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ＶｉｄｅｏＥ．ｃｎ　ｌ《电视技术》第３６卷第１５期ｌ总第３９１期）　５５　５　４　■　我囊　ｉｄ｜ｏ　Ｅｎｇｉ＃ｃｔ　ｒｉｎｇ　ＩＮ　Ｒ　ＴＥＲ　磷　硼　储架构，外部存储器ＳＤＲＡＭ存储６帧ＨＤ图，每一帧图采　用顶底场数据分开的方式存储在ＳＤＲＡＭ中，整个ＭＣ单　元采用并行多级流水线处理，实现了对外部帧存储单元的　高效存取访问以及运动补偿的高效计算，处理１　Ｍｂｙｔｅ的　ＭＣ操作需要大约５２０个时钟周期，相比文献［６］节省了　１５％。综合结果表明，本设计满足高清视频解码的要求。　参考文献：　［１］Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ＪＶＴ－Ｃ１６７．Ｄｒａｆｔ　ＩＴｕ—Ｔ　ｒｅｃｏｍｍｅｎｄａｔｉｏｎ　Ｈ．２６４（ａ．ｋ．ａ”Ｈ．　ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｓｏｌｉｄ—Ｓｔａｔｅ　ａｎｄ　Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ｃｉｒｃｕｉｔ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１０．［Ｓ．１．］：ＩＥＥＥ　Ｐｒｅｓｓ，２０１０：４４５－－４４７．　　ａ１．Ａ　ｎｏｖｅｌ　ＶＬＳＩ　ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ　ｏｆ　［６］　ＺＨＥＮＧ　Ｊｕｎｈａｏ，ＧＡＯ　Ｗｅｎ，ＷＵ　Ｄ，ｅｔｍｏｔｉｏｎ　ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｓｔａｎｄａｒｄｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｃｏｎｓｕｍｅｒ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２００８，５４（２）：６８７－６９４．　　Ｃ　Ｙ，ＣＨＥＮ　Ｔ　Ｃ，ＣＨＥＮ　Ｔ　Ｗ，ｅｔ　ａ１．Ｂａｎｄｗｉｄｔｈ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ　ｍｏｔｉｏｎ　［７］　ＴＳＡＩｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ　ｈａｒｄｗａｒｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｆｏｒ　Ｈ．２６４　ＨＤＴＶ　ｄｅｃｄｅｏｒ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ．　４８ｔｈ　Ｍｉｄｗｅｓｔ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００５．［Ｓ．１．］：ＩＥＥＥ　Ｐｒｅｓｓ，２００５，２：１　１９９－１２０２．　◇　２６Ｌ”）［Ｓ］．２００２．　［２］ＷＡＮＧ　Ｓ　Ｚ，ＬＩＮ　Ｔ　Ａ，ＬＩＵ　Ｔ　Ｍ，ｅｔ　１．Ａ　ａｎｅｗ　ｍｏｔｉｏｎ　ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ　ｄｅｓｉｇｎ　ｆ０ｒ　Ｈ．２６４／ＡＶＣ　ｄｅｃｏｄｅｒ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００５．［Ｓ．１．］：ＩＥＥＥ　Ｐｒｅｓｓ，２００５：４５５８－４５６１．　［３］ＫＩＭ　Ｊ　Ｈ，ＨＹＵＮ　Ｇ　Ｈ，ＬＥＥ　Ｈ　Ｊ．Ｃａｃｈｅ　ｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｈ．２６４／ＡＶＣ　ｍｏｔｉｏｎ　ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎｆ　Ｃ］／／Ｐｒｏｅ．１３ｔｌｌ　ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　作者简介：　曹超（１９８７一　）。硕士生。研究方向为信号检测与信号处理、专用集　成电路设计与应用；　虞礼贞（１９４８一　）。教授。研究方向为信号检测与信号处理、专用集成　电路设计与应用；　张延军（１９７８一　）。副研究员。研究方向为专用数字信号处理器设计、　嵌入式图形处理器：　ＲＴＣＳＡ，２００７．［Ｓ．１．］：ＩＥＥＥ　Ｐｒｅｓｓ，２００７：５３４－５４１．　［４］ｒｒＵ－Ｔ　Ｈ．２６４建议书［Ｓ］．２００５．　［５］ＬＩＮ　Ｃ　Ｆ，ＣＨＵＮＧ　Ｃ　Ｃ，ＴＳＡＩ　Ｙ　Ｃ，ｅｔ　ａ１．Ｂａｎｄｗｉｄｔｈ－ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ　研究方向为ＶＬＳＩ超大规模集成电路　李广桢（１９８１一　）．Ｉｃ工程师。设计、多标准视频解码器芯片设计。　责任编辑：薛京　收稿日期：２０１２－０２－２６　ｄｅｓｉｎｇ　ｏｆｒ　ｍｏｔｉｏｎ　ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｈ．２４／ＡＶＣ　６ｄｅｃｏｄｅｒ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ．１０ｔｈ　（上接第５５页）　０．０１５　ｌ—・一基于踟阵　｝一争一基于鹿阵　—　参考文献：　［１］陶然，邓兵，王越．分数阶傅里叶变换及其应用［Ｍ］．北京：清华大学　出版社，２００９．　０．０１０　，。　／　＼　ｌ—ｅ一基于　ｌ５丁矩阵　＼　＼　／　．／　一一｛　＼　Ｏ．０ｏ５　｛　，　＼．　＼　＼　、　［２］ＯＺＡＫＴＡＳ　Ｈ　Ｍ，ＡＲＩＫＡＮ　Ｏ．Ｄｉｇｉｔａｌ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕ・　ｉｔｅｒ　ｔｒｎｓｆａｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒｎｓ．Ｓｉａｎａｇｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９６，４４（９）：　２１４１－２１５０．　ｒ　［３］ＣＡＮＤＡＮ　Ｃ，ＫＵＴＡＹ　Ｍ　Ａ，ＯＺＡＫＴＡＳ　Ｈ　Ｍ．Ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕ—　ｒｉｅｒ　ｔｒｎｓｆａｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｍ．Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０００，４８（５）：　１３２９—１３３７．　Ｐ　／’　—　．　［４］ＰＥＩ　Ｓ　Ｃ，ＹＥＨ　Ｍ　Ｈ，ＴＳＥＮＧ　Ｃ　Ｃ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｍ　ｒＯ　０．１　Ｏ．２　０－３　Ｏ－４　Ｏ．５　０．６　Ｏ．７　０．８　Ｏ．９　１．０　阶数　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｐｒｏｊｃｔｅｉｏｎｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９９，　４７（５）：１３３５－１３４８．　图２基于３种矩阵的ＤＦＲＦＴ的ＲＭＳＥ　［５］ＴＳＥＮＧ　Ｃ　Ｃ．Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ　ａｎｄ　ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｍ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＤＦＴ，ｇｅｎｅｒａｌ—　５　结束语　ｉｚｏｄ　ＤＨＴ，ＤＣＴ—ＩＶ　ａｎｄ　ＤＳＴ－ＩＶ　ｍａｔｉｒｃｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒｍ．Ｓｉｇａｎａｌ　Ｐｒｏ－　ｃｅｓｓｉｎｇ，２００２，５０（４）：８６６－８７７．　本文对一种基于特征分解的ＤＦＲＦＦ进行了改进，其　［６］ＰＥＩ　Ｓ　Ｃ，ＤＩＮＧ　Ｊ　Ｊ．Ｅｉｇｅｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｆｆｓｅｔ　Ｆｏｕｉｒｅｒ，ｆｒａｃｔｉｏｎｌａ　Ｆｏｕ—　特征向量为离散近似Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数，绝大多数特　ｉｔｅｒ，ａｎｄｌｉｎｅａｒ　ｃａｎｏｎｉｃａｌｔｒｎｓｆａｏｒｍｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｏｐｔ．ＳＯｃ．Ａｍｅｒ．Ａ，Ｏｐｔ．Ｉｍａｇｅ　征向量与连续Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数的近似度要优于以　往的方法。同时对此特征值和特征向量的性质做了严谨　Ｓｃｉ．，２００３，２０（３）：５２２－５３２．　的研究。更进一步将Ｓ与　进行适当的线性组合，用其　线性组合计算出的特征向量与Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｇａｕｓｓｉａｎ函数的　◇　作者简介：　樊孝明（１９７１一）。讲师．主要研究方向为扩频通信、超宽带通信等　研究：　近似度更为优异，从而提高了整体ＤＦＲＦＴ计算的准确性。　由于特征分解满足分数阶的旋转相加性，特别适合应用于　阎鹏（１９８３一）。硕士生．主要研究方向为超宽带网络的定位技术。　雯　收稿日期：２０１２－０３－１３　ＬＦＭ信号的处理。　责任编辑：时投稿网址ｈｎｐ：／／ｗｗｗ．ＶｉｄｅｏＥ．ｃｌｆＩ《电视技术》第３６卷第１５期（，￣３９１期）　６３