结构力学-第7章位移法

第7章 位移法

一. 教学目的

掌握位移法的基本概念；

正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程；

熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节

§7-1 位移法的基本概念

§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作 §7-3 位移法解无侧移刚架 §7-4 位移法解有侧移刚架 §7-5 位移法的基本体系 §7-6 对称结构的计算

＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容） §7-8小结 §7-9思考与讨论 三. 学习指导

位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。

四. 参考资料

《结构力学 (Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257

第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。

/.

本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）

§7-1 位移法的基本概念

1.关于位移法的简例

为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。图7-1和图7-2所示。

(a) (a)

(b) (b)

图7-1 图7-2

第一步：从结构中取出一个杆件进行分析。（杆件分析）

图7-2中杆件AB 如已知杆端B沿杆轴向的位移为ui（即杆件的伸长）则杆端力FNi为：

FNiEAiui （7-1） liE-为弹性模量，A-为杆件截面面积，li-为杆件长度

/.

EAi--使杆端产生单位位移时所需施加的杆端力 -- 刚度系数 li公式（7-1）的物理意义：表明杆件的杆端力FNi与杆端位移ui之间的关系---杆件的刚度方程。

第二步：把各杆件综合成结构。（整体分析）

各杆端位移ui与基本未知量之间的关系为：uiSini (a) B点的平衡条件为Fy0得：FNiSiniFp （b）

i15EA由7-1式和（a）式带入(b)式得：iSiniFp （c）

i1li52（c）式就是位移法的基本方程，它表明结构的位移与荷载Fp之间的关系。由（c）式可得：

FP （d） 完成了位移法中的关键一步 5EAiSin2ii1liFPSini再代入（7-1）得：5EAiSin2ii1li求各杆轴力可将求得的代入（a）式得uiEAiSinilFNi5iFP (e)

EAiSin2ii1li在图7-1中如果只是两根杆时结构是静定的（相当于固定一个结点的方式，用两根不共线的链杆）。当杆数大于2时，结构式超静定的。所以用位移法计算时，计算方法并不因结构是静定结构还是超静定结构而有所不同。

由以上简例可以归纳出位移法的要点如下：

（1） 位移法的基本未知量是结构的结点位移（图7-1中的B点的位移） （2） 位移法的基本方程是平衡方程（B点的y方向的投影平衡方程式Fy0） （3） 建立基本方程的过程分为两步：

a：将结构拆成杆件，进行杆件分析得出杆件的刚度方程；b：再把杆件综合成结构，进行整体分析得出基本方程。

（4） 根据位移法方程解出基本未知量并由此计算各杆的内力。

/.

位移法就是将结构拆了再搭的计算过程—基本思路。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法的基本方程的基础。因此位移法也称为刚度法。 位移法与力法的区别：

1.主要区别是基本未知量不同：力法是取结构中的多余未知力作为基本未知量；位移法是以结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。

2.建立的基本方程不同：力法是由变形协调条件建立位移方程；位移法是由平衡条件建立的平衡方程。

注：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。

如左图所示 ： 力法计算, 9个基本未知量；

位移法计算, 1个基本未知量

2.位移法计算刚架的基本思路

以上结合链杆系的情况对位移法的基本思路做了简短的说明。现在再结合刚架的情况作进一步的介绍。在刚架的分析中，通常只考虑弯曲变形，忽略剪切和拉伸变形。

下面结合简单实例说明位移法的基本思路。

图7-3

如图7-3a 所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件AB、BC 在结点B 处有相同的转角θ，称为结点B 的角位移。将整个刚架分解为AB、BC 杆件，则AB 杆件相当于两端固定的单跨粱，固定端B发生一转角θ( 图7-3b )，BC 杆相当于一端固定另一端铰支的单跨粱，

/.

受荷载作用，同时在 B 端发生角位移( 图7-3c )。如果能够求出角位移，则能够计算出杆件的内力，问题的关键是求结点的角位移。

用位移法计算刚架，结点的位移是处于关键地位的未知量，基本思路是拆了再搭，将刚架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用平衡条件求出位移。对于位移法的基本计算将在今后具体分析。

§7-2 等截面杆件的刚度方程

一. 教学目的

本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解杆端剪力和弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判定和选择杆端剪力和弯矩。

二. 主要内容

1. 由杆端位移求杆端弯矩(1) 由杆端位移求杆端弯矩(2) 2. 由荷载求固端弯矩(1) 由荷载求固端弯矩(2) 三. 学习指导

本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解其中的关系和符号。

根据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要讨论等截面杆件的两个问题：由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。

四. 参考资料

《结构力学教程(Ⅰ)》 P227～P232 7.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(1)

图7-4为等截面杆件，截面惯性矩为常数。已知端点A 和B 的角位移分别是θA 和θB ，两端垂直于杆轴的相对线位移为Δ，拟求杆端弯矩MAB、MBA。

/.

图7-4

在位移法中位移的正负号规定为：结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正。这一点一定要注意与以前的不同。

应用单位荷载法可得出：

杆件的线刚度 i=EI/l 解联立方程可得：

利用平衡条件可求出杆端剪力如下：

于是可将上式写为：

则矩阵

/.

称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数，又称为形常数。

上面公式利用力法计算过程：1.用力法来计算简支梁在两端力偶MAB、MBA作用下产生的杆端转角A、B。

''MBAMBAB

MAB(b) MX11P图

1

(c)

M1图

X211 (d)

AM2图

1(MABMBA)l2MBAl1[]EI2322l11(MABMBA)EI36

/.

B1(MABMBA)l1MBAl1[]EI2322l11(MBAMAB)EI36

2.考虑两端有相对竖向位移 ∆，

图7-5

'A'''Bl

杆件的线刚度 i=EI/l，所以：

下面讨论杆端具有不同约束时的刚度方程。 7.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(2)

根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程

以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。 对于图7-6a B 端为固定支座，θB = 0 ，则得

/.

对于图7-6b B 端为铰支座，MBA = 0 ，则得

对于图7-6c B 端为滑动支座，θB =0 和 FQAB = 0 FQBA =0 ，则得

图7-6

下面将讨论由荷载引起的固端弯矩。

7.2.3 由荷载求固端弯矩(1)—载常数

对于常见的三种粱：两端固定；一端固定、另一端简支；一端固定另一端滑动支承，下表给出常见荷载作用下的杆端弯矩和剪力，又称固端弯矩和剪力用MAB、MBA、FQBA、

FFQBA表示，其正负号要注意。因为它们只与荷载形势有关的常数，所以又称载常数。下面是

FFF固端弯矩和剪力，表7-1。

单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。

单跨超静定梁简图 MAB MBA FQAB=FQBA 4i 2i 6i ll12i 6i l 6il2 3i 0 3il /. 3i 0 l 3il2 i -i 0

/.

/.

最后利用叠加原理得到杆端弯矩的一般公式为：

上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。

§7-3 无侧移刚架的计算

一. 教学目的

本节是位移法在计算刚架中的直接应用，能够正确的确定基本未知量，熟练的掌握转角位移方程的应用并能够求解无侧移刚架和粱的内力。

二. 主要内容 1. 一般概念及过程 2. 实例分析 三. 学习指导

本节的关键是转角位移方程的应用，其中荷载项可查表计算，注意正负号的规定，要多进行练习。

四. 参考资料

《结构力学(Ⅰ)》P232～P235 7.3.1 一般概念及过程

无侧移刚架：刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移。 下面通过连续梁的计算来介绍位移法的实际过程。 图7-8a 为一连续粱，试分析内力。

/.

图7-8

1. 基本未知量只有结点B 的角位移θB 2. 查表列出各杆的固端弯矩

MFABFPLFPLqL2FF9 Mpa 15Mpa ；MBA15 Mpa；MBC8883.各杆的杆端弯矩：

4. 建立位移法基本方程，结点B为隔离体图7-8b ，列平衡方程，并求解

5. 计算各杆杆端弯矩

最后画出弯矩图（图7-8c）。画图时注意弯矩画在受拉一侧。

一般的情况，每一个刚结点由一个结点转角----基本未知量；与此相应，在每一个刚结点处又可写一个力矩平衡方程----基本方程。

刚架分析 7.3.2 实例分析

利用位移法计算图7-9a刚架的内力。

/.

图7-9

1. 基本未知量

共有两个刚结点，因而有两个基本未知量：θB 和θC 2. 用转角位移方程表达杆端弯矩 固端弯矩

各杆线刚度的计算

列各杆的杆端弯矩

3.利用结点B、C 的力矩平衡方程（图7-9b）

/.

4.求基本未知量

θB = 1.15 θC = -4.

5.计算杆端弯矩并画弯矩图(图7-9c)

§7-4 有侧移刚架的计算

一. 教学目的

通过本节的学习，要能够正确的确定位移法基本未知量----刚结点的角位移、的结点线位移，掌握转角位移方程的应用并能够求解有侧移刚架的内力。

二. 主要内容 1. 基本未知量的选取 2. 基本方程的建立及应用 三. 学习指导

本节的关键是转角位移方程的应用，注意线位移的确定，及截面平衡方程的建立，注意与无侧移刚架的相同点与不同点。

四. 参考资料

《结构力学(Ⅰ)》P235～P242 7.4.1 基本未知量的选取

结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基本未知量的个数，使计算得到简化，常作以下假设：

(1)忽略由轴力引起的轴向变形； (2)结点位移都很小；

(3)直杆变形后，曲线两端的连线长度等于原直线长度。

/.

如图7-5所示的两个刚架，在荷载作用下发生变形（角位移没有标出），结点处都有水平位移-----结点线位移。

图7-5a

图7-5b

根据假设，图8-5a 结点C 和D 的水平位移相等，因此，只有一个结点线位移，同理图7-5b 结点E 和F 的水平位移相等，结点C 和D 的水平位移相等，有两个结点线位移。

一般的如何确定位移法的基本未知量，主要有： 一个刚结点有一个角位移；

一层有一个结点线位移-----结点线位移的数目等于刚架的层数

对于图7-5a 的结构共有三个基本未知量----两个角位移、一个结点线位移，图7-5b 共有6个基本未知量----四个角位移、二个结点线位移 。

对于结点线位移还可以采用铰化法进行判断，即将所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，则体系的自由度数就是原结构的结点线位移的个数。

下面具体考虑如何进行计算 7.4.2 基本方程的建立及应用

用位移法计算有侧移的刚架时，基本思路与无侧移刚架基本相同，但应考虑 1. 在基本未知量中，要包括结点线位移；

2. 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。 下面结合实例进行分析:

/.

图7-6

图7-6a 所示的刚架，试做出弯矩图。 1. 确定基本未知量

共有两个未知量----刚结点 C 的转角θC和横梁 CD 的水平线位移Δ。 2. 建立各杆的转角位移方程

3.建立位移基本方程，求解基本未知量 取结点 C 为隔离体，列力矩平衡方程得

为了建立与线位移的相应的平衡方程，分别取 AC、BD 杆为隔离体（图7-6d、e），求出 FQCA 和 FQDB

建立与线位移相应的平衡方程，取横梁 CD 为隔离体（图7-6c），列水平投影平衡方程

/.

通过基本方程求解基本未知量

4.计算杆端弯矩

5.画弯矩图（图7-6f）

一般说来，在位移法的基本未知量中，每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个结点线位移有一个相应的截面平衡方程，平衡方程的个数与基本未知量的个数相等，正好全部求解基本未知量。

§7-5 位移法的基本体系

一. 教学目的

通过本节的学习，了解位移法的基本体系与典型方程的物理意义和解法，能够应用基本体系进行内力分析。

二. 主要内容

1. 位移法基本体系的概念 2. 实例分析 三. 学习指导

本节的主要内容是位移法的基本体系，学习过程中，应与力法的基本体系相联系，注重概念的理解，特别是相关的物理意义。

四. 参考资料

《结构力学(Ⅰ)》P297～P301 7.5.1 位移法基本体系的概念

前面讨论了基于转角位移方程的位移法基本运算，下面从基本体系的角度说明其物理意义。

/.

在有侧移的刚架一节中讨论了图7-7a所示的刚架，下面以此为例介绍位移法的基本体系，目的是可以进行相互对照。

图7-7

为了统一，将未知量都用Δ表示，以便于与力法中的基本未知量X 相对照。 结构的基本体系(图7-7b)，在刚结点C 增加刚臂约束控制结点C 的转角，在结点D 加水平支杆控制结点D 的水平位移。与此同时，结点B 不能转动，结点C 的不能移动，这个超静定结构称为位移法的基本结构(图7-7c)。

现在利用基本体系来建立基本方程。

1.控制附加约束，使结点位移Δ1和Δ2全部为零，结构处于锁住状态，施加荷载，可求出结构的内力，同时在附加约束中产生反力F1P和F2P。这些约束力在原结构中是没有的。

2.再控制附加约束，使控制点发生位移如果位移与原结构相同，则附加约束反力完全消失，附加约束不起作用，基本体系与原结构完全相同。

由此得出基本体系转化为原结构的条件：基本结构在给定荷载以及结点位移Δ1和Δ2共同作用下，附加约束反力应等于零。即

F1=0 F2=0

利用叠加原理进行计算

1. 荷载单独作用----相应的反力F1P和F2P(图7-8a)。

2. 单位位移Δ1=1单独作用----相应的约束力k11和k21(图7-8b)。 3. 单位位移Δ2=1单独作用----相应的约束力k21和k22(图7-8c)。

/.

图7-8

叠加以上结果即可得到位移法的基本方程

物理意义是基本体系应当处于放松状态,附加约束力应全部为零。

一般情形为

以上就是位移法的典型方程,其系数矩阵称为结构的刚度矩阵

通过反力互等定律得

出 kij=kji

可知结构的刚度矩阵为对称矩阵。

8.5.2 实例分析

下面将应用基本体系的思想，分析图7-7a所示的结构。

/.

1. 基本结构在荷载作用下的计算

图7-8

做基本结构在荷载作用下的弯矩图(图7-8a)，利用结点C和横梁的平衡条件(图7-8b、c)，求出

F1P = 3kN·m F2P = -3kN

2. 基本结构在单位转角Δ1=1作用下的计算

图7-9

当基本结构在结点C发生转角Δ1=1时,作弯矩图M1(图7-9a)，利用结点C和横梁的平衡条件(图7-9b、c)，求出

k11 = 7i k21 = -i

2. 基本结构在单位水平位移Δ2=1作用下的计算

/.

图7-10

3. 当基本结构在结点C、D 发生线位移Δ2=1时,作弯矩图M2(图7-10a)，利用结点 C 和横梁的平衡条件(图7-10b、c)，求出

k12 = - i k22 = 5 i /12

4. 列位移法基本方程,并求解出结点位移

利用叠加原理

作出弯矩图

§7-6 对称结构的计算

一. 教学目的

通过本节的学习，正确理解半结构法，从而选择适当的半结构进行简化计算，能够充分应用对称性质，求解对称结构。

二. 主要内容 1. 奇数跨对称结构 2. 偶数跨对称结构 三. 学习指导

/.

对称的连续粱和刚架结构在工程中有广泛的应用。作用于对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。

在对称荷载作用下：变形是对称的；弯矩图和轴力图是对称的；而剪力图是反对称的。 在反对称荷载作用下：变形是反对称的；弯矩图和轴力图是反对称的；而剪力图是对称的。

利用这些结论，计算对称的连续粱和刚架时，只需计算结构的半边结构。 由于结构的计算仍采用力法或位移法，因此本节主要讨论半边结构的取法。

对称结构是工程中应用较多的结构，要正确理解对称结构的性质，掌握对称结构不同荷载作用下的应用条件，掌握的关键是将对称结构进行简化，从而达到计算简化的目的。

四. 参考资料

《结构力学(Ⅰ)》P302～P306 7.6.1 奇数跨对称结构 1. 对称荷载

图7-11

图7-11a 为一对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，只有竖向位移，因此在计算中取半刚架图7-11b ，C 取为滑动支承端。

2. 反对称荷载

/.

图7-12

图7-12a 为一反对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有竖向位移，可有转角和水平位移，因此在计算中取半刚架图7-12b ，C 端取辊轴支座。

奇数跨结构的简化是在对称轴上分别取滑动支座（对称荷载）或辊轴支座（反对称荷载)。

下面讨论双跨的情况

7.6.2 偶数跨对称结构 1. 对称荷载

图7-13

图7-13a 为一对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，柱 CD 没有弯矩和剪力，不计轴向变形，因此在计算中取半刚架图8-13b ，C 端为固定支座。

2. 反对称荷载

/.

图7-14

图7-14a 为一反对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有轴力和轴向变形，在计算中取半刚架图8-12b 的形式，对称截面处的立柱的轴惯性矩取原来的一半 I/2。

双跨结构的简化是在对称轴上取不同的支座约束，同时在对称荷载和反对称荷载作用下的结构也不相同。要注意区别。

§7-7 小结

位移法是以刚结点的转角和结点线位移为基本未知量，其未知量的数目与超静定的次数无关，因此，对于超静定次数较高而结点位移数目较少的结构用位移法比较方便。

在位移法中，是以平衡方程为基本方程进行求解基本未知量。对一个刚结点有一个转角未知量，对应有一个刚结点力矩平衡方程。对每一个的结点线位移，可以有一个截面平衡方程，因此未知数与方程数是彼此相同的。

位移法的基本解题步骤为： 1. 确定基本未知量

2. 建立各杆的转角位移方程 3. 建立位移法的基本方程 4. 计算各杆的杆端弯矩 5. 画弯矩图

确定结构上的基本未知量以及写出各个杆件的转角位移方程是位移法的关键。 对称结构的计算，可以取半结构进行。关键是半结构的取法，了解清楚在对称荷载或反对称荷载作用下结构有那些的结点位移。

位移法的另一种演算形式是利用基本体系进行计算，对于今后的学习和矩阵位移法都有很好的指导意义。

§7-8 思考与讨论

/.

1. 位移法中的基本未知量是什么？如何确定其数目？ 2. 为什么支座处的转角不计入基本未知量？ 3. 什么是等截面直杆的刚度方程?

4. 如何写等截面直杆的转角位移方程？杆端弯矩的正负号如何确定？ 5. 在什么条件下的结点的线位移的数目等于铰结体系自由度的数目？

6. 在力法和位移法中，各以什么方式满足平衡条件,各以什么方式满足变形协调条件？ 7. 为什么对称结构在对称荷载和反对称荷载作用时可以采用半结构计算？ 8. 位移法的基本体系和基本结构有何不同？

9. 在结构内力计算中，什么情况可以采用刚度相对值，什么情况必须采用刚度的真值？ 10. 试说明位移法基本方程的物理意义。

第七章 位移法

§7-1 位移法的基本概念

/.

一、位移法与力法的区别

1.主要区别是基本未知量不同：力法是取结构中的多余未知力作为基本未知量；位移法是以结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。

2.建立的基本方程不同：力法是由变形协调条件建立位移方程；位移法是由平衡条件建立的平衡方程。

注：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。 二、位移法的基本假定

1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；

2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件的轴向变形；

3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，及结点线位移垂直于杆轴发生。 三、位移法的解题思路

1.确定基本未知量为B结点角位移Z1，在B点增加附加刚臂，建立基本结构。 附加刚臂的作用——结点转动，但不移动

2.增加附加刚臂后，B点角位移为零，基本结构可看作两个单跨超静定梁的组合体，先求出基本结构单独在荷载作用下的内力；

3.放松附加刚臂，使B结点产生角位移Z1，求出基本结构单独在Z1作用下的内力； 4.叠加以上两步，使结点平衡，即得位移法方程； 5.解方程求出基本未知量，并求出各杆内力，绘制内力图。 注：杆端内力正负号规定

（1） 杆端弯矩对杆端以顺时针转动为正，逆时针为负；对支座和结点而言，以逆时针为正； （2） 杆端剪力以使杆件顺时针转动为正。

§7-2 位移法的基本未知量与基本结构

一、基本未知量的确定

1.结点角位移的确定：结点角位移的数目 = 刚结点的数目

/.

2.的结点线位移的确定

（1）对于简单的结点线位移，可观察判断确定。

（2）对于复杂刚架结点线位移，可以用铰结体系自由度来确定，即把刚结点都改为铰结点，

固定端支座都改为铰支座，所得体系的自由度数为结点线位移的数目。

注意：Ⅰ.“铰化体系法”不适用于具有支杆平行于杆轴的可动铰支座或滑动支座的刚架，也

不适用于含有自由端杆件的情况。

Ⅱ.W＞0时，W的数目即为的结点线位移数目；W=0时，若体系几何不变，则无结点线位

移，若体系几何可变（瞬变），可以通过增加链杆使其几何不变，所需增加的链杆就是原 结构的结点线位移。

（3）附加链杆法：在结点处增加附加链杆以阻止全部可能发生的线位移所需的最少链杆数即

为的结点线位移。 二、位移法的基本结构

1.位移法的基本结构——是若干个单跨超静定梁组成的。

2.基本结构的建立——在产生角位移的刚结点处增加附加刚臂阻止结点转动，在产生线位移 的结点处增加附加链杆阻止其线位移，得到单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。

在结点F加一个附加支杆，这时结点F不能移动。F、B二结点不移动，结点E也就不移动了。E、A二结点不移动，结点D也就不移动了。

化为铰结体系(未画出)不难看出，需加入两根附加支杆才能使其形成几何不变体系。

该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取为一个结点。

铰结体系如图(b)所示，容易看出结点C能上下移动，需加入一附加支杆(图 (c))。 此外，还应在结点C处加入一附加刚臂。

§7-3 等截面直杆的计算

位移法的基本结构是单跨超静定梁的组合体，单跨超静定梁是位移法的计算单元。 一、固端力（杆端力与荷载之间的关系）

可见，只要加一个支杆，一排结点就都不移动了，不管梁是水平的，还是斜的。

/.

1.概念——由荷载作用产生的杆端力叫固端力，包括固端弯矩和固端剪力，是只与荷载的形

式有关的常数，故又叫载常数，可由力法计算求得，见表7.1。

2.正负号规定——弯矩和剪力均以使杆端顺时针转动为正。 二、刚度方程（杆端力与杆端位移之间的关系）

1.概念——杆端力与杆端位移之间的关系式称为杆件的刚度方程。 2.推导

图(a)所示两端固定梁AB，A、B端分别发生转角A、B，两端产生垂直于梁轴的相对侧移，其中AB′与水平方向的夹角称为弦转角，用AB或BA表示。

以上各种位移的正、负号规定为：杆端转角A、B以及弦转角都以顺时针转角为正；线位移的正、负号应与弦转角AB一致，即右端下沉、左端上升为正。图中所画各种位移均为正。

对于图(a)所示两端固定梁：

MAB4iA2iB6i， MBA2iA4iB6i

ll对于图(b)一端固定另端铰支梁：

MAB3iA3i， MBA0

l对于图(c)一端固定另端定向支承梁，其刚度方程为：MABiA， MBAiA

3.刚度系数——刚度方程中杆端位移的系数称为刚度系数，是只与杆件的几何尺寸和材料性

质有关的常数，故又叫形常数，见表7.1。

三、转角位移方程

1.概念——在位移法计算过程中，需要建立各等截面直杆的杆端力(杆端弯矩和杆端剪力)与

杆端位移、杆上荷载的关系式，通常称这种关系式为转角位移方程。

2.表达式：转角位移方程 = 刚度方程 + 固端力

§7-4 位移法典型方程

一、位移法求解超静定结构的两种方法

1.直接平衡法：确定结点位移未知量后，由表7.1写出各杆的杆端转角位移方程，再列出平

衡方程求解。

2.基本体系法: 确定结点位移未知量后，由表7.1作出基本结构的单位弯矩图和荷载作用下

的弯矩图，由此求得系数和常数项，再列出位移法典型方程求解。

二、位移法用典型方程求解的步骤 1.确定基本未知量，建立基本结构；

2.建立位移法典型方程 R10r11Z1r12Z2r1nZnR1P0

/.

R20r21Z1r22Z2r2nZnR2P0

3.求系数和自由项； 4.解方程求未知量； 5.绘制内力图及校核。

Rn0rn1Z1rn2Z2rnnZnRnP0

§7-5 用位移法计算连续梁和无侧移刚架

例1.求图(a)所示连续梁的弯矩图。 解:（1）确定基本未知量，建立基本结构。

结构有两个刚结点B和C，无结点线位移。其位移法基本结构如图(b)所示。 （2）建立位移法典型方程

基本结构受荷载及结点转角Z1、Z2共同作用，根据基本结构附加刚臂上的反力矩等于零这一条件，按叠加法可建立位移法典型方程如下：

r11Z1r12Z2R1P0

r21Z1r22Z2R2P0

（3）求系数和自由项

r114i6i10i， r12r213i r226i3i9i

R1P208060kNm R2P8060.9419.06kNm

（4）代入方程求未知量

Z17.37i， Z24.57i

（5）绘制弯矩图

MM1Z1M2Z2MP

例2.用位移法计算图(a)所示结构，并作内力图。已知各杆EI为常数。解：（1）在结点B加一刚臂得基本结构(图(b))，只有一个未知量Z1。 （2）位移法典型方程为

/.

r11Z1R1P0（3）求系数和自由项 r114i3i7i

R1P54035kNm （4）代入方程求未知量

Z15i

（5）绘制弯矩图

MM1Z1MP

（6）利用弯矩图绘制剪力图

和轴力图

例3.用位移法计算图(a)所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为l，EI为常数。解：（1）基本结构如图(b)所示。 （2）位移法方程为 r11Z1R1P0 （3）求系数和自由项 r114i3i4i11i 如图(d)所示，结点D被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即MP=0。 R1Pm （4）代入方程求未知量

Z1m11i

（5）绘制弯矩图MM1Z1MP

注：Ⅰ.当结点只受外力偶作用时，R1Pm，且外力偶为顺时针时m取负号，逆时针时m取

正号。

Ⅱ.当结点上除受外力偶作用外，各杆上还有外力作用时，R1PM固端m，外力偶为顺时针时，m取负号；反之，m取正号。

例4.绘图(a)所示结构的弯矩图。EI=常数。

/.

解：（1）基本结构如图(b)所示。

由于超静定结构的内力只与各杆的刚度比值有关，而与刚度绝对值大小无关。因此，求 内力时刚度大小可以任意给定，只要保持其比值不变即可。这里为了简单，设EI=1，求得各杆的线刚度如图(b)括号中数字所示。（2）位移法方程为

r11Z1R1P0

（3）求系数和自由项 r110.811.8

R1PM固端m22018kNm

（4）代入方程求未知量

Z110

（5）绘制弯矩图

例5.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M图。（2）列位移法典型方程：

r11Z1r12Z2R1P0 r21Z1r22Z2R2P0

解：（1）此刚架具有两个刚结点B和C，无结点线位移，其基本结构如图(b)所示。

（3）求各系数和自由项

r114i8i12i，r12r214i r226i4i8i18i

R1P1026.6736.67kNm R2P26.67303.33kNm

（4）代入方程求未知量

Z13.23i，Z20.53i

（5）绘制弯矩图

MM1Z1M2Z2MP

§7-6 用位移法计算有侧移刚架

例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。

解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z1。

/.

（2）位移法方程为

r11Z1R1P0

（3）求系数和自由项

3i12ir1122

ll3R1Pql

4（4）代入方程求未知量

ql3Z1

16i（5）绘制弯矩图

例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M图 解：（1）此刚架具有一个转角Z1和一个线位移Z2。在结点C加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图(b)所示的基本结构。（2）建立位移法方程

r11Z1r12Z2R1P0 r21Z1r22Z2R2P0

（3）求各系数和自由项

r114i3i7i， r12r211.5i

r2212i3i15i 424216R1P0

3R2Pql3060kN

8（4）求未知量

Z120.87i，Z297.39i

（5）绘制弯矩图

例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。

解：（1）图示刚架有刚结点C的转角Z1和结点C、D的水平线位移Z2两个基本未知量。设Z1顺时针方向转动，Z2向右移动。

/.

（2）求各杆杆端弯矩的表达式

MCA4Z1Z23 MAC2Z1Z23

MCD3Z1

MBD0.5Z2

（3）建立位移法方程

有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：

Ⅰ.与结点转角Z1对应的基本方程为结点C的力矩平衡方程。

MFxC0， MCAMCD07Z1Z230

Ⅱ.与结点线位移Z2对应的基本方程为横梁CD的截面平衡方程。

0， QCAQDC0

6Z12Z211qlZ1Z236230.5Z21Z2 612取立柱CA为隔离体(图(d))，MA0， QCA

同样，取立柱DB为隔离体（(e))，MB0， QDB代入截面平衡方程得

115Z1Z23Z20Z1Z230

31212（4）联立方程求未知量 Z1=0.91 Z2=9.37 （5）求杆端弯矩绘制弯矩图

将Z1、Z2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。 例4.计算图(a)所示结构C点的竖向位移。 解：解法（一）——用典型方程求解

（1）确定基本未知量。变截面处C点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图(b)

所示。其中未知量是C点角位移Z1和C点的竖向线位移Z2。 （2）位移法典型方程（3）求各系数和自由项

r114i8i12i， r12r21 r11Z1r12Z2R1P0 r21Z1r22Z2R2P0

12i6i6i lllr2224i12i36i22, R1P0, R2Pql 2lll/.

（4）求未知量

ql3ql4Z1，Z2

66EI33EIZ2即为所求的C点的竖向位移。 解法（二）——用直接平衡法求解 （1）确定基本未知量为C点的角

位移C和竖向线位移C

（2）求各杆杆端弯矩表达式

12i1MCA8iCCql2，

l1212i24i1QCAC2Cql，

l2l12i16i1MAC4CCql2，MCB4iCCql2，

l12l126i12i16i1QCBC2Cql，MBC2CCql2

l2l12l（3）建立位移法方程

6i， MM012iC0 M0CACBCCl6i36i， QQ0Cql0 F0CACBCyll2ql4ql3（4）解方程求C和C C，C

33EI66EI§7-7 用剪力分配法计算等高铰结排架

适用范围——适用于横梁刚度无穷大只有结点线位移的铰接排架或刚架（等高或不等高） 一、柱顶有水平集中荷载作用的计算

1.取水平横梁为隔离体，由Fx0得 PQi 2.求每根竖柱的柱顶剪力， Qi3EIi3iZ 23lhi3EIihiPiP 3EIihi33则PQi3EIihi3ZQi令i3EIihi3，称为抗侧移刚度系数；ii称为剪力分配系数。 i3.作柱的弯矩图。把每一根竖柱看成柱上端作用有集中荷载Qi的悬臂梁作弯矩图。

/.

对于刚架结构：Qi12EIi12EIi12i， Zi233lhihi注意：对多层多跨刚架，当横梁刚度无穷大（EI→∞）时，横梁可以看作无结点角位移的

刚性梁，此时同样可以用剪力分配法求刚架在水平结点荷载作用下的弯矩图。在工程中主要用于梁柱线刚度比ib/ic3时的强梁弱柱式刚架在水平风荷载作用下的内力计算，即反弯点法。

二、柱间有水平均布荷载作用的计算

1.在柱顶增加一水平链杆，使排架不产生水平位移，由表7.1求得附加链杆的约束反力R。 2.将力R取反方向后再作用在排架上，利用剪力分配法求得各柱端剪力。 3.将以上两种情况叠加，求得最后结果。

§7-8 对称性的利用

对称简化计算的另外一种方法——取半边结构，减少结点位移数目以达到简化减少的目的。 一、奇数跨对称结构 1.正对称荷载作用情况

变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能转动，但是可以发生竖向移动。取半边结构时可以用滑动支座代替对称轴截面。

对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。 2.反对称荷载作用情况

变形反对称，对称轴截面在左半部分荷载作用下向下移动，在右半部分荷载作用下向上移动，但由于结构是一个整体，在对称轴截面处不会上下错开，故对称轴截面在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。

对称轴截面上无弯矩和轴力，但一般有剪力。 二、偶数跨对称结构 1.正对称荷载作用情况

变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。

中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和

/.

剪力，但有轴力。对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。

2.反对称荷载作用情况

变形反对称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故总轴力等于零，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。

中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。 三、无剪力分配法

1.适用范围：刚架中的侧移杆件（竖柱）都是剪力静定杆，既可求单层刚架，也可求多层。 剪力静定杆——下端固定，上端有侧移但该截面剪力为零，侧移对杆端内力无影响，可简

化为下端固定上端滑动的超静定杆件。

2.解题方法：可用位移法，也可用力矩分配法。

例1.已知EI=常数，用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。 解：（1）确定基本未知量为B点的角位移Z1

（2）用直接平衡法求Z1

113MBAiZ1ql2 MABiZ1ql2 MBC3iZ1ql2

6316172172MM04iZql0Zql ， M0BABC11B48192（3）代入杆端弯矩表达式，绘制弯矩图

521252qlMBAiZ1qlql 637ql1283252MBC3iZ1qlql

16127272MABiZ1ql2ql2 ql32/.

例2.利用对称性求下图刚架的弯矩图。

解：（1）图示对称结构可分为在正对称和

反对称荷载两种情况下的作用。 （2）在正对称荷载作用下，只有横梁产

生轴力，无其它内力。

（3）在反对称荷载作用下，可简化为下图的半边结构求解。

在半边结构中，每一层竖柱均可看作下端固定、上端滑动的剪力静定杆，而柱顶承受以上各层传来的剪力，等于以上各层所有水平荷载之和。横梁则看作一端固定、一端铰支的梁。 （4）由直接平衡法求半边结构。

确定基本未知量是B、C两点的结点角位移Z1 和Z2，列各杆端的弯矩表达式。

1MBAiZ1Pl5Z1540

175.82175.81MABiZ1Pl5Z1540

2MBC3.5Z13.5Z2165

154.2519.2154.2673.4673.4519.25100kN543.5200kN54300kN100kN6m(1)(2)5400kN275200kNi=273.53.5100kNi=27100kN100kNi=273.5200kN27200kN275553.53.5200kN100kN3.3m3.5200kN3.6m5MBE354Z1162Z1

MCB3.5Z23.5Z1165

560.8560.8MCD354Z2162Z2

MM

B0， MBAMBCMBE0170.5Z13.5Z27050 0， MCBMCD0165.5Z23.5Z11650

C联立求解得Z1 = 4.157；Z2 =1.085，代入求杆端弯矩绘制弯矩图。