高中数学对数函数考点分析及例题讲解

函数名称 定义 对数函数 函数y=logax(a0且a1)叫做对数函数 a1 y0a1 y=logaxx= 1yx=1 y=logax 图象 (1,0)O(1,0)xOx定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在(0,+)上是增函数 (0,+) R 图象过定点(1,0)，即当x=1时，y=0 非奇非偶 在(0,+)上是减函数 logax0(x1)logax=0(x=1)logax0(0x1) logax0(x1)logax=0(x=1)logax0(0x1) a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高。

题型一、求对数函数的定义域

1.函数f(x)=3x21−x+lg(3x+1)的定义域是（ ）

2.设f(x)=lg2+x2−x，则fx2+f2x的定义域为 （ ）

3. 函数f(x)=−x2−3x+4lg(x+1)的定义域为（ ）

4.y=log(2x−1)(−x2+2x+3)

小结：（1）分式函数，分母不为0，如y=1x,x0。 （2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，y=x,x0。

（3）对数函数，真数大于0，y=logax,x0。

题型二、比较大小

例1、比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1；

（3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67.

(5)log67,log76； (6)log3,log20.8

变式练习

1、已知函数y=log2x，则当x1时，y ；当0x1时，

y .

题型三、对数函数中的单调性问题

1.函数f(x)=lg(x2−4x+3)的单调递增区间为（ ） 2.函数f(x)=ln(x2−2x−15)的单调递增区间是 （ ） 3.函数y=log0.5(x2−3x+2)的递增区间是（ ）

4.若函数y=−log2(x2−ax−a)在区间(−,1−3)上是增函数，a的取值范围。（ ） 5.不等式log3(2x−1)1的解集为

6.若07.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )

A．是增函数 B．是减函数 C．先增后减 D．先减后增 小结：

（1）在对数函数中f(x)=logax中，当a1，f(x)在其定义域上是增函数；当1a0，

f(x)在其定义域上是减函数。

（2）在复合函数f(x)=logag(x)中，函数的单调性满足同增异减的规律。

题型四、求对数函数值域

例1、（1）、y=log1 (-x-4x+12);

22

（2）、y=log 1 (x2-2x-3);

2

（3）y=loga(a-a)(a>1).

变式练习1、求下列函数的定义域、值域：

−x⑴y=22x

−1−12 ⑵y=log2(x+2x+5) 4

⑶y=log1(−x+4x+5) ⑷y=32loga(−x2−x)(0a1)

2、求函数y＝log2(x－6x＋5)的定义域和值域．

3、已知x满足条件2(log1x)+9log1x+90，求函数f(x)=(log22222

xx)(log2)的最34大值．

4、已知2lg(3x−2)=lgx+lg(3x+2)，求logx222的值。

5、设函数f(x)=log2(ax−bx)，且f(1)=1，f(2)=log212． （1）求

a，b的值；

（2）当x[1，2]时，求f(x)的最大值．

6.已知f(x)=2+log3x,x

7.设函数f(x)=log2(4x)log2(2x)，且x满足4−17x+4x20，求f(x)的最大值。

1,9，则f(x)的最小值为（ ）81

题型五、对数函数求值问题

1.已知函数f(x)=lgx，若f(ab)=1，则f(a2)+f(b2)=

2.解方程(log2x)−log2x−log29log38=0

3.已知ab1,若logab+logba=

4.已知函数f(x)=alog2x−blog3x+2，若f(

25ba，a=b，则a，b。 21)=4，则f(2014)的值为_______． 2014题型六、对数函数中的分段函数问题

x−1 x22e ，1.设函数f(x)=，则f(f(2))的值为（ ） 2 x2log3(x−1) ，

1x1()，x≤0，2.已知f(x)=2则f(8)+f(log2)=__________.

4logx，x0，23已知函数f(x)满足：当x4，则f(x)＝()；当x4时f(x)＝f(x+1)，则

12xf(2+log23)＝

题型七、对数函数中含参数问题

1.若loga121，则a的取值范围是 ． a−12.若关于x的方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1，求a的取值范围。

3.函数f(x)=logax(a0且a0)，当x[2,+)时，|f(x)|1，则a的取值范围是（

1a1或1a2 ） 21，则a= 4 24设a1，函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

题型八、对数函数中的图像问题

例1、已知a＞0且a≠1，函数y=a与y=loga(-x)的图像只能是（ ）

x

例2、已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，

则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )

A．a4＜a3＜a2＜a1 B．a3＜a4＜a1＜a2 C．a2＜a1＜a3＜a4 D．a3＜a4＜a2＜a1

例3、函数y＝

xlog2|x|的大致图象是( ) |x|

例4.当a1时，函数f(x)=logax和f(x)=(1−a)x的图象只可能是( )

5.函数f(x)=xlog2x的大致图象是( ) x

6.图2-2-2中的曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取3,,,431四个值。则相应

3510c1,c2,c3,c4的a值依次为（

413,3,, ） 3105

题型九、对数函数中的奇偶性问题

221.若函数f是奇函数，则a= (x)=log(x+x+2a)a22 。

2.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数，则a= 1 3.若函数f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a=____−________. 4 .若函数f(x)=logax+m是偶函数，且在[2,4]上最大值为2，则a+m的值 2

32题型十、对数函数中的绝对值问题

1 已知函数f(x)=lnx，若f(a)=f(b)，求a+b的取值范围(2,+)

（0，+）2已知函数f(x)=lg(x+1)，若ab且f(a)=f(b)，则a+b的取值范围是

3已知函数f(x)=lgx,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(3,+)

小结：已知对数函数f(x)=logax的图像，只需要把x轴下方的图像翻到x轴上方。如果当f(a)=f(b)，且ab，必有0a1,b1，以及ab=1。

题型十一、对数函数中的综合问题

1.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( 2 ) 2.若log4(3a+4b)=log2ab，则a+b的最小值为（ 7+43 ） 3.设点P在曲线y=1xe上，点 2Q在曲线y=ln(2x)上，则PQ的最小值为

（ 2(1−ln2) ）

4.已知两个函数f(x)=logax，g(x)=ax，(1)若h(x)=f(x)+g(x)，在[1,4]的最大值为18，求a值；(2)对任意的x[1,4]时，f(x)g(x)，求a的取值范围。