二维连续型随机变量函数的分布

第３３卷第２期　２０１５年０３月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３３　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．　２０１５　文章编号：１００８—１４０２（２０１５）０２—０３ｏ６—０３　二维连续型随机变量函数的分布①　刘春霞　（青岛理工大学琴岛学院基础部。山东青岛２６６１０６）　摘要：　为了得到二维连续型随机变量函数的分布，利用积分知识，分别推导出了二维连续型　随机变量的线性运算、除法、乘积的分布及其概率密度函数，并举例说明此结论在计算二维连续　型随机变量函数的分布时是很好用的．　关键词：二维连续型随机变量；函数的分布；概率密度函数　中图分类号：０２１ｌ　文献标识码：Ａ　０　引　言　在实际应用中，有时需要计算两个随机变量的　（　）＝Ｐ｛ａＸ＋６ｙ＋ｃ≤ｚ｝　出　＝肌　４＂ｙ　（　）＝　）　】出　函数Ｚ：ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布．例如，考察全国５Ｏ岁以　上的人群，用　和ｙ分别表示一个人的身高和体　重，Ｚ表示此人的脉搏，并且已知他们之间的函数　关系式为　Ｚ＝ｇ（Ｘ，】，）　固定ｚ和　，对方括号内的积分作变量代换　引，　，得　，　）　Ｉ　ｄｘ　现在若知道（　，ｌ，）的分布，如何确定Ｚ＝　ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布　】．　般的，连续型随机变量的函数不一定是连续　型随机变量，下面我们仅对连续型随机变量的函数　一＝　Ｊ＝。【亡　）ｄｘ］ｄ　所以得　仍然是连续型随机变量的情形进行讨论．我们不仅　希望能得到其分布函数，更希望求出其概率密度函　数　＿引．　下面对三种函数关系进行讨论：　（Ｉ）Ｚ＝ａＸ＋６ｙ＋ｃ，ａ，ｂ，ｃ为常数目ａ≠０，ｂ≠Ｏ；　ｙ　ｆＡ　）＝　（　）＝丢亡　，　同理得　）　胁）＝　亡　，ｙ）ｄｙ　当ａ＞０，ｂ＜０；口＜０，ｂ＜０；口＜０，ｂ＞０时，　用同样的方法可得到的Ｚ概率密度函数　（ｚ）．　综上，得到Ｚ＝ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ（ａ，ｂ，ｃ为常数ａ≠　０，ｂ≠０）的概率密度函数为　（２）Ｚ＝　；　Ｊ　（３）Ｚ＝ＸＹ．　设（　，Ｙ）为二维连续型随机变量，其概率密　度函数为　，Ｙ），（　，ｙ）关于　，ｌ，的边缘密度函数　分别为　（　）　（），），ｚ的分布函数为　（ｚ），概率　密度函数为　（　）．　（１）　（　）＝ｒ　１　仁　，　）　（１）　（２）　（　）＝　１仁　，ｙ）ｄｙ（２）　注：　１　Ｚ＝ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ，ａ。ｂ，Ｃ为常数且ａ　≠０，ｂ≠０　（１）当Ｘ和Ｙ时，则上述公式化为　下面对ａ＞０，ｂ＞０的情形进行讨论，则　①　收稿日期：２０１５－０１一ｏ６　（ｚ）＝　＿＿仁厶（　）ｆＡ　）　（３）　胁）＝　亡＾（　）ｆｒ（ｙ）ｄｙ（４）　作者简介：刘春霞（１９８１一），女，山东滨州人，青岛理工大学琴岛学院讲师，硕士，研究方向高等数学教育研究　第２期　刘春霞：二雏连续型随机变量函数的分布　（２）当口＝１，ｂ＝１，ｃ＝０，Ｘ和ｌ，时，即得　卷积公式　（　）＝ｐ｛ｘＹ≤　｝＝ｆｆ　，ｙ）￣ｄｙ　句，《ｚ。Ｙ＞０　（　）＝Ｉ　（　（　一戈）ｄｘ　ｆｚ（名）＝ｌ　ｉｘ（　一ｙ）ｆＹ（，，）ｄｙ　２　Ｚ＝　Ｘ　（５）　（６）　＋－０．ｆ（ｘ，ｙ）￣ｄｙ＝　【丘　，，，）　】　￡【［　，，，）　】　＋固定：　ｙ，对方括号内的积分作变量代换，令　此时，　（　）＝Ｐ　Ｘ≤ｚ｝＝．０．Ａｘ，ｙ）ｄ￣ｄｙ　王《ｉ．ｙ＞０　Ｙ　。　＋　Ａｘ，ｙ）ａ￣ｄｙ＝几　，ｙ）ａ￣］ａｙ　“ｙ＜０　。　，ｏ　，＋∞　＋ｆ［ｆＪ一∞　　ｆ　，Ｙ）ｄｘ］ｄｙ　固定ｚ和ｙ，对方括号内的积分作变量代换，令　＝　ｚｌ，，，　（ｚ）＝几Ｊ＝。ｆ（ｕｙ，ｙ）ｙｄ　］ｄｙ　＋　厂ｆ（ｕｙ　，，ｄ　］ａｙ　，＋∞　＝Ｊ一　［上ｙｆ（ｕｙ，ｙ）ｄｙ］ｄ　一　一Ｌ　Ｊ一　［ｙｆ（ｕｙ，ｙ）ｄｙ］ｄ　所以得　（　）＝　（　）　上）．＋∞　　，ｙ）ｄｙ—Ｊ一ｏ　，ｙ）ａｙ　＝Ｉ　ｌ　Ｙ　Ｉ厂（　，，，）ｄｙ　综上，得到ｚ＝　Ｘ的概率密度函数为　（ｚ）＝ｆ　Ｉ　Ｙ　Ｉ，（ｚｙ，Ｙ）ｄｙ　（７）　注：（１）当　和ｙ时，则上述公式化为　（　）＝Ｉ　Ｉ　Ｙ　Ｉ＾（　）　（，，）ｄｙ　（８）　（２）同理当Ｚ　专时，则　・＋∞　（ｚ）＝ＪＪ一∞　　Ｉ　Ｉ厂（　，　）ｄｘ　（９）　当　和ｙ时，此公式变为　（　）＝Ｊ　Ｉ　Ｉ　（　（猫）出　（１０）　３　Ｚ＝ＸＹ　此时。　：旦　，，　）＝几　号　专ｄ　］ｄｙ　一　＋　号，，，）ｌｄ　］ｄｙ　＝Ｊ＝　号，ｙ￣ｄｙ］ｄ　—Ｊ＝　【　号，ｙ￣ａｙ］ａＭ　所以得　（　）＝　）＝厂　１　ｚ，），）ｄｙ　一丘　＝　扣　由Ｘ和Ｙ的对称性　（石）又可写为　（ｚ）＝Ｊ：　，÷）　综上，得到Ｚ＝ＸＹ的概率密度函数为　（　）＝　号，，，）ｄｂｒ　（１１）　（ｚ）＝仁　戈，詈）　（１２）　注：当Ｘ和Ｙ时，则上述公式化为　胁）＝仁南（专　（，，）ａｙ（１３）　（　）＝　以（　）厂ｙ（詈）　（１４）　例如，设二维随机变量（　，Ｙ）的概率密度为　，，，　＝｛三’　＜　＇。＜ｙ＜２　令ｇ＝２Ｘ—Ｙ，求Ｚ的概率密度　（　）．（０５年　数学一考研题）　解：Ｚ＝２Ｘ—ｌ，属于Ｚ＝ａＸ＋ｂＹ＋ｃ类型，其　中ｄ＝２．ｂ＝一１．ｃ＝０．　法一：由（１）式得　（　）＝　，等）　由　，Ｙ）的定义知，仅当　佳木斯大学学报（自然科学版）　２０１５年　『ｕ＜　＜ｌ　于０，所以　一　ｌｏ＜导＜２　ｆ０＜　＜ｌ　）：　…２　【Ｏ：，　其它　即仅当ｊ。＞０　时，上述积分的被积函数　【　＞詈　才不等于０，所以　Ｊ　一ｌ　，０＜　＜２　【０，　其它　㈤：』　，宁　０…２　【０：，　即有　（　）：』　一号ｏ＜　＜２　ｔｏ，　其它　其它　二维连续型随机变量的函数在实际生活以及　』　，０＜　２　【０，考研中经常用到，利用本文结论计算函数的分布是　很好用的．　其它　即有　参考文献：　（　）：１一号，ｏ＜ｚ＜２　【０，　［１］吴赣昌．概率论与数理统计（理工类）［Ｍ］．第四版．北京：中　国人民大学出版社。２０１１：５４—７５．　其它　［２］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［Ｍ］．第三版．北　京、：高等教育出版社，２００１：７４—１０２．　法二：由（２）式得　［３］魏宗舒，等．概率论与数理统计教程［Ｍ］．北京：高等教育出　）＝丢　ｚ　＋２ｙ，ｙ）ｄｙ　版社，１９８３：１０２—１４０．　［４］同济大学数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．第六版．北京：高等　教育出版社，２００７：１３２—１５７．　由厂（　，ｙ）的定义知，仅当ｆ考＜ｚ　＋２ｙ＜１，即　【０＜ｙ＜２　，０＜Ｙ＜２　仅当｛＝＞０　时，上述积分的被积函数才不等　Ｌ’，＜２一ｚ　ｒＩ１ｌｅ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｗｏ　Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　Ｒａｎｄｏｍ　Ｖａｒｉａｂｌｅｓ　ｕＵ　Ｃｈｕｎ—ｘｉａ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ｑｉｎｄａｏ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｔ￣ｈｎｏｌｏｇｌｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６ｌ０６，Ｃｈｌｎ￣）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ。ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｍａｄｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒｌ　ｋｎｏｗｌａｅｄｇｅ，ｄｅｒｉｖｅｄ　ｔｈｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｙ　ｆｔｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ａｒｉｔｈｍｅ—　ｔｉｃ，ｄｉｖｉｓｉｏｎ，ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ。ａｎｄ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｔｈａｔ　ｈｅ　ｃｏｎｃｌｔｕｓｉｏｎ　ｉＳ　ｖｅｒｙ　ｇｏｏｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｗｏ—ｄｉｔｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉｂｌａｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｉｏｎ　ｔｗｏ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃ—