乃东县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 为了得到函数A．向右平移C．向右平移
个单位长度 个单位长度
的图象，只需把函数y=sin3x的图象（ ）
B．向左平移D．向左平移 C．
个单位长度 个单位长度
2． 抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ） A．（0，1）
B．（1，0）
D．
3． 设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5 4． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b6，A6，则
B（ ）111]
32A． B．或 C．或 D．
4344335． 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a
6． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．
B．
C．
D．
7． 设函数yf(x)对一切实数x都满足f(3x)f(3x)，且方程f(x)0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A.18 B.12 C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 8． 若函数y=x2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ） A．b≥0
B．b≤0
C．b＞0
D．b＜0
9． 在下列区间中，函数f（x）=（）x﹣x的零点所在的区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3 ）
D．（3，4）
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10．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（ ）
A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0 C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0
11．已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组A．
B．
22
所确定的平面区域在x+y=4内的面积为（ ）
C．π D．2π
12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） ∪（0，2）
D．0）（﹣2，
二、填空题
13．已知M、N为抛物线y4x上两个不同的点，F为抛物线的焦点．若线段MN的中点的纵坐标为2，
2|MF||NF|10，则直线MN的方程为_________.
14．已知f(x)是定义在R上函数，f(x)是f(x)的导数，给出结论如下：
①若f(x)f(x)0，且f(0)1，则不等式f(x)e的解集为(0,)；
x②若f(x)f(x)0，则f(2015)ef(2014)； ③若xf(x)2f(x)0，则f(2④若f(x)n1)4f(2n),nN；
f(x)0，且f(0)e，则函数xf(x)有极小值0； xex⑤若xf(x)f(x)，且f(1)e，则函数f(x)在(0,)上递增．
x其中所有正确结论的序号是 ．
15．若双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，则其实轴长为 ．
16．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是 ． 17．已知函数
，则
__________；
的最小值为__________．
18．设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的 条件．
三、解答题
19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）的一段图象如图所示．
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（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；
（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n． （1）求a2；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．
21．已知函数f（x）=
sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象
0 0 时，列表并填入的部分数据如下表： x ① π f（x） 0 1 π ﹣1 第 3 页，共 16 页
（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域； ）=1，b+c=4，a=
，求△ABC的面
（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A+积．
22．设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
23．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）记bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Sn．
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24．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2
，且{bn}为递增数列，若cn=
，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．
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乃东县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题
1． 【答案】A
个单位长度，可得y=sin3（x﹣
）=sin（3x﹣
）的图象，
【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
2． 【答案】C
22
【解析】解：抛物线y=4x的标准方程为 x=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，故选C． 关键．
3． 【答案】B
），
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x的方程化为标准形式，是解题的
2
考
点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 4． 【答案】B 【解析】
试题分析：由正弦定理可得:
3sin6623,sinB,B0,,B 或，故选B. sinB244考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 5． 【答案】A
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【解析】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x， 由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，
作出计算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b， 由图象知a＜1＜b， 故选：A．
∴y=ex与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．
6． 【答案】D 则由题意知解得d=
．
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
，
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．
7． 【答案】A.
【解析】f(3x)f(3x)f(x)f(6x)，∴f(x)的图象关于直线x3对称， ∴6个实根的和为3618，故选A. 8． 【答案】A
2
【解析】解：抛物线f（x）=x+bx+3开口向上，
以直线x=﹣为对称轴，
2
若函数y=x+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，
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则﹣≤0，解得：b≥0， 故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
9． 【答案】A
x
【解析】解：函数f（x）=（）﹣x，
可得f（0）=1＞0，f（1）=﹣＜0．f（2）=﹣＜0， 函数的零点在（0，1）． 故选：A．
10．【答案】C
22
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x﹣2x+3≤
0．
故选：C．
11．【答案】 B
【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2． 则f（x）=
x3﹣x2+ax，
2
函数的导数f′（x）=x﹣2x+a，
因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f′（0）=﹣3， 所以f′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2， 所以不等式组则不等式组
如图阴影部分表示，
所以圆内的阴影部分扇形即为所求． ∵kOB=﹣
，kOA=
，
为
22
确定的平面区域在圆x+y=4内的面积，
∴tan∠BOA==1，
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∴∠BOA=，
，扇形的面积是圆的面积的八分之一，
×4×π=
，
∴扇形的圆心角为
22
∴圆x+y=4在区域D内的面积为
故选：B
【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．
12．【答案】A 【解析】解：设g（x）=g′（x）=
，
，则g（x）的导数为：
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立， 即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数， 又∵g（﹣x）=
=
=
=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是增函数， 又∵g（﹣2）=
=0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A．
二、填空题
13．【答案】xy20
【解析】解析： 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，那么|MF||NF|x1x2210，x1x28，∴线段MN的
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22中点坐标为(4,2).由y14x1，y24x2两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，而
y1y22，∴2y1y21，∴直线MN的方程为y2x4，即xy20.
x1x214．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数g(x)ef(x)，g(x)e[f(x)f(x)]0，g(x)在R上递增，
xx∴f(x)eexf(x)1g(x)g(0)x0，∴①错误；
f(x)f(x)f(x)构造函数g(x)x，g(x)0，g(x)在R上递增，∴g(2015)g(2014)， xee∴f(2015)ef(2014)∴②正确；
22构造函数g(x)xf(x)，g(x)2xf(x)xf(x)x[2f(x)xf(x)]，当x0时，g(x)0，∴g(2n1)g(2n)，∴f(2n1)4f(2n)，∴③错误；
xxf(x)f(x)xf(x)f(x)由f(x)0得0，即0，∴函数xf(x)在(0,)上递增，在(,0)上递
xxx减，∴函数xf(x)的极小值为0f(0)0，∴④正确；
exexxf(x)xg(x)exf(x)，则由xf(x)f(x)得f(x)，设2xxexexxxg(x)ef(x)xf(x)e(x1)，当x1时，g(x)0，当0x1时，g(x)0，∴当
xxx0时，g(x)g(1)0，即f(x)0，∴⑤正确．
15．【答案】 6 ．
22
【解析】解：双曲线的方程为4x﹣9y=36，即为： ﹣
=1，
可得a=3， 故答案为：6．
则双曲线的实轴长为2a=6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．
16．【答案】
．
【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1）， ∴a+b﹣1=0，即a+b=1，
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∴ab≤=
当且仅当a=b=时取等号， 故ab的最大值是 故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
17．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】当当故
时，时，的最小值为
故答案为：
18．【答案】 必要不充分
x
【解析】解：由题意得f′（x）=e++4x+m， x2
∵f（x）=e+lnx+2x+mx+1在（0，+∞）内单调递增， x
∴f′（x）≥0，即e++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
x
故对任意的x∈（0，+∞），必有e++4x＞5 x
∴m≥﹣e﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
x
但当m≥﹣5时，必有e++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分
三、解答题
19．【答案】
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【解析】解：（1）由函数的图象可得A=3， T=再根据五点法作图可得×（2）令2kπ﹣k∈z．
≤x﹣
=2kπ+
+φ=0，求得φ=﹣≤2kπ+
=4π﹣，解得ω=．
]，
，∴f（x）=3sin（x﹣）．
，k∈z，求得 5kπ﹣π≤x≤5kπ+
，即 x=5kπ+
，故函数的增区间为[5kπ﹣π，5kπ+
函数的最大值为3，此时， x﹣时x的集合为{x|x=5kπ+
，k∈z，即f（x）的最大值为3，及取到最大值
，k∈z}．
（3）设把f（x）=3sin（x﹣y=3sin（x+
）]．
=x+
）的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即
）=3cosx 的图象．
则由（x+m）﹣，求得m=π，
把函数f（x）=3sin（x﹣）的图象向左平移π个单位，可得y=3sin（x+
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和最值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
20．【答案】 ∴a2=4…1；
（2）当n≥2时，2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2（n﹣1）=an+1﹣an+2， ∴an+1=3an﹣2，
∴an+1﹣1=3（an﹣1）…4， ∴
，
【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，
∴{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5， ∵∴
，
，
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∴（3）∴∴∴
①﹣②得：=
；
…8
①…9 ②
，
，
=（2﹣2n）×3n﹣4，…11 ∴
力，属于中档题． 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）①处应填入
．
=∵T=∴即∵
，∴
．
， ，
．
=（b+c）2﹣3bc，
，
，
．
，∴
，
，
．
…12
【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能
从而得到f（x）的值域为（Ⅱ）∵又0＜A＜π，∴得
，
222
由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA=
即，∴bc=3．
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∴△ABC的面积．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得由e==，得1﹣∴椭圆C的方程为
=+
，∴a=5，… =1．…
=1，∴b=4，…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），… 设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
2
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣
=﹣
．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣， ∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 由an＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0， 化简得q﹣q﹣2=0，
2
解得q=2或q=﹣1（舍），
2
∵a3=a1•q=4a1=8，∴a1=2，
∴数列{an}是以首项和公比均为2的等比数列，
n
∴an=2；
（Ⅱ）由（I）知bn=log2an=
n
∴anbn=n•2，
=n，
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123n1n
∴Sn=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2﹣+n×2，
2Sn=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
123n1nn+1
两式相减，得﹣Sn=2+2+2+…+2﹣+2﹣n×2，
∴﹣Sn=
n+1
﹣n×2，
n+1
∴Sn=2+（n﹣1）2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
24．【答案】已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2
，且{bn}为递增数列，若cn=
，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而可得3（1++
）=9，从而解得；
=2n，利用裂项求和法求和．
2n2n
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）=3•（），从而可得bn=log2
【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 则3（1++
）=9，
解得，q=1或q=﹣； 故an=3，或an=3•（﹣）
n﹣3
；
（Ⅱ）证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；
2n2n
故a2n+3=3•（﹣）=3•（），
故bn=log2故cn=
=2n， =﹣
，
故c1+c2+c3+…+cn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣
＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
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